模糊数学精品讲义-模糊模式识别

1 3.5 模糊模式识别 模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型 (数学形式化了的类型 )的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。 2 在科学分析与决策中 ， 我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理 ， 分成若干类型 ， 以便使用管理 。 当我们取到一个新的样本时 ， 把它归于哪一类呢 ？ 或者它是不是一个新的类型呢 ？ 这就是所谓的模式识别问题 。 在经济分析 ， 预测与决策中 ， 在知识工程与人工智能领域中 ， 也常常遇到这类问题 。 本节介绍两类模式识别的模糊方法 。 一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集 ；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集 。 3 例 1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果 。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = 级， 级， 级， 级 ， 显然，模型 级， 级， 级， 级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。 4 例 2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程 。 设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间 ) 。 各种疾病都有典型的症状 ， 由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病 ， 胃溃疡 ， 感冒 ， ，显然 ， 这些模型 (疾病 )都是模糊的 。 病人向医生诉说症状 (也是模糊的 )， 由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断 。 这是一个模糊识别过程 ，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题 。 5 3.5.1 模糊模式识别的直接方法 点对集 1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型： 设在论域 X 上有若干模糊集：A1， A2， ， AnF ( X )， 将这些模糊集视为 n 个标准模式， x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1， 2， ， n ) ? 6 (2) 第二类模型： 设 AF ( X )为标准模式， x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1， 2， ， n ) ? 7 2. 最大隶属 (度 )原则 （针对第一类模型） 设 A1， A2， ， AnF ( X )， x0 X 是待识对象，若 Ai 满足条件 Ai (x0) = max A1(x0)， A2(x0)， ， An(x0) (3.5.1) 则认为 x0 相对隶属于 Ai。 8 3. 最大隶属 (度 )原则 （针对第二类模型） 设 AF ( X ) 为标准模式， x1， x2， ， xn X 为待选对象，若 xi 满足条件 A (xi ) = max A (x1)， A (x2)， ， A (xn) (3.5.2) 则 xi 为最优录选对象 。 9 例 3.5.1 设有三个三角形的模糊集： I 表示“近似等腰三角形”， R 表示“近似直角三角形”， E 表示“近似正三角形”，它们是论域 X= (A, B, C) | A + B + C =180, A B C 0 上的模糊集，其隶属函数规定如下： 。CACBAEACBARCBBACBAI18011,909011,m i n6011,10 容易验证，当 A =B 或 B = C 时， I ( A, B, C ) =1； I(120, 60, 0) = 0； 当 A = 90 时， R( A， B， C ) =1； R(180， 0， 0) = 0； 当 A = B = C 时 ， E(60， 60， 60) =1； E(180, 0, 0)=0。这说明以上隶属函数在边界情况下是合理的。 （ 参阅 P48 边界法 ） 现有一三角形，其三个内角分别为 A = 70， B = 60， C = 50， 问这个三角形应该算作哪一类三角形 ？ 11 计算 按最大隶属度原则 ，这个三角形比较接近“近似正三角形” 。889.018020150,60,70,778.09020150,60,70,833.06010150,60,70ERI12 例 3.5.2 癌细胞识别问题。在识别癌细胞时，把细胞分成四个标准类型，即：癌细胞 ( M )，重度核异质细胞 ( N )，轻度核异质细胞 ( R )， 正常细胞 ( T )。选取表征细胞状况的七个特征为论域： X = x = ( x1， x2， ， x7), x1：核面积 （ 拍照 ） x2：核周长 x3：细胞面积 x4：细胞周长 x5：核内总光密度 x6：核内平均光密度 x7：核内平均透光率 13 根据病理知识，反映细胞是否癌变的因素有以下六个，它们都是 X 上的模糊集。 