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13数学建模示例-郭洪奇第五章 量纲、层次分析一、量纲分析1. 量及其度量10. 模型所涉及的主要是量不是数20. 量（物理量）可以分为：基本量：基础的，独立的量: 长度、质量、时间、导出量：由基本量通过自然规律导出的量: 速度、加速度、力、30. 量的度量体系 单位制：基本量及其度量单位40. 国际单位（SI）制 基本量：长度-米-m，质量-千克-kg，时间-秒-s，电流强度-安培-A，温度-开尔文-K，光强-坎德拉-cd，物质的量-摩尔- mol导出量：力-牛顿-N（kgms-2），能量-焦耳-J（kgm2s-2），功率-瓦特-W（kgm2s-3），频率-赫兹-Hz（s-1），压强-帕斯卡-Pa（kgm-1s-2） 2. 量纲：10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式： Q=La M b Tg Ih qd J x N z为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。a b g h d x z 称为量纲指数。例如面积=L2，体积=L3，速度=LT-1,加速度=LT-2。 注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。 2. 对于某个物理量Q, 如果 Q=La M b Tg Ih qd J x N z，有a=b=g=h=d=x=z=0，则称之为无量纲量，记为Q=1 。它将不依赖于选定的基本量。 3. 无量纲量不一定是无单位的量。20. 量纲齐次法则 一个物理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。例如, 牛顿第二定律F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2 满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。3.量纲分析量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲信息，由量纲齐次法则确定物理量之间的关系。例1：建模描述单摆运动的周期问题：质量为m的小球系在长度为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。假设：1. 平面运动，忽略地球自转； 2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空气阻力； 4.忽略摆线的质量和变形. 分析建模：10. 列出有关的物理量：运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 x. 20. 写出量纲: t=T，l=L，m=M，g=LT-2，x=1. 30. 写出规律: F(t, l, m, g, x)= 0. 40. 写出规律中加项 p 的形式: p=t y1 l y2 m y3 g y4 xy5 50. 计算 p 的量纲: p = T y1 L y2 M y3 （LT-2）y4= T y1-2y4 L y2 + y4 M y3 60. 应用量纲齐次原理: 由p = 1，可得关于yi （i 1, 2, , 5）的方程组: y1 2y4 = 0 y2 + y4 = 0 y3 = 0 y5 任意 70. 解方程组: 解空间的维数是二维。对自由变量（y4，y5）选取基底（1，0）和（0，1）。关于y1, y2, y3 求解方程组可得基础解系(2, -1, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T 80. 求p: 将方程的解代入加项 p 的表达式，可得 p1 = t2 l-1 g， p2 = x .90. 建模: 单摆运动的规律应为 f (p1, p2) = 0，解出 p1 可得 p1 = k1(p2)，即有 . 100. 检验： 周期与 质量 m m=390g m=237gl = 276cm 3.327s 3.350sl = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 x (l=276cm, m=390g)x (度) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 可见： 当 x 150 时, k( x ) 2 p。 k(x) 与 x 有关。Buckingham p 定理: 物理量的函数关系 F(x1, ,xk) = 0 是量纲齐次的, 当且仅当它可以表示成形式 f(p1, , pm) = 0， 其中 ，i=1,2,m k,为 xj 的无量纲乘积， 即 pi = 1.二、量的比例关系与轮廓模型1. 量的比例关系因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，又由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。所以在同一模型中，若量 x1和 x2的量纲分别为 x1 = Xa 和 x2 = Xb ，则一定有 x1=k x2 a/ b例 1. 