高观点下的思考.doc

高等数学观点下的中学数学在高等师范院校数学系，开设了门类众多的高等数学课程，例如，数学分析、高等代数、几何（空间解析几何、高等几何）、近世代数、复变函数、实变函数、概率统计、拓扑学、常微分方程、偏微分方程、计算方法等等。这一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的数学基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的高等数学知识，指导其中学数学的教学和研究工作，也即使他能“居高等数学之高”去临“中学数学之下”。实际的情况又是如何呢？据调查，大多在中学数学教学岗位工作的师范院校毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的高等数学知识几乎没有发挥作用；还有的甚至说：在中学任教多年，将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。这无疑是高等师范院校数学教育的“悲哀”。形成上述状况的原因是多种多样的。第一、由于受“应试教育”的影响，对数学教育的价值“实际需要，文化修养，智力筛选”的前二者已经无暇顾及，只是将数学当作“筛子”用了。由于对数学教育价值的不正确理解，因而许多学生都将“取得好的数学成绩，博得家长和老师欢喜”作为学习数学的重要目的。我们常可见到的现象是，学生身陷数学的套题、技巧之中，奔命于作业、考试之间，教师更是疲于应付，只能将教学研究、科学研究放在次要位置，也就更谈不上与所学习过的高等数学知识建立联系。第二、在我国高等师范院校中，无论是文、史、地，还是理、化、生等各专业，所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深、拓广，螺旋式上升，而数学系的课程设置则是个例外，除了微积分，大学数学课程所开设的高等数学，与中学数学的研究对象、研究方法都有较大的不同，中学数学到大学数学，其知识是直线式上升，而非螺旋式上升。在高师院校数学系的大部分教材中，几乎看不到与中学数学的直接联系，学生难以获得应用高等数学的观点指导中学数学的真实体验。第三、高师院校的教学也存在着一些不足。张奠宙教授曾指出：我们在高师院校执教多年，深感居高未必能自然地临下。在大学课程中，只管讲学科知识本身，联系中学实际的任务往往视为累赘，忽略不讲，举个例子，讲实变函数论，大谈勒贝格测度、勒贝格积分，却不屑于谈谈测度与面积、体积之间的内在联系。对于中学教师来说，也许后者是至关重要的。对此，我们也有同感。再看一个具体例子，在大学近世代数课程中学习“欧氏环”这一内容，它是解释中学代数中“多项式因式分解”有关问题的理论基础，但并不是每个学习过这一内容的人都能用它准确地解释如下问题：是不是每个多项式都能进行因式分解？因式分解需要分解到什么程度？因式分解的结果是否唯一？难怪教育部副部长王湛同志指出：师范教育的教学与基础教育改革存在着脱节现象。我们知道，中学数学教材的叙述，较多地采用了描述性的方法，理论上的要求不可能十分严谨，内容的深度与广度都有一定的局限性。根据中学数学的教学目的和中学生的年龄特征，这样的处理方法应该说是合理的；但是作为一名中学数学教师，仅仅具备中学教材所涉及的知识（在新课程标谁下的必修课内容），那是远远不够的。即便是在现行教材中的数学知识范围内，有些问题如果不在高等数学的知识背景下来解释，仍将含糊不清，甚至疑问重重。下面通过几个例子来说明 。 一、从几个例子说起在中学数学中有许多用中学数学不能准确解释的问题，它们都需要利用高等数学的思想、观点和方法来解释。例1 关于多项式的因式分解。因式分解的概念想必大家都很熟悉，即，称把一个多项式表示为若干个因式乘积的形式为因式分解。但有一些问题利用概念却无法解释，如，1） 是否每个多项式都能进行因式分解？2） 因式分解进行到什么程度才能结束？3） 因式分解的结果是否唯一？4） 多项式的因式分解与整数的素因数分解有何联系？例2 以下哪个表示的是函数的符号：？函数概念的发展经历了一个漫长的过程。在现行教材中，分别在初中、高中、大学都介绍了函数，细心的老师可以发现定义是有一些不同（主要是初中与高中或大学有差别）。定义1（初中） 在某一变化过程中，有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，按照某种对应关系，都有唯一确定的值和它对应，那么就把称为的函数，称为因变量。