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加试模拟训练题（17）1、设是梯形，在其两腰上分别存在点，使得，证明点到梯形两对角线的交点的距离相等。2、已知，且，求证：3、 在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已赛过8轮，即每个队都与8个不同的队进行过比赛证明：一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛4、证明不存在正整数，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数。加试模拟训练题（17）1、设是梯形，在其两腰上分别存在点，使得，证明点到梯形两对角线的交点的距离相等。（20届全俄）证明 设与的外接圆交于点，则有，所以点在上。又因为，所以。设与的外接圆半径分别为，则，因此与的交点是的外接圆与的外接圆的位似中心，设与的外接圆的圆心分别为，则在上，且是的中垂线，于是有。2、已知，且，求证： 证明：构造函数，易知在上为增函数，所以对任意，有 ，则 再分别令，代入上式，相加得 3、 在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已赛过8轮，即每个队都与8个不同的队进行过比赛证明：一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛【证】 从某队a开始考虑，由已知在前八轮比赛中它与8个队比赛，与9个队未赛过而在这未赛的9个队中一定有两个队彼此没有赛间的比赛最多只能安排4场(一个队轮空)，故在前8轮中，最多只赛32场所以一定有两队彼此没有赛过，设为b、c那么，a、b、c三队在前8轮中彼此没有赛过一场4、证明不存在正整数，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数。证明：假设存在这样的正整数，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数，那么（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）也必定是完全平方数。而（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）36n6+36n4+11n2+1；36n6+36n4+9n2；36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1；所以（2n2+1）（3n2+1）（6
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