正立方体：棱长 l0=a，表面积 S1 = 6a2，底面面积 S2 = a2， 对角面面积 ；体积 V1 = a3，四棱锥体积 V2 = a3/3结论：在简单的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；Si Lj2 ,相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；Vi Lj3 ,相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Vi Sj3/2。同理,在相似的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； Si Lj2，相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比； Vi Lj3，相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Vi Sj3/2。同样的结论对抽象几何体一般也成立例2. 生活中的长度、面积和体积。10. 纽约黑鲈的体重W和体长LW(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49L(in) 12.5 12.6 12.6 14.1 14.5 14.5 17.3 17.8L3 195 202 203 282 305 305 513 559 W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 黑鲈鱼的体重与体长关系wl320. 人的体重W和身高LW(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3)636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118人的体重W和身高L关系wl330老虎的身长（不含头尾）与体重:注意到老虎身体的躯干明显下垂。视老虎的躯干为长度为l，直径为d，截面面积为s的圆柱体。设老虎体重为 w 。由弹性力学的研究结果知，动物在自身体重w作用下躯干的最大下垂度 b wl3/(sd2)。因为 w sl, 所以 b/l l3/d2. 称 b/l为躯干的相对下垂度，应视为与动物尺寸无关的常数。于是 l3 d2, 再考虑到 w sl, s d2, 结果得到w l4. 2. 轮廓模型 直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。例3. 商品的包装与成本商 品 价格 含量 单价 高露洁牙膏 15.7元 190g 8.3元/100g 诗芬洗发液 35.9元 400ml 9元/100ml 富丽饼干 8.8元 450g 1.9元/100g 建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?假设:10.包装只计装包工时和包装材料。20.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。 30.不同规格的商品装包时工作效率相同。40.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。参量与变量:W:每件商品净重（产品的含量）,C(W):每件商品的总成本,A: 每件商品中产品的成本,B1: 每件商品装包工时投入, B2: 每件商品包装材料成本，S: 包装材料用量,c(W):商品单位重量的平均成本. 分析：C(W) = A + B1 + B2 A = a1W, B1 = a2W, B2 = a3S = a4w2/3， 模型：C(W)= k1W + k2W2/3， c(W) = k1 + k2W-1/3应用于价格预测： 康尔乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3.预测: W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36检验: 实际 W=1800, C(W)=115.9, W=2500, C(W)=146.85可赛矿泉水：1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7 1.0 k1+1.02/3 k2 = 2.2解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41模型: C(W)=-1.21W + 3.41W2/3.预测：W=1.5，C(W)= 2.65检验: 实际 W=1.5, C(W)= 3.45 分析:10. 轮廓模型不宜于预报新商品的价格(?) 20. 成本的降低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3是商品量的减函数. 30. 支出的节省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3也是商品量的减函数. 