模糊数学精品讲义-模糊逻辑与模糊推理

1 3.8 模糊逻辑与模糊推理 二值逻辑是当前计算机的逻辑基础。人的思维逻辑的秘密至今尚未解开。计算机要模拟人的智力，用二值逻辑显然是不行的。虽然现在还不能断言模糊逻辑就是人的思维逻辑，但近三十多年来的实践表明，模糊逻辑比二值逻辑更接近人的思维规律。尽管计算机本身目前还是以二值逻辑为基础，但用 2 这种计算机来计算和处理信息时，却可以采用非二值逻辑，例如模糊逻辑，这样做就使计算机的应用 领域可以扩展到知识工程的领域。 3.8.1 模糊逻辑 1. 命题与逻辑符号 定义 3.8.1 一个有意义 (具有真假可言 )的陈述句称为命题 。 3 如： (1) 该书是中文写的。 (2) 4 加 2 等于 6。 (3) 他很年轻。 (4) 今天气温较高。 4 定义 3.8.2 若陈述句的意义明确，可以分辨真假，这种命题就称为 二值命题 （ 简称 命题 ） ； 若陈述句的意义是模糊概念，不能用简单的真假分辨，则这种命题就称为 模糊命题 。 如上述 (1)、 (2) 句是二值命题； (3)、 (4) 句是模糊命题。 5 定义 3.8.3 对于二值命题，可以用一些连接词如“或”、“与”、“非”、“如果 ，那么 ” （ “若 ，则 ” ） 等连接起来。 (1) “或 ” (or)：用符号 “ ” 表示，与集合中的并 “ ” 相 对应，又称 “ 析取 ”，即两个命题至少有一个成立。 6 (2) “与 ” (and)：用符号 “ ” 表示，与集合中的交 “ ” 相 对应，又称 “ 合取 ”，即两个命题必须同时成立。 (3) “非 ” (not)：在原命题上加 “ ” 横线，或在命题前加 “ 符号，也称“ 否定 ”，它与集合中的补集相对应。 7 设有如下两个命题： P： 他爱好英语， Q： 他爱好日语。 则有 PQ： 表示他爱好英语或爱好日语， PQ： 表示他爱好英语和日语， 或 P： 表示他不爱好英语。 P8 (4) “如果 ，那么 ” ( if.than )：用符号“ ”（或 “ ” ）表示，是推断的意思，与集合中的包含“ ” 相对应，又称 蕴含 。 例如，如果 ABC是等边三角形 ( S )， 那么 ABC是等腰三角形 ( T )， 用符号写就是： S T 或 S T。 (5) “当且仅当 ”：用符号 “ ”（ 或 “ ”） 表示，它表示 两个命题等价 。 9 定义 3.8.4 一个命题的真与假，叫做它的 真值 。常用“ 1 表示真，用 “ 0 表示假。两个命题构成一个 复合命题 时，它的真值表如表 3.14 所示。 命题 P Q PQ PQ P PQ PQ 真值 真 (1) 真 (1) 假 (0) 假 (0) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 真 (1) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 假 (0) 假 (0) 假 (0) 假 (0) 假 (0) 真 (1) 真 (1) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 真 (1) 真 (1) 假 (0) 假 (0) 真 (1) 表 3.14 复合命题的真值表 10 2. 模糊命题的真值 模糊命题的取值不是单纯的用来表示命题的真和假，而是用来表示命题的真和假的程度。仿照经典集合向模糊集合推广的情形，我们也可以将二值命题的取值范围由 0， 1 推广到 0, 1 区间上取连续值，从而得到模糊命题的真值。 11 定义 3.8.5 模糊命题 P 的真值记作 T ( P ) = x, 0 x 1。 显然，当 x 1 时表示 P 完全真； x 0 时表示 P 完全假。 x 介于 0， 1 之间时，表示 P 真假的程度。 