A：核增大， （ x10 为正常核面积） B：核染色增深， C：核浆比例倒置， ,1121101xxxA ,11252xxB ,11213xxC14 D：核内染色质不均， E：核畸形， F：细胞畸形， （ x30， x40 是正常细胞周长和正常细胞面积） ,lg11267274xxxxD ,41121225xxxE ,112302403246xxxxxF15 上述 1， 2， 3， 4， 5， 6 是可以调整的参数 。 由 A， B， ， F 这六个因素模糊集 ， 可以组合成如下细胞识别中的几个标准模型 （ 模糊集 ） ： M：癌 M = ( A B C (D E ) F ; N： 重度核异质 N = A B C MC ; R：轻度核异质 R =A1/2 B1/2 C1/2 MC NC 16 K：正常 K = MC NC RC。 上述定义中的模糊集 A1/2 表示其隶属函数为 A1/2(x) = (A(x)1/2, 另外两个模糊集 B1/2、 C1/2 的隶属函数有类似的意义 。 给定一个待识细胞 xX， 可以测出其七个特征值： x1, x2, , x7， 由此计算出 A(x), B(x), , F(x)， 再由此计算出 M(x)、 N(x)、 R(x)、 K(x)， 最后按最大隶属度原则 可以鉴别它应归属于 M、 N、 R、 K 中的哪一类 。 17 例 3.5.3 选择优秀考生。设考试的科目有六门 x1：政治 x2：语文 x3：数学 x4：理、化 x5：史、地 x6：外语 考生为 y1， y2， ， yn， 组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。 设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集， A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下： 18 式中 i =1, 2, , n 是考生的编号， j =1, 2, ,6 是考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则 ， 就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4， 其考试成绩分别如表 3.4 ,6001 61jijji xyA 19 表 3.4 考生成绩表 yi x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 71 85 63 92 63 82 68 89 82 63 95 61 90 84 94 63 85 91 62 87 70 82 70 81 20 则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2, y4, y1, y3. .6 9 8.06 0 07.4 1 8,6 6 6.06 0 08.3 9 9,7 1 2.06 0 04.4 2 7,6 7 5.06 0 04 0 54321yAyAyAyA21 例： 考虑通货膨胀问题。设论域为 R+ = x R| x0，它表示价格指数的集合，将通货状态分成 5 个类型 （ x 表示物价上涨 x %)： 通货稳定 轻度通货膨胀 ;5,35e x p,50,1)( 21xxxxA;,510e x p)(22 RxxxA22 中度通货膨胀 重度通货膨胀 恶性通货膨胀 RxxxA23 720e x p)( RxxxA24 730e x p)( .50,1,500,1550e x p)(25xxxxA23 当 x0 = 8 时 ， 即物价上涨率为 8 %， 我们有 ： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。 此时，通货状态属于轻度通货膨胀。 当 x0 = 40 时 ， 即物价上涨率为 40 %， 我们有 ： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。 此时，通货状态属于恶性通货膨胀。 24 4. 阈值原则 有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下： 25 已知 AF ( X )， x X， 给定阈值 0， 1， 若 A(x) , (3.5.3) 则认为 x 隶属于 A 对应的概念或事物。 阈值原则也可以用截集的概念来描述，即 已知 AF ( X )， xX， 给定阈值 0， 1 ， 若有 x A , (3.5.4) 则认为 x 隶属于 A 对应的概念或事物。 26 例 3.5.4 对于例 3.5.1 之三角形识别问题，若给定 1= 0.85， 则因 E (70, 60, 50) = 0.8891， 所以 (70, 60, 50) 可认为属于“近似正三角形”。 若给定 2= 0.8, 则因 I(70, 60, 50) = 0.8332， E(70, 60,5 0) = 0.889 2， 所以 (70, 60, 50) 可认为既属于“近似等腰三角形”又属于“近似正三角形”。 这就是说在模糊集的识别问题中，有时也不是唯一的，也存在着“亦此亦彼”的情况。 