购买小包装商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！ 例4. 划艇比赛的成绩:问题1. 划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，赛程 2000m, 称划行时间为比赛成绩。试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。 假设：10.艇身相似，艇重 U 与桨手人数 n 呈正比。20.运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变, 且与体重 W 呈正比。30. 艇速 v 定常，阻力 F与 Sv2 呈正比，S 为浸没面积。参量、变量:n: 人数， W: 体重，P: 输出功率,U: 艇重，v: 艇速，F: 划艇受到的阻力，S: 浸没面积, V：排水体积，D: 比赛距离，T: 比赛成绩(时间). 分析：由假设可知 U=k3n， P=k1W, F=k2Sv2.由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有 n P = k4 F v，则 k1 n W = k4 k2 S v3。于是得到速度模型 v = k9 (nW/S)1/3.由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与载人艇的总重量呈正比, V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。浸没面积与排水体积关系为 S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度模型，可得 v=k9(nW/n2/3)1/3=k10n1/9最后得到比赛成绩的模型 T=D/v=k n-1/9.检验：划艇四次比赛的成绩: 种类 成绩(划2000米时间(分) 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835根据这些数据，利用最小二乘法拟合可得T = 7.29 n-0.104。模型相当准确。问题2.如果八人艇分为重量级组和轻量级组，规定重量级组运动员体量为86公斤，轻量级组运动员体重为73公斤。表列八人艇是重量级组的成绩, 请推断轻量级组的成绩。 假设：轻量级组的运动员体重, 划艇浸没面积, 艇速和成绩分别为 W1, S1, v1, T1, 相应的重量级组为 W2, S2, v2, T2。根据前面得到的艇速的模型，有v1=k(nW1/S1)1/3 ，v2=k(nW2/S2)1/3.因此根据浸没面积与排水体积的模型S=k7V2/3 ，和排水体积与人数模型V = k5(U+nW)，有可得(W2/W1)1/9 (T1/T2) (W2/W1)1/3.由于 W2/W1=86/73=1.178,则有1.018 (T1/T2) 1.056。估计轻量级组的成绩5.940 T2 bc这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入问题的分析及假设:应该根据需求量确定购进量需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是有了和a，b，c，就可以建立关于购进量的优化模型了假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n，等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入模型的建立及求解:记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量rn，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量rn，则n份将全部售出考虑到需求量为r的概率是，所以问题归结为在，a，b，c已知时，求n使G(n)最大通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率转化为概率密度函数，(1)式变成计算令.得到使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(3)式因为，所以(3)式又可表为根据需求量的概率密度的图形很容易从(3)式确定购进量n在图2中用，分别表示曲线下的两块面积，则(3)式可记作 因为当购进n份报纸时，是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率：是需求量r超过n的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔b-c之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.例如，需求量服从正态分布，则当报童的订报量n满足 或等价于不难计算得到 n= 102时长期平均收益最大。若 此时 ，n=104时长期平均收益最大。若 此时 ，n= 96时长期平均收益最大。