x 越接近于 1，表明真的程度越大； x 越接近于 0，表明真的程度越小，即假的程度越大。 12 定义 3.8.6 复合模糊逻辑命题仍用连接词 、 、 （ 或 ） ，其意义分别是： 表示取大值、 表示取小值， （ 或 ） 表示取补值 （ 即取值 1 x， x 是 P 的真值 ） 。 例如，若有 T(P) = x 0.8， T(Q) = y 0.6， 则复合模糊逻辑命题的真值表如表 3.15 所示 13 由表可知，二值命题的复合运算是模糊命题的复合运算的特例。 模糊命题的 “ ” （或 “ ” ）运算，就是 模糊推理 ，将在以后讨论。 模糊命题 P Q PQ PQ P 真值 T 0.8 0.6 0.8 0.6 0.2 表 3.15 复合模糊逻辑命题的真值表 14 (9) 归约律： 由二值逻辑的真值表可以证明 ： “ ” 及 “ ” 两种逻辑运算是非独立的，即存在下述等式： P Q = Q P Q = ( Q) (P ) 所以在二值逻辑中，独立的逻辑连接词只有三个：“ ”、“ ”、“ ” 。 PPQ15 3. 格、布尔代数与 De-Morgan 代数 定义 3.8.7 （ 格的定义 ） 一个集合 L，若在其中定义了 “ ” 与 “ ” 两种运算，且具有下述性质： (1) 幂等律：若 L， 则有 ， ； (2) 交换律：若 ， L， 则有 ， ； 16 (3) 结合律：若 ， ， L， 则有 ( ) ( )， ( ) ( )； (4) 吸收律：若 ， L， 并有 ( ) = ， ( ) = ， 则称 L 是一个格，并记为 L ( L， ， )。 17 若格 L 还满足： (5) 分配律： ( ) ( ) ( )， ( ) = ( ) ( )， 则称 L 是一个 分配格 。 18 若在 L 中 还有： (6) 两极律：在 L 中存在两个元素，记为 0 和 1，满足 L， 有 1 1， 1 ， 0 ， 0 0。 则称 L 有最小元 0 和最大元 1 。 19 在有最小元 0 和最大元 1 的分配格 L 中进一步规定一种一元运算 “ c （ 称为 补运算 ） ，且满足 (7) 复原律：若 L， 则有 ( c ) c= ； (8) 互补律： c 1， c 0。 定义 3.8.8 (布尔代数定义 ) 满足 (1) (8) 的 L ( L， ， ， c ) 称为一个布尔代数。 20 例如 (0, 1， ， ， c) 是一个布尔代数，其中运算： max ( , ), min ( , ), c =1- 。 定义 3.8.9 （ De - Morgan 代数的定义 ） 若除上述 (1) (7) 性质外，还满足 De Morgan 律 ( (10) 对偶律 ) ( )c = c c ， ( )c = c c， 则称代数系统 ( L， ， ， c ) 为 De-Morgan 代数。 21 De - Morgan 代数与布尔代数的显著区别在于前者不满足互补律，即在 De-Morgan 代数中，一般有 c 1， c 0 。 正因为这一点，它才成为研究模糊逻辑运算的有力工具。 22 例如 ( 0, 1， ， ， c ) 是一个 De Morgan 代数，而不是一个布尔代数，因为互补律不成立。如取 0.80, 1， 则有 0.8 (0.8)c = 0.8 0.2 = 0.8 1， 0.8 (0.8)c = 0.8 0.2 = 0.2 0。 23 (9) 归约律： 由二值逻辑的真值表可以证明 ： “ ” 及 “ ” 两种逻辑运算是非独立的，即存在下述等式： P Q = Q P Q = ( Q) (P ) 所以在二值逻辑中，独立的逻辑连接词只有三个：“ ”、“ ”、“ ” 。 PPQ24 4. 模糊逻辑函数 定义 3.8.10 若一个逻辑命题 的取值 是可以变化的，则称这样的逻辑命题为 逻辑变量 x。 