浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用.doc

浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数与形是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面。本文试从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用.一、利用数形结合思想解决集合的问题1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题例如： 例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数用n表示集合的元素，则有： 即：，即同时参加数理化小组的有1人C（化）A（数）B（理） 图12、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题如：当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观，例如： 例2、已知集合 若，求的范围.若，求的范围分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:,这时的值不可能存在（图2）要使，当a 0时集合A应该覆盖集合B,应有成立 ，。当时,显然成立.故时的取值范围为：（图2 ）。3 图2二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题1、利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题利用二次函数的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根，根据二次函数与x轴的交点情况就可以确定方程f(x)=0的实根的情况，即通过的相互转化，利用函数y=f(x)的图像可以直观解决问题。例如：例3、为何值时，方程的两根在之内？ 分析：显然,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图（图3），从图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个交点在之间,必须满足条件:即0XY11从而可解得的取值范围为且图3例4、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式0XY分析：我们可联想对应的二次函数, 的草图（图4） 这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标由配方方法可知与的顶点分别为：故可求出与应满足的关系式为:图42、利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题对于一些不规则的方程，通过构造两个函数，然后，把方程的根转化为两个函数的交点问题。例如：例5、解方程分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数,做出这两个函数的图像（图5）,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为200.4XYy=3x21y=2-x图5例6、设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况分析：我们可把这个问题转化为确定函数与图像（图6）交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：当时， 与没有交点，这时原方程无解;当时， 与有两个交点,原方程有两个不同的解;当时， 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；110X11当时， 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个图63、利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集例如： 例7、 分析：本题若用常规解法，要分两种情形： 比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下： ， 图74、利用三角函数的图像解不等式对于一些三角不等式，可灵活利用三角函数的图像，转化为两个三角函数的图像的关系问题。例如：例8、解不等式分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数在上做出它们的图像（图8）,得到四个不同的交点,横坐标分别为:,而当在区间内时,的图像都在的图像上方所以可得到原不等式的解集为：0xY1 X图8三、利用数形结合思想比较函数值的大小 一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较例如： 例9、试判断三个数间的大小顺序分析：这三个数我们可以看成三个函数: 在时，0Y1110.3X所对应的函数值在同一坐标系内做出这三个函数的图像(图9)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置， 从而可得出结论：图9四、利用数形结合思想解决三角面积问题在一些含有一般三角形的题目中，若要求其面积，都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决；但若能利用三角函数的图像及数形结合思想，则可以简化计算过程。例如：例10、在ABC中，则ABC的周长为( ).（A） （B）（C） （D）分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长到,使（图10）,则 ,由正弦定理,即,由此,选(C) 图10例11、设函数f (x)的图像与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f (x)在a，b上的面积，已知函数y在0，上的面积为（nN*），（！）ysin3x在0,上的面积为 ；（ii）ysin（3 x）1在，上的面积为 .分析：本题给出了y在0，上的面积为,需要由此类比ysin3x在0,上的面积及ysin（3x）1在，上的面积,这需要寻求相似性,其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件,要注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是时一个周期的面积,第(2)问又是ysin3x经过平移和翻转后一个半周期的面积,画出ysin（3 x）1在，上图像(图11),就可以容易地得出答案。 图11五、 利用数形结合思想解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可做出对应三角函数的图像在题目中如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题,简便易行例如：例12、解不等式0XYP分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于轴的有向线段来表示我们先在轴上取一点P，使，恰好表示角的正弦线,过点P作轴的平行线交单位圆于点,在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为)而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P向上平移至与单位圆交点处)这样所扫过的范围即为所求的角(图12)故原不等式的解集为：图12六、利用数形结合思想解决等式、不等式证明以及最值问题。1、利用点到直线的距离公式解决等式的证明问题。在一些恒等式中，很多要转化为点到直线的距离公式来求解，从而运用数形结合的思想方法，可以简化问题。例如：例13、已知+=，求证 分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程， 进而由点A（,）与点B（, ）坐标特点知其在单位圆上，在平面直角坐标系中，点A（,sin）与点B（, sin）是直线l: 与单位圆x2+y2=1的两个交点(图13) 从而 =22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即 图132、利用两点间距离公式解决不等式的证明以及最值问题。在一些等式或代数式的题目中，其结构含有明显的几何意义，如含有根号的不等式、代数式，都有明显的几何意义，若能运用数形结合的思想方法，利用两点间距离公式，可以很快解决问题，例如：例14、求证：（与c、b与d不同时相等）分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式。在平面直角坐标系中设A（,b）,B(,),O(0,0).如图14AB，AO , BO当A、B、O 三点共线时ABAO+BO.当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，ABAO+BO.当A、B、O三点共线，且A、B在O 点侧时，或A、B之一与原点O重合时，ABAO+BO.综上可证.A（,) ) (a,b ) )B (,) 图14例15、求函数y=的最小值.分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在X轴上求一点P，使PA+PB有最小值.如图15，由于AB在X轴同侧，故取A关于X轴的对称点，故（PA+PB）min=ABPC图153、利用换元法解决含有根号的函数的最值问题。在一些含有根号的代数式的题目中，其结构没有明显的几何意义，此时利用两点间距离公式可能做不出来，若能利用换元法，运用数形结合的思想方法，也可以很快解决问题，例如：例16、分析：由于函数右端根号内t同为t的一次式，若只做简单换元 无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到上面函数右边有两个根号，故可采用两步换元：， 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图16） 相切于第一象限时，u取最大值 图164、利用复数的模的几何意义求复数的模的最值。在求解一些关于复数的题目中，经常利用复数的模的几何意义来求解，如：表示复数z对应的点Z到原点O的距离；表示复数z和对应的点Z和两点的距离；=1表示单位圆=表示复数和两点的连线的垂直平分线。在关于复数的题目中，若能利用复数的模的几何意义来求解，可以达到意想不到的效果，例如：例17、已知复数z满足，求z的模的最大值、最小值。分析：由于=，有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数z对应的点Z，在以（2，2）为圆心，半径为的圆上（图17），而表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，取得最值， 复数z的模的最大值为，最小值为。 图175、利用斜率公式求函数的值域及线性规划问题。在一些分子、分母都是三角函数或一次函数的代数式中，要求其值域，很多都转化为经过两点的直线的来求解，例如：例18、分析：很明显，函数 ， ， 图18例19、已知点P（,y）在线性区域内，求（1）U（2）V的值域ABM分析：由线性规划可知P（,y）在直角OAB内（包括边界），实质上是点M（4，3）到直线AB的距离；V的值域实质上是直线PM斜率的取值范围(图19).图19数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形