数学导航高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入同步练习 文.doc

【数学导航】2016届高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入同步练习 文第一节平面向量的概念及其线性运算1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念定义表示模既有大小，又有方向的量叫做向量(1)字母表示：a，b，c等(2)有向线段表示：，等向量的长度叫做向量的模，记作|a|或|2.几个特殊向量名称意义零向量长度等于0的向量，其方向是任意的，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量3.向量的加法与减法加法减法定义求两个向量和的运算向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a(b)ab法则(或几何意义)三角形法则平行四边形法则三角形法则运算律(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)aba(b)4.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.5共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.1三点共线的等价转化a，p，b三点共线(0)(1t)t(o为平面内异于a，p，b的任一点，tr)xy(o为平面内异于a，p，b的任一点，xr，yr，xy1)2向量的中线公式若p为线段ab的中点，o为平面内一点，则()3三角形的重心已知平面内不共线的三点a，b，c，()g是abc的重心特别地，0p为abc的重心1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(5)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()(6)向量与向量是共线向量，则a，b，c，d四点在一条直线上()(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2.如图所示，向量ab等于()a4e12e2b2e14e2ce13e2d3e1e2解析：由题图可得abe13e2.答案：c3在abc中，c，b.若点d满足2，则()abcbcbcbcdbc解析：如图所示，可知()c(bc)bc.答案：a4已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由已知得abk(b3a)，解得.答案：5已知平面上不共线的四点o、a、b、c若320，则等于_解析：由已知得，2()，2，2.答案：2平面向量的基本概念1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()a1b2c3d4解析：错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，不论为何值，a0.错误当0时，ab，此时a与b可以是任意向量答案：c2给出下列命题：若|a|b|，则ab；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形；反之，若四边形abcd为平行四边形，则且|，因此，.故“”是“四边形abcd为平行四边形”的充要条件正确ab.a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小平面向量的线性运算1(2014福建卷)设m为平行四边形abcd对角线的交点，o为平行四边形abcd所在平面内任意一点，则等于()ab2c3d4解析：因为m是ac和bd的中点，由平行四边形法则，得2，2，所以4.故选d答案：d2(2014全国卷)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则()abcd解析：如图，()2.答案：c3(2013江苏卷)设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc若(，为实数)，则的值为_解析：由题意()，于是，故.答案：1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量2向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运算向量共线定理及其应用设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：a，b，d三点共线(2)若3e1ke2，且b，d，f三点共线，求k的值解析：(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2，又有公共点b，a，b，d三点共线(2)由(1)可知e14e2，且3e1ke2，由b，d，f三点共线得，即3e1ke2e14e2，得，解得k12，k12.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？解析：d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在这样的实数、，只需2，就能使d与c共线共线向量定理的应用(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线，若存在实数，使，则a，b，c三点共线(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点a级基础训练1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等则所有正确命题的序号是()abcd解析：根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误答案：a2已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()aabbccd0解析：依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0，选d答案：d3设d、e、f分别是abc的三边bc、ca、ab上的点，且2，2，2，则与()a反向平行b同向平行c互相垂直d既不平行也不垂直解析：由题意得，因此()，故与反向平行答案：a4.如图所示，向量a，b，c，a，b，c在一条直线上，且3，则()acabbcabcca2bdca2b解析：33()33，23，cab.答案：a5abc所在的平面内有一点p，满足，则pbc与abc的面积之比是()abcd解析：因为，所以，所以22，即p是ac边的一个三等分点，且pcac，由三角形的面积公式可知，.答案：c6已知o为四边形abcd所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形abcd的形状为_解析：由得，.所以四边形abcd为平行四边形答案：平行四边形7设点m是线段bc的中点，点a在直线bc外，216，|，则|_.解析：由|可知，则am为rtabc斜边bc上的中线，因此，|2.答案：28(2014广东江门质检)设a，b 是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若a，b，d三点共线，则实数p的值是_解析：2ab，又a、b、d三点共线，存在实数，使，即p1.答案：19设i、j分别是平面直角坐标系ox，oy正方向上的单位向量，且2imj，nij，5ij，若点a、b、c在同一条直线上，且m2n，求实数m、n的值解析：(n2)i(1m)j，(5n)i(2)j.点a、b、c在同一条直线上，即，(n2)i(1m)j(5n)i(2)j，解得或.10设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解析：(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线又它们有公共点b，a，b，d三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.b级能力提升1如图，在abc中，a60，a的平分线交bc于d，若ab4，且(r)，则ad的长为()a2b3c4d5解析：因为b，d，c三点共线，所以有1，解得，如图，过点d分别作ac，ab的平行线交ab，ac于点m，n，则，经计算得anam3，ad3.答案：b2已知d、e、f分别为abc的边bc、ca、ab的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，错ab，()(ab)ab，baabba0.正确命题为.答案：33已知o，a，b是不共线的三点，且mn(m，nr)(1)若mn1，求证：a，p，b三点共线；(2)若a，p，b三点共线，求证：mn1.