二值逻辑变量的取值是 0, 1， 而模糊逻辑变量的取值为 0, 1。 25 定义 3.8.11 由逻辑变量 x 及逻辑运算 、 、 和括号所形成的函数 F 称为 逻辑函数 (又称 逻辑公式 )。 若变量 x 的取值及逻辑运算是二值的，则称 F 是 二值逻辑函数 (逻辑公式 )； 若变量 x 的取值及逻辑运 算是模糊的，则称 F 是 模糊逻辑函数 (模糊逻辑公式 )。 26 例如 等都是逻辑函数 （ 逻辑公式 ）。 有时为了书写方便，常将符号 “ ”、 “ ” 及 “ c用简便符号 “”、“ 及 “ ” 分别取代，“ 有时不写。这样简化后，上述逻辑函数就可简化成： 3211111 )(, xxxFxxFxxF .)(, 321111111 xxxFxxxxFxxF 27 5. 模糊逻辑转化成多值逻辑 如果我们把模糊逻辑变量 x、 y、 z 看作是 X、Y、 Z 的隶属函数在某一点 x0 的值，即 x = X (x0), y = Y (x0), z = Z (x0) 则模糊逻辑变量的运算便代表了模糊集合的运算。 28 为了讨论问题方便，常将区间 0, 1 分成若干相等部分，使得隶属函数只能在子区间边缘上取值。例如分成五个相等部分，则隶属函数只能在集合 M = 0， 0.2， 0.4， 0.6， 0.8， 1 中取值，这样模糊逻辑便转化成多值逻辑。在上例中，逻辑值共有 6 个。 29 例如 的真值表列于表 3.16 YXyx y(Y) x(X) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 0 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0 0 0 30 6. 模糊逻辑函数的范式 定义 3.8.12（ 析取范式 ） 若 xij 是逻辑变量，则下列逻辑函数称为析取范式 （ 逻辑并标准型 ） ： 定义 3.8.13（ 合取范式 ） 若 xij 是逻辑变量，则下列逻辑函数称为合取范式 （ 逻辑交标准型 ） ： 1.8.31 1 pinjijxF 2.8.31 1 njpiijxF31 式中， 表示连加，即 ； 表示连乘，即 。所以析取标准型为 “ 积之和 ” 型，而合取标准型为 “ 和之积 ” 型。 一般，对于一个给定的模糊逻辑函数式，总可以通过等价变换使其成为析取范式或合取范式，或是析取范式和合取范式的组合。 为了把模糊逻辑函数式化成标准型，我们要利用以下两个定理，因证明要占很大篇幅，故略去。 32 定理 3.8.1 公式 F 在模糊逻辑中为真 ， 当且仅当该公式在二值逻辑中为真 。 (定义：当模糊逻辑公式 F 的取值大于等于 1/2 时 ，称 F 为真 。 ) 定理 3.8.2 公式 F 在模糊逻辑中可化成标准型 ， 当且仅当 F 在二值逻辑中可化成标准型 。 33 以下举例说明模糊逻辑函数化成标准型的方法。 例 3.8.1 设 x、 y、 z 均为模糊逻辑变量，它们分别为某些命题的真值，试求模糊逻辑函数 F ( x， y， z ) =( x y ) z ( x z) y 的析取范式和合取范式。 先求析取范式。为此先确定逻辑变量 x、 y、 z 分别为 0 和 1 时的模糊逻辑函数值 （ 相当于二值 34 逻辑的情况），结果如表 3.17 所示 x y z F (x， y， z) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 35 1. 用逻辑函数 F (x, y, z) 取值为 1 时所对应取 1 的逻辑变量求交作为析取范式的一项。 例如表中第四行， F (x, y, z) =1，对应 x =1， y =1， 故 xy 即为析取范式的一项。 