例2：物资贮存模型例3：经济轧钢模型 轧钢工艺由两道工序组成，第一道是粗轧（热轧），轧出的钢材参差不齐，可认为服从正态分布，其均值可由轧机调整，其方差则由设备的精度决定，不能随意改变；第二道是精轧（冷轧），精轧时，首先测量粗轧出的钢材长度，若短于规定长度，则将其报废，若长于规定长度，则切掉多余部分即可。问粗轧时，怎样调整轧机的均值最经济？问题分析：设成品钢材的规定长度是，粗轧后的钢材长度为，是随机变量，它服从均值为、标准差为的正态分布（其中已知，待定）。的密度函数为 轧制过程的浪费由两部分构成：一是当时，精轧要切掉长为的钢材；二是当时，长为的整根钢材报废。显然这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数。考虑到轧钢的最终目的是获得成品钢，故经济的轧钢要求不应以每粗轧一根钢材的平均浪费量最少为标准，而应以每获得一根成品钢的平均浪费量最少为标准，或等价于每次轧制（包括粗轧、精轧）的平均浪费量与每次轧制获得成品钢的平均长度之比最小为标准。模型建立：以W记每次轧制的平均浪费量，记L为每次轧制获得成品钢的平均长度，则其中表示的概率。所以目标函数为模型求解： 由于是常数，故等价的目标函数为其中是标准正态变量的分布函数。记其中，则用微分法求的极小值点，注意到，易知的最优值应满足方程 其中 可根据标准正态分布函数和制成表格或画出图形以便求解。例如：设要轧制长为米的成品钢材，由粗轧设备等因素组成的方差精度米，问需要将钢材长度的均值调整到多少时才使浪费最少？ 由上面的分析及最优值点满足的方程，知 首先作出及的图形如下。不难得到两条曲线的交点处的值为-2.19,即为目标函数的最优值点,从而即将钢材的均值调整到2.36米时浪费最少.此时,每次轧制得到一根成品材的平均浪费量为0.45米,为了减少该数值,只有提高粗轧设备的精度,即减小。例4：广告投入模型在我们的现实生活中，广告无所不在。广告给商家带来了丰厚的利润，广告中蕴藏着诸多学问。以房产销售广告为例，房产开发商为了扩大销售，提高销售量，通常会印制精美的广告分发给大家。虽然买房人的买房行为是随机的，他可能买房，也可能暂时不买，可能买这家开发商的房子，也可能买另一家开发商的房子，但与各开发商的广告投入有一定的关联。一般地，随着广告费用的增加，潜在的购买量会增加，但市场的购买力是有一定限度的。表1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力。 表1 广告投入与潜在购买力统计（单位：百万元）广告投入 0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1购买力 10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950下面从数学角度，通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。模型假设：（1）假设单位面积成本为P1元，售价为P2元，忽略其他费用，需求量是随机变量，其概率密度为。（2）假设广告投入为P百万元，潜在购买力是P的函数记作,实际供应量为y。模型建立：开发商制定策略的好坏主要由利润来确定，好的策略应该获得好的利润（平均意义下），为此，必须计算平均销售量。 上面右边第二项表示当需求量大于等于供应量时，取需求量等于供应量。因此，利润函数为 利用得到 （1）上式中，第一项表示已售房毛利润，第二项为广告成本，第三项为未售出房的损失。模型求解：为了获得最大利润，只需对（1）式求导并令其为零，设获得最大值时的最优值为，则 因此，满足关系式 （2）通过（2）式知道，在广告投入一定的情况下，可以求出最优的供应量，但依赖于需求量的概率分布。为使问题更加明确，增加如下假设：（3） 假设需求量服从均匀分布，即 (3)将（3）代人（2）得到 （4）即最优的供应量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力的乘积。将（4）式代入（1）式，得到最大利润为 （5）对（5）式关于求导，得驻点满足的方程为 （6）因此，只要知道了潜在购买力函数，就可以给出最优的广告投入。 下面根据开发商获得的相关数据，来确定潜在购买力函数。通过对表1数据分析，得知其符合型曲线增长率，经拟合得到 （7） 将（7）式代入（6）式， 记 则 当时，求得 则 （8）将代入（8）式得到(百万元)。例5：池鱼量估计问题为了估计湖中鱼的数量，先从湖中钓出条鱼做上记号后又放回湖中，然后再从湖中钓出条鱼，结果发现条鱼中有条鱼标有记号。问应该如何估计湖中鱼的数量？分析与求解：该问题就是要从第二次钓出的标有记号的鱼所占的比例估计出湖中鱼的数量。首先我们假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的。则第二次钓出的标有记号的鱼数X是一个随机变量，X服从超几何分布 （*）其中为整数，且。用表示（*）式的右端，则取使达到极大值的N作为N的估计量。直接对N求导考察极值比较困难，我们用比值法来研究的变化 从上式看出，当且仅当时，而当且仅当时，。因此在附近取得极大值，于是的估计值为或+1，取使得的值更大的一个即可。 上面的求解方法实际上是运用了概率统计中的极大似然原理，即现在这个事件发生了，那么客观情况使得它最有可能发生。