定义2（高中或大学） 设是两个集合，如果按照某种对应关系，使的任何一个元素在中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合到集合的函数。定义3（高中或大学） 从集合到集合的映射，称为从集合到集合的函数。简称为函数。定义4（大学） 从集合到集合的函数是满足以下条件的从到的一个关系：1）；2）如果，那么。例3 古代几何三大问题（尺规作图问题）：1） 三等分任意角；2） 化圆为方；3） 立方倍积；在原来初中教材中还曾有过的一个尺规作图问题：圆内接正七边形是尺规作图不能的。我们的问题是：这里的尺和规有什么限制？为什么有那样的限制？这样的尺和规有什么功能？例4 几个具体的数学问题：1）求实数的值，使得达到最小值。2）已知中，是边上的中点，是上的任意一点，连并延长交于，连并延长交于，求证：。3）已知为实数，且，试证 。二、从欧氏环理论看多项式的因式分解什么是欧氏环？其实大家所熟知的整数环、多项式环等都是欧氏环。我们先对整数环做一分析。整数环中的两个运算分别具有以下运算规律，即加法：交换律；：结合律；：有零元；：每个元有负元。乘法：交换律；：结合律；：有单位元；：消去律。：乘法对加法具有分配律 。：存在映射，且满足条件：1）当且仅当；2），；3）给定，则存在，使得，且。如，可定义映射等，应该说这种映射有无穷多个。定义1 设是带有“加法”、“乘法”运算的集合，若满足上述的，则称是欧氏环（映射）。可以证明，多项式环是欧氏环。只需定义映射为： ，其中，表示多项式的次数。显然，这样的映射也有无穷多个。定义2 欧氏环中的元素称为的单位，如果存在，使得 。定义3 设是欧氏环的元素，若存在，使得，则说是的一个因子，用表示。若，且，则说与相伴，记为。若，但与不相伴，且不是单位，则说是的一个真因子。定义4 设是欧氏环的元素，是非零元且不是单位，若可唯一地表示为，则是单位或是单位，就说是的一个不可约元。否则称为可约元。定义5 设是欧氏环的元素，且满足1）， ；2），若，且，则，那么叫做和的一个最大公因子。引理1 欧氏环的元素是单位的充要条件是。定理1 在欧氏环中，每个非零元都可以分解成 ，其中，是单位，都是的不可约元。引理2 设是欧氏环的两个元素，则它们必有最大公因子，且存在，使得 。引理3 设是欧氏环的不可约元，若，则或。推论 设是欧氏环的不可约元，若，则必是中某个的因子。定理2 设是欧氏环的非零元，并且若 其中是的单位，是的不可约元，那么，且将的标号重排后，可以是与相伴。利用上述理论便可回答例1中提出的几个问题。三、仿射变换在初等几何证明中的作用例4中的2）能否将一般的三角形转化为正三角形呢？事实上是可以的，这是以仿射变换为依据的。1、定义和性质定义1 设是平面上两条直线，过上的点，作一组平行直线交于点，这样建立的间点的一一对应称之为平行投影。定义2 设是平面上两条直线，记，间的平行投影分别为，称这样建立的间点的一一对应为仿射对应。定义3 把建立在自身上的仿射对应称为仿射变换。定义4 平面直角坐标系在仿射变换下的像为仿射直角坐标系（它和平面直角坐标系有许多类似之处）。定义5 仿射变换的代数表达式为 。其逆变换为 。定义6 设为直线上三点，记有向线段的数值之比为这三点的简单比（简比或单比），记为（）。性质1 在仿射平面上，直线的方程是一次的。性质2 仿射变换把直线变为直线，把代数曲线仍然变为代数曲线，而且曲线的次数不改变。性质3 简单比是仿射不变量。性质4 两个三角形的面积之比是仿射不变量推论1 任意两个多边形的面积之比是仿射不变量。推论2 任意两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量。性质5 两条平行直线经仿射变换后仍为平行直线（平行性是仿射不变性）。推论1 两条相交直线经仿射变换后仍为相交直线。推论2 共线的点经仿射变换后仍为共线的点。推论3 共点的线经仿射变换后仍为共点的线。此三个推论说明：结合性是仿射不变性。性质6 圆的仿射变换像是椭圆。2、例子例1 设直线MN过的重心G，分别交AB，AC与M，N。求证 。例2 （梅内劳斯定理）设分别在的边及（或延长线）上，求证：三点共线的充要条件是。例3 利用仿射变换求椭圆的面积。例4 求证直线与椭圆相切的条件是。例5 求椭圆内接三角形的最大面积。例6 平行四边形中，分别