江苏省六合高级中学高三数学第二学期期中考试试卷.docVIP

江苏省六合高级中学2012届高三第二学期期中考试数学（正题卷）一、填空题：（每题5分，共70分）1、设集合，a=2，3，5，b=1，4，则= .2、已知复数（i为虚数单位），则复数的虚部为 3、命题“，”的否定是 4、过点a(2,6)，且垂直于直线x-y-2=0的直线方程为 5、两条平行直线与之间的距离等于 6、曲线y = 2e x 在x=0处的切线方程是 7、用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为_ 8、函数（0）的单调减区间为 9、与双曲线有公共渐近线，且一条准线方程为的双曲线方程为 10、函数，的值域是_ _11、若圆与圆外切，则正数t的值是 12、已知平面内两点，直线与线段ab恒有公共点，则实数k的取值范围是 13、如图，已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .14、设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 二、解答题：（14分+14分+14分+16分+16分+16分，共90分）15、（本小题满分14分）已知a，b，c分别为abc的三内角a，b，c的对边，且（1）求角b的大小；（2）求sina+sinc的取值范围。16、（本小题满分14分）如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab=ad=1，aa1=2，点p为dd1的中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面； （3）求三棱锥dpac的体积。17、（本小题满分14分）已知椭圆c的中心o在原点，长轴在x轴上，焦距为，短轴长为8，（1）求椭圆c的方程；（2）过点作倾斜角为的直线交椭圆c于a、b两点，求的面积。18、（本小题满分16分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形abc的三个顶点处，已知ab=ac=18km，现计划在bc边的高ao上一点p处建造一个变电站. 记p到三个村庄的距离之和为y ，（1）设，把y表示成的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？19、（本小题满分16分） 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；ks.5u（3）经过三点的圆是否经过异于点m的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由。20、（本小题满分16分）已知函数，,为常数。（1）若函数在1处有极值10，求实数,的值；（2）若0，(i)方程2在4,4上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围；(ii)不等式20对1，4恒成立，求实数的取值范围。江苏省六合高级中学2012届高三第二学期期中考试数学（附加题）（特别提醒：请同学们选做矩阵与变换、坐标系与参数方程）命题人：石玉宏、孟德 一审：周德建 二审：杨宗前21.【选做题】在下面a、b、c、d四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分。a选修41：几何证明选讲 如图所示，圆o的两弦ab和cd交于点e，ef/cb，ef交ad的延长线于点f，fg切圆o于点g。 （1）求证：defefa； （2）如果fg=1，求ef的长。b选修42：矩阵与变换 设m是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿方向伸长为原来5倍的伸压变换。 （1）求直线在m作用下的方程； （2）求m的特征值与特征向量。c选修44：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合。若曲线c1的方程为，曲线c2的方程为。 （1）将c1的方程化为直角坐标方程； （2）若c2上的点q对应的参数为，p为c1上的动点，求pq的最小值。d选修44：不等式选讲 设函数，若不等式对任意且恒成立，求实数的范围。22（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac=3，bc=4，ab=5，aa1=4. （1）设，异面直线ac1与cd所成角的余弦值为，求的值； （2）若点d是ab的中点，求二面角dcb1b的余弦值。23（本小题10分）在0,1,2,3，9这是个自然数中，任取三个不同的数字。（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时的值是2），求随机变量的分布列及其数学期望e。江苏省六合高级中学2012届高三第二学期期中考试数学参考答案及评分标准一、 填空题1、6 2、811、4 12、 13、 14、二、解答题 (3) 由于pd平面adc，（12分） 所以=（14分）17、解：（1）设椭圆方程为：，由题意得： 所以椭圆c方程为 （7分）（2）不妨设a（-5，0），直线ab方程为：，由得（11分） 所以 （14分） 说明：用根与系数关系和弦长公式去做，同样给分。18、解：（1）由等腰直角三角形abc中ab=ac=18km得：=oa=km， 又，所以. 2分所以点p到a、b、c的距离之和为(7分) 故所求函数关系式为. () (8分)答：变电站建于距o点3km处时，它到三个小区的距离之和最小. (16分)19、解：（1）设，由题可知，所以，解之得：, 故所求点的坐标为或( 5分)（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，( 7分) 解得，或，ks.5u故所求直线的方程为：或( 10分)（3）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为： (12分)化简得：，此式是关于的恒等式，故（14分） 解得或所以经过三点的圆必过异于点m的定点 (16分)（2）(i)由f(x)2，得f(x)20，令g(x)f(x)2x3bx2，则方程g(x)0在x4,4上恰有3个不相等的实数解。 g(x)3x2b， （）若b0，则g(x)0恒成立，且函数g(x)不为常函数，g(x)在区间4,4上为增函数，不合题意，舍去。 （6分）（）若b0，则函数g(x)在区间(，)上为增函数，在区间(，)上为减函数，在区间(，)上为增函数，由方程g(x)0在x4,4上恰有3个不相等的实数解，可得 （9分）解得 b （ 10分 ） (ii)法一：由不等式f(x)2b0，得x3bx2b0，即(x2)bx3，（）若x20即x2时，br； （11分） （）若x20即x时，b在区间上恒成立，令h(x)，则bh(x)max。h(x)，h(x)0在x上恒成立，所以h(x)在区间上是减函数，h(x)maxh(1)1，b1。 （13分）（）若x20即x时，b在区间上恒成立，则bh(x)min。由（）可知，函数h(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，h(x)minh(3)27，b27 (15分)综上所述，b1，27 (16分)法二： 设 （11分）当时，在1,4上为增函数, ， 所以 ， （12分）当时，在区间(，)上为增函数，在区间(，)上为减函数，在区间(，)上为增函数，若，即时，在1,4上为增函数, 所以 ， （13分）若时，时，在上为减函数，在上为增函数，所以， 得 （14分）若时，即时，在1,4上为减函数, ，得，舍去。 （15分）故 的取值范围是 (16分)21【选做题】a选修41：几何证明选讲(1)因为，所以，又，所以，又，所以6分（2）由（1）得，因为是切线，所以，所以10分b选修42：矩阵与变换（1）2分设是所求曲线上的任一点， 所以所以代入得，所以所求曲线的方程为4分（2）矩阵的特征多项式，所以的特征值为6分当时，由，得特征向量；当时，由，得特征向量10分c选修44：坐标系与参数方程（1）4分（2）当时，得，点到的圆心的距离为，所以的最小值为10分d选修45：不等式选讲由，对任意的，且恒成立，而，即，解得，或，所以的范围为 10分baca1db1c