最后对析取范式的每一项求并 ，再 根据吸收律 化简 ，即可求得析取范式为 F (x， y， z) = (x y) (x z) (y z) (x y z) = (x y) (x z) (y z) 。 36 2. 求合取范式的步骤与上式类同，只不过 按 F (x, y, z) 0 时取值为 0 的逻辑变量求并作为合取范式的一 项 ， 然后对各项求交后再化简 ， 所得合取范式如下： F (x， y， z) = (x y z) (y z) (x z) (x y) (y z) (x z) (x y) 。 由以上求得的析取范式与合取范式不难看出 ， 对于同一模糊逻辑函数 ， 两种范式之间是对偶的 。 37 3. 如果逻辑函数式中的逻辑变量有 的形式，则通过真值表示范式时， 选取每一子项应遍历所有变量 。例如求析取范式时， 根据 F (x, y, z) 1 的那一行，应取 1 的变量和取 0 的变量的补 。在上例表中第四行，当 F (x, y, z) 1 时， x =1， y =1， z = 0， 故应选 为析取范式的一项。 zyx zyx ,38 当然，例 3.8.1 中选取每一子项时，也可遍历所有变量，化简后其结果是相同的。 关于化简模糊逻辑函数的问题 （ 极小化问题 ） ，限于篇幅在此不作进一步讨论。 39 3.8.2 模糊语言 语言是人们进行思维和信息交流的工具。语言分为自然语言与形式语言两种。 自然语言 是一些词 （ 或字 ） 连接成的句子，一般带有模糊性。 形式语言 是一些符号按一定规则连接成的符号串，它代表机器的某些单元的状态或操作，一般具有确定性。 40 随着科学技术的发展，人们不但希望用机器代替人的体力劳动，更希望机器能具有人的智力，模拟人脑的思维推理，使人们从复杂艰难的脑力劳动中解放出来。这样就自然提出了下述 两个任务 ： 41 (1) 用以二值逻辑为基础的形式语言来处理模糊的自然语言； (2) 创造某种以模糊逻辑为基础的形式语言来处理模糊性的自然语言。这方面的研究，构成模糊数学的一个分支，现在还很不成熟，但已在人工智能、模糊控制等方面获得了广泛应用。 42 1. 模糊语言变量 带有模糊性的语言称为 模糊语言 ，如： “ 他很年轻 ”、 “ 小张起得很早 ”、 “ 老李是高个子 ” 等等。 模糊语言的核心是模糊集合，如上述语言中的 43 很年轻 ”、 “ 很早 ”、 “ 高个子 ” 等就分别是论域为 “ 年龄 ”、“ 时间 ”、“ 身高 ” 上的模糊集。模糊语言还有一定的语法和语义。 44 语言变量 是以自然或人工语言中的字或句作为变量，而不是以数值作为变量 。 语言变量用以表征那些十分复杂或定义很不完善，又无法用通常的精确术语进行描述的现象。 模糊语言变量 比起模糊变量来是一个级别更高的变量，它是将模糊语言形式化的重要工具。 45 L.A.查德 (Zadeh) 定义 模糊语言变量 为如下的五元组： ( X， T ( X )， U， G， M ) (3.8.3) 其中 X 是语言变量的名称， U 是 X 的论域， T ( X ) 是语言变量值的集合，每个语言变量值是定义在论域 U 上的模糊集合， G 是语法规则，用以产生语言变量 X 值的名称， M 是语义规则，用以产生模糊集合的隶属度函数。 46 例 3.8.2 以速度为模糊语言变量 X ，论域 U 取 0, 200 (km / h)，速度的语言值集合 T ( X ) 为 慢，适中，快 ，其中 “ 慢 ”、“ 适中 ”、“ 快 ” 为模糊集合。模糊集合的隶属度用模糊语义规则 M 来决定，具体如图 3.53 所示。把速度分成若干语言值的规则，就是语法规则 G。 在本例中我们把速度分成三个语言值，即 “ 慢 ”、“ 适中 ”、“ 快 ” 。 