下面换个角度考虑上述问题，既然假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的，我们可以认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同，即从而，取整即与上述分析所得的结果完全相同。二、风险决策模型 决策是人们在政治、经济、军事和日常生活等多方面普遍存在的一种选择方案的行为。任何决策都有一个过程和程序，绝非灵机一动随意产生的，除非你想敷衍了事。就环境而言，决策可以分为确定型，不确定型和风险型。以下介绍风险型决策模型。风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估计出来，因此这种决策因存在一定的风险，称为风险型决策。1. 风险决策模型的基本要素1) 决策者 进行决策的个人、委员会或某个组织。在问题比较重大和严肃时，通常应以组织形式出现。2) 方案或策略 参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略。如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略。3) 准则 衡量所选方案正确性的标准。作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断。从收益角度去看问题，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失而言，期望效益值越小的方案越好。4) 事件或状态 不以决策者所控制的、客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人们不可控制的因素。5) 结果 某事件(状态)发生带来的收益或损失值。2. 风险决策方法（1）利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，本节将充分使用这种称为决策树的方法。（2）充分利用灵敏度分析方法对决策结果作进一步的推广和分析。其中的决策树概念先以一实例说明如下。例1：某渔船要对下个月是否出海打鱼作出决策。如果出海后是好天，可获收益5000元，若出海后天气变坏，将损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元损失费.据预测下月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，应如何选择最佳方案?1收益期望值的计算将出海的收益作为随机变量X，其概率分布如下：X 5000 -2000P 0.6 0.4 故X 的数学期望为EX=50000.6+(-2000)0.4=2200（元）将不出海的收益作为随机变量Y，依题意，其概率分布为PY =-1000=1，故Y 的数学期望为EY =-10000.6-10000.4= -1000。2画决策树图引入决策节点 A ，由此引出两个分支，即两个决策方案：出海与不出海。有两个状态节点，用符号“”标记，由它引出表示不同状态下事件发生的概率的分枝称为概率分枝，最后在概率分枝的终点画“”符号表示这一分枝的最终结果的效益值(期望值)，正值表示收益，负值表示损失。本例对应的决策树如下图1。比较节点B、C，显然出海收益的数学期望值大，即2200-1000, 从而选择出海。以上是一个很简单的决策问题，然而在实际问题中还会遇到多阶段的决策。例2：某建筑工程用正常速度施工，若天气正常，30天即可完工。但据预测15天后天气将转坏，其中有40%可能为不影响施工的阴雨天气；有50%的可能遇暴雨使工期推迟15天；有10%可能遇台风使工期推迟20天。面对这种状态有两个方案：第一个方案为提前紧急加班，在天气变坏之前完工，但须多支付18000元工资。第二方案为不加班，到15天后再决策：(1) 若遇阴雨天，照常施工，按时完工；(2) 若遇暴雨有两个方案：其一，不采取任何措施，但须支付工程延期损失费20000元。其二，采取某种应急措施，但有三种不同的可能性：有50%可能减少误工1天，须支付延期损失费和应急费24000 元；有30%的可能减少误工期2天，须支付延期损失费以及应急费18000 元；有20%可能减少误工3天，须支付损失费和应急费12000元。(3) 若遇台风，也有两种可能的方案：其一不采取特别措施，但需支付延期损失费50000元。其二，采取应急措施，有三种可能性：有70%可能性减少误工2 天，支付损失费和应急费54000 元；有20%可能性减少误工3 天，须支付损失费及应急费46000元；有10%可能减少误工4天，须支付损失费和应急费38000元。试确定最佳方案。1.问题的分析及模型求解：该问题是两阶段的决策问题，可以画出两阶段决策树，如下图2和下图3。定义15天后根据不同天气所作的决策为第1级决策，最后的决策为第2级决策。先画出第1级的状态节点B，按上例的方法画出决策枝，按通常的方法完成决策树。先作第1 级决策。对台风情形，设三种状态下付出的费用为随机变量X ，其概率分布分别为X 54000 46000 38000P 0.7 0.2 0.1因此，采取应急措施所付出的费用的数学期望为EX =-(0.754000+0.446000+0.138000)=-50800将其标记在状态点F1 上方。