27 例 3.5.5 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隶属度规定为例 3.1.8 的情况，即 对于 x1 = 27 岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值 .20025,5251,250,1)(12xxxxY28 1 = 0.7， 则因 Y(27) = 0.862 1， 而 Y(30) = 0.5 2， 而 Y(30) = 0.5 = 2 ， 故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。 29 例 3.5.6 按气候谚语来预报地区冬季的降雪量 内蒙古丰镇地区流行三条谚语： 夏热冬雪大 ， 秋霜晚冬雪大 ， 秋分刮西北风冬雪大 。 现在根据三条言语来预报丰镇地区冬季降雪量 。 为描述 “ 夏热 ” ( A1 )、 ” 秋霜晚 ” ( A2 )、 ” 秋分刮西北风 ” ( A3 ) 等概念 ， 在气象现象中提取以下特征： x1：当年 6-7月平均气温 ， x2：当年秋季初霜日期 ， x3：当年秋分日的风向与正西方的夹角 。 30 于是模糊集 A1、 A2、 A3 的隶属函数可分别定义为 其中 是丰镇地区若干年 6、 7 月份气温的平均值，1 为方差 。实际预报时取 =19 ， 212=0.98 ,2,2,11111111xxxxxxx1x1x ,0,1222222axaxxA ,0211,12112111xxxA ,2222222axxxaxx31 其中 是若干年秋季初霜日的平均值 ， a2 是经验参数 。 实际预报时取 =17 ( 即 9月 17日 )， a2=10（ 即9月 10日 ） 。 取论域 X= x| x = (x1， x2， x3), “冬雪大 ” 可以表示为论域 X上的模糊集 C， 其隶属函数为 2x2x .900,c o s,18090,0,270180,s i n,360270,133333333xxxxxxxA32 采用阈值原则，取阈值 =0.8， 测定当年气候因子 x = (x1， x2， x3)， 计算 C (x)，若 C(x)0.8， 则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。 用这一方法对丰镇 1959-1970 年间的 12 年作了预报，除 1965 年以外均报队，历史拟合率达 11/12。 .332211 xAxAxAxC 33 3.5.2 模糊距离与模糊度 在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？ 就是另一类模糊模式识别问题 集对集 。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。 34 1. 模糊距离 定义 3.5.1 设 A、 B F ( X )。 称如下定义的 dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基 ) 距离 (P1)： ) 当 X = x1, x2, , xn 时 ， ) 当 X = a, b 时 ， )5.5.3(,1,/11 pxBxABAdpnipiip )6.5.3(.1, /1 pdxxBxABAd pbapp35 特别地， p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明 ) 距离 。 p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德 ) 距离 。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离 7.5.3,1,/11pnipiip xBxAnBAd 36 (2) 相对 Hamming 距离 8.5.3.1,/1 pbaPp dxxBxAabBAd 9.5.3,1,11 niii xBxAnBAd 10.5.3,1,1 dxxBxAabBAdba 37 (3) 相对 Euclid 距离 11.5.3,1,2/1122 niii xBxAnBAd 12.5.3.1,2/122 badxxBxAabBAd38 有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。 一般权重函数满足下述条件： 当 X = x1， x2， ， xn 时，有 当 X = a, b 时，有 加权 Minkowski 距离 定义为 14.5.3.,13.5.3,/1/11pbapPpnipiiipdxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw ;11niixW .1 dxxWba39 加权 Hamming 距离 定义为 加权 Euclid 距离 定义为 16.5.3.,15.5.3,111dxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdwbaiinii 18.5.3.,17.5.3,2/1222/1122 baniiiidxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw40 例 3.5.7 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、 C 两地哪里最适宜 ？