47 1 0.5 慢 适中 快 60 80 100 速度 ( km / h ) 图 3.53 模糊语言变量 “速度” 的隶属度函数 48 图 3.54 是速度这个模糊语言变量五元组的示意图 速 度 适中 快 慢 60 70 80 90 100 1 0.5 0 1 0.5 0 1 0.5 0 0 0.5 km/h 语言变量 X 语法规则 G 语言值 T (X) 语义规则 M 论域 U 图 3.54 模糊语言变量速度的五元组 49 2. 模糊语言算子 自然语言中有一些通过改变语气而改变语义的词，如加强肯定语气的词 “ 很 ”、“ 非常 ”、“ 极 ” 等；也有一些使词义变为模糊的词，如 “ 大概 ”、“ 近似于 ” 等；还有些使词义由模糊变为肯定的词，如 “ 偏向 ”、“ 倾向于 ” 等。这些词在模糊推理中都可作为语言算子来考虑，相应地分为三种算子。 50 1） 语气算子 H: (HA)(x) 语气算子的数学描述是 加强语气的词称为 集中算子 ，此时 n 1， 减弱语气的词称为 散漫化算子 ，此时 n 1。 .)( xxHA nA51 例 3.8.3 描述 “ 青年人 ” 的集合为 其中 A = 青年人 ” 。由上式算得 28 岁和 30 岁的人对于 “ 青年人 ” 的隶属度为 A(28) = 0.74， A(30) = 0.5。 ,25,52511,2515,12xxxxA52 现在我们加上集中算子 “ 很 ” ，取 n = 2， 则 分别算出 28 岁和 30 岁对 “ 很年轻 ” 的隶属度为 很年轻 (28) = 0.54， 很年轻 (30) = 0.25。 .25,52511,2515,1222xxxxx青年人很年轻 53 若加上散漫化算子 “ 较 ” ，取 n = 0.5， 则 分别求出 28 岁和 30 岁对 “ 较年轻 ” 的隶属度为 较年轻 (28) = 0.88， 较年轻 (30) = 0.71。 .25,52511,2515,12xxxxx青年人较年轻 54 2） 模糊化算子 F： (FA)(x) 这些算子的作用，是使肯定词转化为模糊的词，如 “ 大概 ”、“ 近似 ”、“ 可能 ” 等等。用隶属度函数图形来表示这类算子的作用，如图 3.55 所示 1 0 1 2 3 4 5 6 x (x) FA (4) A (4) 数 4 是一个肯定词，用 A(4) （ 竖线 ） 来表示，而“大约 4则是一个模糊数，记为 4，它是 A(4) 加上模糊化算子 F后形成的，记作 FA (4)。 55 3） 判定化算子 P： (PA)(x) 判定化算子把模糊量转化成精确量，其意义是“ 倾向于 ”、“ 接近 ”、“ 属于 ” 。判定化算子的数学描述为 (PA)(x) =PA(x) 其中 P() 是定义在 0, 1 区间上的实函数，表示为 56 若取 1/2， 则 210111210zzzzP .211,21021zzzP57 例如 ，用上例 “ 青年人 ” 的定义，则 “ 倾向年轻 ” 就可采用上述判定化算子 P1/2 ( A ) (由于 A(30) 1/2) 倾向年轻 ( A ) = P1/2 ( A ) = .301,30021)(121)(0xxxxAA58 即不到 30 岁者为倾向年轻，其结果如图 3.56 所示。 除了上面介绍的三种算子外，还有美化、比喻、联想等算子。因为研究不成熟，此处从略。 0.5 0 30 (x) 年轻 倾向年轻 x 59 3.8.3 模糊推理 1. 判断与推理 人们的思维就是利用概念来进行判断和推理。判断 是概念与概念的关联 ， 而 推理 则是判断与判断的联合 。 如果概念是模糊的，则判断和推理就是模糊的。 若用符号及其运算来表示思维的过程，就称为思维的形式化 。我们的目的，就是要寻求符合思维实际情况的思维形式化的规律与方法。 60 1） 判断句 句型为 “ x 是 A 的陈述句称为 判断句 ，其中 A 是表示概念的一个词或词组， x 称为 语言变量 ，它可以表示论域 X 中任何一个特定对象。 