证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点b，a，p，b三点共线(2)若a，p，b三点共线，则与共线，故存在实数，使，()又mn，故有m(n1)，即(m)(n1)0.o，a，b不共线，不共线，mn1.4如图所示，在abc中，d、f分别是bc、ac的中点，a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求证：b，e，f三点共线解析：(1)延长ad到g，使，连接bg，cg，得到abgc，所以ab，(ab)(ab)b.(ab)a(b2a)ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，因为有公共点b，所以b，e，f三点共线第二节平面向量的基本定理及坐标表示1了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1向量共线的充要条件的两种形式(1)abba(a0，r)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)2向量的坐标与点的坐标的关系向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x，y)向量点a(x，y)要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如a(1,2)，b(3,4)，则(2,2)1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在abc中，向量，的夹角为abc()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(2014北京卷)已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab()a(5,7)b(5,9)c(3,7)d(3,9)解析：由a(2,4)知2a(4,8)，所以2ab(4,8)(1，1)(5,7)故选a答案：a3已知点m(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点n的坐标为()a(2,0)b(3,6)c(6,2)d(2,0)解析：3a3(1，2)(3,6)，设n(x，y)，则(x5，y(6)(3,6)，所以即选a答案：a4若a(0,1)，b(1,2)，c(3,4)，则2_.解析：a(0,1)，b(1,2)，c(3,4)，(1,1)，(2,2)，2(1,1)(4,4)(3，3)答案：(3，3)5已知am是abc的bc边上的中线，若m，n，则等于_解析：2，22nm.答案：2nm平面向量的基本定理1设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2.所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：2如图，在平行四边形abcd中，m，n分别为dc，bc的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解析：法一：设a，b，则ad，bc.将代入，得ad，adc(2dc)，将代入，得bc(2dc)(2cd)(2dc)，(2cd)法二：设a，b.因m，n分别为cd，bc的中点，所以b，a，因而即(2dc)，(2cd)平面向量基本定理解题思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理平面向量的坐标运算1已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()abcd答案：d2已知a(2,3)，b(5,4)，c(7,10)，(1)求；(2)若mn，求m，n；(3)若(r)，试求为何值时，使点p在一、三象限的角平分线上解析：(1)(5,4)(2,3)(3,1)(2)(7,10)(2,3)(5,7)，(7,10)(5,4)(2,6)，mnm(5,7)n(2,6)(5m2n,7m6n)mn(3,1)，.(3)设p(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3).(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(35，17)，若点p在一、三象限的角平分线上则5547，.平面向量坐标运算的解题思路(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用平面向量共线的坐标表示已知a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且a、b、c三点共线，求m的值解析：(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：a、b、c三点共线，.即2a3b(amb)，解得m.法二：2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，a、b、c三点共线，8m3(2m1)0，即2m30，m.1已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()abc1d2解析：根据题意可得ab(1，2)，由(ab)c得(1)4320，.答案：b2已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若a，b，c三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()ak2bkck1dk1解析：若点a，b，c不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)1(k1)2k0，解得k1.答案：c3在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，向量a(cos c，bc)，向量b(cos a，a)且ab，则tan a_.解析：ab(bc)cos aacos c0，即bcos accos aacos c，再由正弦定理得sin bcos asin ccos acos csin asin bcos asin(ca)sin b，即cos a，所以sin a，tan a.答案：4已知向量a(m,1)，b(1n,1)(其中m，n为正数)，若ab，则的最小值是()a2b3c32d23解析：已知a(m,1)，b(1n,1)(其中m，n为正数)，若ab，则m(1n)0，即mn1.33232，当且仅当时取等号，故的最小值是32，故选d答案：d5已知点a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，则ac与ob的交点p的坐标为_解析：法一：由o，p，b三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以p点的坐标为(3,3)法二：设点p(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以p点的坐标为(3,3)答案：(3,3)向量共线充要条件的两种形式：(1)abab(b0)，(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)当涉及向量或点的坐标问题一般利用(2)比较方便a级基础训练1已知向量a(，1)，b(0，2)若实数k与向量c满足a2bkc，则c可以是()a(，1)b(1，)c(，1)d(1，)解析：a(，1)，b(0，2)，a2b(，3)(1，)，故向量c可以是(1，)答案：d2已知点a(1,3)，b(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()abcd解析：(41，13)(3，4)，则|5.与同方向的单位向量为(3，4).答案：a3(2014宁夏质检)如图，设o是平行四边形abcd两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()abcd解析：与不共线，与不共线，而与共线， 与共线，由平面向量基底的概念知可作为该平面内其他向量的基底答案：b4已知abc中，点d在bc边上，且2，rs，则rs的值是()abc3d0解析：，.，.又rs，r，s，rs0.答案：d5若，是一组基底，向量rxy(x，yr)，则称(x，y)为向量r在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()a(2,0)b(0，2)c(2,0)d(0,2)解析：由已知a2p2q(2,2)(4,2)(2,4)，设amn(1,1)(1,2)(，2)，则由a0m2n，a在基底m，n下的坐标为(0,2)答案：d6若三点a(1，5)，b(a，2)，c(2，1)共线，则实数a的值为_解析：(a1,3)，(3,4)，据题意，4(a1)3(3)，即4a5，a.答案：7在平行四边形abcd中，e1，e2，则_.(用e1，e2表示)解析：如图，2e2(e2e1)e1e2.答案：e1e28已知点a(1,2)，b(2,8)，则的坐标为_解析：设点c、d的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因为，所以有和.解得和.