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、 B、 C 三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温 )， x2 (湿度 )， x3 (土壤 ) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为 .5.06.06.0,3.05.09.0,6.04.08.0321321321xxxCxxxBxxxA41 设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。 计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得 由于 dw1( A, B ) ， 则 .)()()()( xAxAxAxA.)()()()( xAxAxAxA.)()()()( xAxAxAxA48 例 3.5.8 设 A=0.2/x1, 0.8/x2, 0.5/x3, 0.3/x4, 1/x5, 0/x6, 0.9/x7, 0.4/x8， 则有 A =0/x1, 1/x2, 0/x3, 0/x4, 1/x5, 0/x6, 1/x7, 0/x8。 显然一个模糊集 A 与其最接近的普通集的距离愈远，则其模糊性愈大， 所以我们就用距离 d(A, A)来定义模糊度。 49 定义 3.5.4 设 AF ( X )， 与 A 最接近的普通集为 A，则 A 的 模糊度 v (A)，定义如下： (1) 离散情况： 19.5.3,)()(2),(215.05.011 niii xAxAnAAdnAv 20.5.3.)()(2),(221215.05.022 niii xAxAnAAdnAv50 (2) 连续情况： 式中分子取 2，是因为 0 d (A, A) 0.5， 取 2 以后就能保证 0 v (A， A) 1。 22.5.3.22/125.02 badxxAxAabAv 21.5.3,2 5.01 dxxAxAabAv ba 51 (3) 一般情况： 其中常数 k 是为了保证 v(A) 在 0， 1 之间。 ),( 5.0 AAkdAv52 命题 3.5.1 设 AF ( X )，则有 证明： 这里只证结论对 v1 成立。因为，一方面有 23.5.3.21inixAAnAv ,21,21,1xAxAxAxAxAA 53 另一方面又有 故有 所以 ,21,21,1xAxAxAxAxAxA ,xAxAxAA .22,21111 niiniii xAAnxAxAnAAdnAv 54 对于 v2(A), vp(A) 的情况 (3.5.23) 亦然成立。 推论 证明 ： 因为 所以 .AvAv ,xAAxAA .222111AvxAAnxAAnxAAnAviniiniini55 命题 3.5.2 设 A, B F ( X )， A, BP ( X )， 则对 A、B 有下列性质 : (3) 已于命题 3.5.1 中已证明。 (1) (2)易证，证明从略。 .,3;2;1xAAxAxAXxBABABABA56 例 3.5.9 由例 3.5.8，我们有 于是 ,/6.0,/1.0,/1,/0,/7.0,/5.0,/2.0,/8.0 87654321 xxxxxxxxA ,/4.0,/1.0,/0,/0,/3.0,/5.0,/2.0,/2.0 87654321 xxxxxxxxAA 4 2 5.08211 inixAAAv 57 若已知 A， B F ( X )， 则对于模糊度 v(A)、 v(B) 我们可以按上述定义求出，我们知道 AB及 A B也是模糊集，那么这两个模糊集的模糊度是比 A 或 B 的模糊度大还是小 ？ 例 3.5.10 已知 A, B, A, BF (x1, x2, x3)， 可以计算出 AB， AB及相应的各模糊集的模糊度如 下 : 58 .66.0,2.06.04.0;60.0,2.07.04.0;53.0,8.06.08.0;40.0,1.03.02.0;60.0,8.03.06.0;46.0,1.06.02.0132113211321132113211321BAvxxxBABvxxxBAvxxxABAvxxxBABvxxxBAvxxxA59 由上可见， AB 的模糊度比 A 及 B 的模糊度小，但 AB 的模糊度又分别比 A 及 B 的模糊度大。对于 A B 的模糊度也有同样的情况。所以模糊集的交与并的模糊度与原来模糊集的模糊度相比，不能肯定是大些还是小些。 注： 模糊集的大小与其对应的模糊度无关。 60 3. 用 “ 熵 ” 来定义模糊度 以上是 用距离来定义模糊度 。 这一定义 的缺陷是没有考虑一个模糊集的隶属度的不均匀的程度 。例如若有一个模糊集 则可计算出 v1(A) = 0.2， 也就是说这个模糊集 A 的模糊度很小 ， 其实这个模糊集是无多大意义的 ， 因为每个元素的隶属度都很小 。 ,1.01.01.021 nxxxA 61 “熵” 原是一个热力学概念，统计物理学用它来表示分子不规则运动的程度，信息论中则把它作为随机变量无约束程度的一种度量。用它来表示模糊度，可以 突出隶属度的不均匀性 。 设系统有 n 个状态，每个状态出现的概率分别为 p1, p2, , pn， 则系统的 “熵” 定义为 25.5.3.ln,121 iniin pppppH 62 由此易知： H = 0 (Hmin)， 当 pr=1， r 1, 2, , n， pi=0， i r, H = lnn (Hmax)， 当 p1= p2= pn= p=1/n 。 若我们用下述公式表示熵 则熵 H 0, 1， 并且有 Hmin= 0， Hmax= 1。 