它显然超过不采取措施的付出，所以应剪去在台风情形采取应急措施这一枝，并将-50000 标在决策点D3的上方。同理，对决点D2计算对应于采取应急措施的状态结点E1的支付费用的数学期望，得-19800，标在状态结点E1的上方。它比不采取措施的支付20000 少，因此剪去不采取措施这一枝，并把-19800 标在决策结点D2上方，这就完成了第1 级决策(见图2)。在天气状态结点B处，用第1级决策的结果计算“效益”的数学期望值为EY =-(0.40+0.519800+0.150000)= -14900图1-2 第1 级决策并标记在B 的上方，其效益与提前加班的效益-18000 相比更好，故不能采取提前加班的方案，如下图3所示。2.结论：最佳的决策是不用提前加班，等15 天后若遇阴雨天或台风都只须听其自然按原来的进度施工，而遇暴雨则采取应急措施，此决策方案支付的费用的数学期望是14900元。3.灵敏度分析：考虑遇暴风雨情形下，采取紧急措施的三种状态的概率发生变化，因而对决策的影响。不妨设因采取紧急措施减少误工1 天、2天、3天的概率分别为0.55、0.25 和0.2，这时计算建筑公司所付出的费用的数学期望为20100 元，与20000元比较，因此减去采取措施这一分枝。再计算“效益”的数学期望值EY =-(0.40+0.520000+0.150000)= -15000。同样，最终的决策仍然是不用提前加班，等15 天后，不管遇什么样的天气都顺其自然，不采取任何措施，在该决策方案下，建筑公司所支付的平均费用为15000例3：元（即损失代价值）。习题1. 挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。请你用层次分析法帮他选取工作。2速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度为。用量纲分析法确定风车获得的功率与、的关系。3用量钢分析法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。记水的流速为，密度为，比热为，粘性系数为，热传导系数为，人体尺寸为。证明人体与水的热交换系数与上述各物理量的关系可表示为，是未定函数，的定义为单位时间内在人体与水的温差为1oC时，通过人体单位面积的流失的热量。4.某商场根据经验表明：当进货决策正确时，销售率为90%，而当进货决策失误时，销售率只有30%。另外，每天早晨开始营业时，决策正确的概率为75%。求某一天若第一批商品上柜时，便被抢购一空，此时决策正确的概率是多少？5.某企业拟投资100万元研究和开发(R&D)某中新产品,1年后研究和开发成功的概率为0.6.若研究和开发成功,则有两种生产方案可供企业选择：一是建大厂,其规模为20 万件/年,所需全部投资(现值)为400万元;二是建小厂,其生产规模为10 万件/年,所需投资(现值)为200万元.经过市场预测分析,认为该新产品投放市场后,其市场需求出现高、中、低三中状态的概率分别为0.5、0.3和0.2.在项目计算期内,两种生产方案在不同情况下的净收益的现值总额如表所示试问应该如何决策?现净值总额方案 高需求状态中需求状态低需求状态建大厂1000500250建小厂5005002506. 某工厂生产一种过滤设备,这种设备的结构大体上由上,中,下三层组成,每层都有一个过滤网,按照规定,过滤网损坏后,一年内本厂负责免费修理,但是,由于这三层过滤网在设备结构中的位置不同,修理成本也就不同,修理最上层的成本需20元,修理中层的成本为35元,而修理最下层的成本达65元,每台损坏的设备送来修理时根本不知道损坏在哪一层,因此有以下三种修理方案：.干脆依次把三层过滤网全部更换,这时每层修理成本都是65元,先更换上,中两层过滤网,然后做一次过滤实验,这里有两种可能存在;如果故障确实出在上层或者中层,那就算修理完毕,每台修理成本为35元;如果故障出在下层,还得重新拆开修理下层这时的修理成本等于两次成本之和,达到35+65=100元,从上到下拆一层实验一层,直到修理好为止,这就有三种可能;如果是上层坏了,修理成本仅20元;如果中层坏了,就得拆开两次,修理成本为20+35=55元;如果下层坏了,就得拆开三次,修理成本达55+65=120元,根据过去大量统计资料,这种设备上,中,下过滤网出现故障的概率分别为0.3,0.3,0.4,试问选择哪种方案,该厂的修理费用最低?7.某公司根据市场预测，所生产的产品会有较大规模的需求量，而目前的产量明显不足。现行状态是公司当前的雇员用每周40小时的正常工作时间进行运作。那么为了提高产量，公司决策集团提出了两种新的方案：一是利用现在这些雇员进行超时工作，二是增加新设备。市场分析专家认定，对产品的需求增加15%的可能性为60%，但也提出警告说经济可能恶化，因而需求实际下降5%的可能性为40%。有关信息列于下表中，该表显示了每种行动，每个自然状态和它出现的概率，以及在每种行动和每个状态下公司的纯收入。试确定最佳决策方案，并进行灵敏度分析。8. 某厂生产三种产品每种产品要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，他们以A1、A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示，产品可以在A、B任何一种规格设备