所以点c、d的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而(2，4)答案：(2，4)9已知a(1,1)，b(3，1)，c(a，b)(1)若a，b，c三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点c的坐标解析：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，a，b，c三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点c的坐标为(5，3)10已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解析：(1)因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1).a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反b级能力提升1(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，o为原点，a(1,0)，b(0，)，c(3,0)，动点d满足|1，则|的取值范围是()a4,6b1，1c2，2d1，1解析：设d(x，y)，则由|1，c(3,0)，得(x3)2y21.又(x1，y)，|.|的几何意义是点p(1，)与圆(x3)2y21上点之间的距离，由|pc|知，|的最大值是1，最小值是1.故选d答案：d2如图所示，a，b，c是圆o上的三点，线段co的延长线与ba的延长线交于圆o外的一点d，若mn，则mn的取值范围是_解析：由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为时不成立)2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(2014大纲全国卷)已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()a1b0c1d2解析：(2ab)b2ab|b|2211cos 60120，故选b答案：b3已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为()abcd解析：由a(1,1)，2ab(4,2)，得b(4,2)2(1,1)(2,0)设向量a，b的夹角为，则cos ，.答案：b4(2014江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.解析：|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149.|a|3.答案：35(2013全国卷)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则_.解析：如图，以a为坐标原点，ab所在的直线为x轴，ad所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(2，0)，d(0,2)，e(1,2)，(1,2)，(2,2)，1(2)222.答案：2平面向量数量积的运算1在边长为1的正方形abcd中，m为bc的中点，点e在线段ab上运动，则的取值范围是()abcd解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设e(x,0)，0x1.又m，c(1,1)，所以，(1x,1)，所以(1x,1)(1x)2.因为0x1，所以(1x)2，即的取值范围是.答案：c2(2013江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_解析：依题意得|e1|e2|1且e1e2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，|b|2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cosa，b.答案：3(2014江苏卷)如图，在平行四边形abcd中，已知ab8，ad5，3，2，则的值是_解析：由3，得，.因为2，所以2，即222.又因为225，264，所以22.答案：22平面向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解平面向量数量积的性质(1)(2014重庆卷)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()ab0c3d(2)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在abc中，2a2b，2a6b，d为bc中点，则|等于()a2b4c6d8(3)(2014江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析：(1)因为a(k,3)，b(1,4)，所以2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3，6)因为(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2,1)2(2k3)60，解得k3.故选c(2)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)4(322cos 4)4，则|2.(3)a2(3e12e2)2942329，b2(3e1e2)2912318，ab(3e12e2)(3e1e2)929118，cos .答案：(1)c(2)a(3)1(2014武汉调研)已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()abcd解析：a(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故cosa，b，故所求夹角为.答案：d2已知向量a(4,3)，b(2,1)，如果向量ab与b垂直，那么|2ab|的值为()a1bc5d5解析：ab(4,3)(2,1)(42，3)(ab)b，(42，3)(2,1)2(42)(3)0.解得1.2ab(8,6)(2,1)(10,5)|2ab|5.答案：d3(2014山东卷)已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m()a2bc0d解析：ab(1，)(3，m)3m，又abcos ，3mcos ，m.答案：b4(2014新课标全国)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()a1b2c3d5解析：由|ab|，|ab|，得a22abb210，a22abb26，两式相减，得4ab4，ab1.答案：a5已知向量a，ab，ab，若oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，则oab的面积为_解析：由题意得，|a|1，又oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|.由得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|得|ab|ab|，所以ab0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故soab1.答案：16已知、是非零向量，且满足(2)，(2)，则abc的形状为()a等腰三角形b直角三角形c等边三角形d等腰直角三角形解析：(2)(2)0，即20.(2)(2)0，即20.2，即|，而cos a，a60，abc为等边三角形答案：c7(2014安徽合肥二模)设|2，|3，bac60，2，x(1x)，x0,1，则在上的投影的取值范围是()a0,1b1,7c7,9d9,21解析：由x(1x)，x0,1，可知b，d，e共线，且e点在线段bd上，如图所示因为e点在线段bd上，所以在上的投影d的取值范围|d|，而|af|cos 6021，|2|2(31)4，|437，所以d1,7，故选b答案：b平面向量数量积应用的技巧(1)求两向量的夹角cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.平面向量与三角函数(2014广州摸底考试)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b，sin b)，且mn.(1)求sin a的值；(2)若a4，b5，求角b的大小及向量在方向上的投影解析：(1)由mn，得cos(ab)cos bsin(ab)sin b，所以cos a.因为0ab，所以ab，则b，由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，故向量在方向上的投影为|cos bccos b1.(2014广东揭阳一中摸底)已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，c(1,0)(1)若x，求向量a，c的夹角；(2)当x时，求函