H = 0 的状态是系统最不均匀的状态，而 H =1 的状态则是系统达到平衡的状态。 26.5.3,lnln1,121 iniin ppnpppH 63 例 3.5.11 设 令 于是有 ,15.06.009.07.0654321 xxxxxxA ,61iiiiAxAxAx ,3710,375,376,0,379,377654321xxxxxxAAAAAA64 .89.03710ln3710375ln375376ln376379ln379377ln3776ln1ln6ln1,61621 iAiiAAAAxxxxxH 将 A(xi) 视作 pi ，应用 (3.5.26) 式的熵的表示式，就有 65 定义 3.5.5 设 令 则模糊熵 H 的定义如下： ,2211 nnxxAxxAxxAA 27.5.3,1niiiiAxAxAx 28.5.3.lnlnln1lnln1,1111121iniiniiniiniiiAniiAnAAAxAxAxAxAxAnxxnxxxH 66 定义 3.5.6 用信息论中的 Shannon ( 香农 ) 函数 S(x) 来定义“熵”。香农函数是 S(x) = x lnx (1 x) ln(1 x)， x (0， 1), 约定 .0lim1,0lim0 10 xSSxSS xx67 设 A =A(xi)/xi | i =1, 2, , n， 以 A(xi) 代入香农函数中的 x，再求和，则模糊集 A 的模糊熵可以如下定义： 29.5.3.lnln2ln12ln111niiiiiniixAxAxAxAnnkxASkAH 取68 注意到熵 H 愈接近 1， 则系统愈接近平衡状态 ， 对模糊集来说 ， 其模糊性的程度愈小；而当 H 愈接近 0 时 ， 则系统愈不均匀 ，对模糊集来说 ， 其模糊性的程度愈大 。 但是就其本质而言 ， 不均匀性 、 不平衡性与模糊性毕竟是不同的概念 ， 所以用 “ 熵 ” 来表示模糊性并非是良策 。 69 定义： v ： F ( X ) 0, 1，若映射 v 满足以下性质，就称其为 F ( X ) 上的 模糊度 (函数 ) ： (1) 清晰性： v (A) = 0 A P ( X )； (2) 模糊性： v (A) = 1 A(x) = 0.5， x X ； (3) 对称性： v (A) = v (Ac) ； (4) 单调性：若对 x X 有 A(x)A(x)0.5 或 A(x)A(x)0.5， 则 v (A)v (A)； (5) 可加性： v (A B) +v (AB) = v (A) +v (B) ， 对于 A F ( X )， v (A) 称为 A 的模糊度。 70 3.5.3 贴近度 表示两个模糊集接近程度的度量，称为贴近度。正如 “距离” 的概念一样，贴近度也有公理化的数学定义。 定义 3.5.7 映射 ： F ( X ) F ( X ) 0, 1 (A, B) (A, B)， 称为贴近度 (函数 ) ， 如果它满足条件： 71 ( 1 ): (A, A) =1， (, X) = 0； ( 2 ): (A, B) = (B, A)； ( 3 ): ABCF (X) (A, C) (A, B) (B, C)。 称 (A, B) 为 A 与 B 的贴近度。若将 ( 1 ) 换为下面的 ( 4 )， 则 称 为 严格 贴近度函数 ， ( 4): (A, B) =1 A = B， 且 (, X) = 0。 72 ( 3): 设 A， B， CF (X)， 若它们满足 | A(x) C(x)| | A(x) B(x)| ( x X )， 则有 ( A, C ) ( A, B)。 命题 ： ( 3) ( 3 )。 证明 ： 设 A BCF (X)， 则 | A(x) C(x)| | A(x) B(x)| ( x X ) 73 从而 ( A, C ) ( A, B)。 又由 A BCF (X)， 有 | A(x) C(x) | | C(x) B(x)| ( x X ) 从而 ( A, C ) ( B, C )。 故 ( A, C ) ( A, B) ( B, C )。 74 贴近度的形式很多，下面介绍几种常见的贴近度公式。 1. 用距离定义贴近度 定义 3.5.8 设 d p(A, B) 是 F (X) 上的 Minkowski 距离，用 d p(A, B) 定义贴近度 p(A, B) 如下： 其中 k, 是两个适当选择的参数，使 0 p(A, B) 1 30.5.3,1, BAdkBA p .1,/11 pxBxABAdpnipiip75 若取 k =1, =1， 取相对闵氏距 ，便有 相对 Minkowski 贴近度 ： BAd p , 31.5.3,11,/11pnipiip xBxAnBA 32.5.311,/1 pbapp dxxBxAabBA 76 若分别取相对 Hamming 距离 (p =1) 和相对 Euclid 距离 (p =2) 时，可得 相对 Hamming 贴近度 ： 33.5.3,11,11 niii xBxAnBA 34.5.311,1 badxxBxAabBA77 以及 相对 Euclid 贴近度 ： 容易验证，上述各式定义的贴近度 均满足定义 3.5.7 的三条公理 。 36.5.311, 2/122 badxxBxAabBA 35.5.3,11,2/1122 niii xBxAnBA78 2. 用模糊度来表示贴近度 定义 3.5.9 设 A， B F (X) ， xX， 令 (AB) (x)= 称 为“ 模糊均差 ”。 显然， ABF (X)， 且 AB1/2。 37.5.3,121 xBxA 79 命题 3.5.3 令 ( A, B) = v1 ( AB)， 则 v1 ( AB) 是 F (X) 上的贴近度。 证明： 验证 v1 ( AB) 符合定义 3.5.7 的三条公理 (1) (3)。 (1): x X， A F (X) ， 因为 ( AA) (x) = ，故由 (3.5.19) 式可知 ， v1 ( A A) = ( A, A) =1。 80 (2): 因 AB= B A， 故 ( A, B) = ( B, A) 。 (3): 设 | A(x) C(x)| | A(x) B(x)|， 则 ( AC ) (x) ( AB) (x) 1/2 , 从而 ( A, C ) = v1 ( AC ) v1 ( AB) = (A, B) 。 事实上，我们可以很容易地直接验证。 若采用 (3.5.23) 式定义，则有 81 ( A, B) = v1 ( AB) = | (AB) (xi) (AB) (xi) | = |(AB) (xi) | ( 因为 (AB) (xi) 1/2 ) 这就是 Hamming 贴近度。 nin 12nin 12 niii xBxAn112112 iinixBxAn 12121 niii xBxAn1.1182 3. 用模糊集的内积与外积来表示贴近度 定义 3.5.10 设 A， B F (X)， 称 为 A 与 B 的 内积 ，称 A B= 为 A 与 B 的 外积 。 按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。 )39.5.3()()( xBxAXx )38.5.3()()( xBxABA Xx 83 若 X =x1, x2, xn， 记 A(xi) = ai， B(xi) = bi， 则 与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积 比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加 “ +” 与乘 “ ” 换成逻辑加 “ ” 与逻辑乘 “ ” 运算，就得到 AB。 .1 iinibaBA inii baba 184 若 AF (X)， 记 A 的 “ 高 ” 为 Ah ， A 的 “ 低 ” 为 Ab 即 Ah= A(x) | xX , (3.5.40) Ab= A(x) | xX , (3.5.41) 则 AB = ( AB )h， (3.5.42) A B= ( A B )b。 (3.5.43) 85 为方便起见，我们在闭区间 0， 1 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a 0， 1， 称 ac =1 a 为 a 的余 。 86 命题 3.5.4 内积与外积运算有以下性质： (1) ( AB)C=AC BC， ( A B)= AC BC； (2) AB Ah Bh， A B AbBb； (3) AA =Ah， A A = Ab， AAC ， A AC ； (4) 0, 1， 则 (A)B= ( AB)= A (B)； (5) A B 则 AC BC， A C B C 。 87 证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。 (2) (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为 故 ( AB)C 是数集 1 ( A(x) B(x) | xX 的一个下界 ， 从而 ,1)(11XxxBxAxBxABABAXxC 44.5.3.1 xBxABA XxC 88 以下证明 (3.5.44) 式中只有等号成立。因为，如果有 即 于是 按上确界的定义， x0 X， 使得 ,1)(1 xBxAxBxAXxXx ,1 xBxABA XxC ),(11 xBxAxBxAXxXx 89 即 这与下确界的定义矛盾，因此 (3.5.44) 式只有等式成立，即有 AC BC. xBxAxBxAxBxABACCXxXxXxC111 ),(11 00 xBxAxBxAXx ,1)(1 00 xBxAxBxAXx 90 例 3.5.12 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 则 A B ,6.08.018.06.04.0,4.06.08.018.06.0654321654321xxxxxxBxxxxxxA ,8.06.04.08.06.018.08.016.08.04.06.0BA ,6.06.04.08.06.018.08.016.08.04.06.091 定义 3.5.11 设 A， BF (X)， 称 L( A， B) = ( AB) ( A B)C (3.5.45) 或 L( A， B) =1/2 ( AB) + ( A B)C (3.5.46) 为用内积、外积表示的贴近度 ( 简称 内、外积贴近度 )。 (3.5.45) 式定义的内、外积贴近度又称为 格贴近度 。 92 注： 这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼，它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理 。 事实上定义 (3.5.45) 和定义 (3.5