通常概念 A 对应论域 X 上的一个集合 。 如果 A 的外延是清晰的，则 A 所对应的集合是普通集合；若 A 的外延是模糊的，则 A 对应的集合是模糊集合。 我们将判断句 “ x 是 A 简记作 ( A )。 61 普通判断句及其集合表示： 在判断句 ( A ) 中，若词 A 所表示的概念是确切的，则称 ( A ) 为 普通判断句 。 例如，判断句 “ x 是大学生 ” 就是普通判断句。 若取 x = 张三 ”， 则得到 “ 张三是大学生 ” 这样一句话。当然，这句话可能是真的，也可能是假的。 62 一般地，一个普通判断句对应一个普通集合 A： A = x ( A ) 对 x 真 X， 这里 “ ( A ) 对 x 真 ” 指的是对此特定的 x ，命题 “ x 是 A 为 真。我们 称 A 为判断句 ( A ) 的 集合表示 或称为 真域 。 若 A = X， 则称判断句 ( A ) 永真或定理 ，即对任意 x X，“ x 是 A 为 真。 63 在二值逻辑中，如果 x A， 则称 ( A ) 的判断为真， A 就是 ( A ) 的真值域；如果 x A ，称 ( A ) 为假。如图 3.57 所示图中阴影部分表示 ( A ) 为真，是判定 ( A ) 的真值域。显然有 x A ( A ) 为真。 (3.8.4) (A)假 (A)真 X A 64 又例如 “ x 是菱形 ” ， “ x 是人 ” 等都是普通判断句。 65 模糊判断句及其集合表示： 在判断句 ( A ) 中，若词 A 所表示的概念是模糊的，则称 ( A ) 为 模糊判断句 。 例如，判断句 “ x 是老人 ” 就是模糊判断句。 若取定 x = 张三 ”， 则得到 “ 张三是老人 ” 这样一句话。这时，由于 “ 老人 ” 概念的模糊性，我们 66 无法判断 “ 张三是老人 ” 这句话是绝对真还是绝对假。但是我们可以根据张三的具体情况，取其 真值为 0， 1 区间中的数，例如为 0.7。 记为 T( A)(张三 ) = 0.7， 称为 ( A ) 对张三的 真值 。 一般地，我们将 x 对模糊概念 A 的隶属度定义为模糊 判断句 ( A ) 的真值 ， 以此来表示 ( A ) 的 真假 67 程度。如果模糊概念 A 所对应的模糊集的隶属函数为 A(x)，则令 T ( A )(x) ) = A(x) ， 称 A 为模糊判断句 ( A ) 的 集合表示 或称为 真域 。 注： 在模糊逻辑中， “ x 是 A 的判断没有绝对的真假。 又如 “ x 是晴天 ”，“ x 很暖和 ” 等都是模糊判断句。 68 判断句的逻辑演算： ( 或 ) ， ( 且 ) ， ( 非 )。 判断句通过逻辑演算可以得到新的判断句。 例如，设 ( A )： “ x 是 A ( B )： “ x 是 B 则这两个判断句通过逻辑演算得到的新的判断句为： 69 ( A )( B )： “ x 是 A 或 “ x 是 B ， ( A )( B )： “ x 是 A 且 “ x 是 B ， ( A )： “ x 不是 A 。 如果 (A)和 (B) 的真域为 A和 B， 则新判断句的真域为： ( A )( B )的真域为 A B， ( A )( B )的真域为 AB， ( A )的真域为 Ac。 70 一般地，判断句的逻辑演算 ( ， ， ) 与它们真域的集合运算 ( ， ， c ) 是一致的 。 71 2） 推理句 句型为 “ 若 x 是 A，则 x 是 B 的判断句，称为 推理句 ，简记作 “ ( A ) ( B ) 。 若 (A)、 (B) 对应的真域为普通集合，则称为普通推理句 ， 若 (A)、 (B) 对应的真域为模糊集合，则称为模糊推理句 。 72 例如 “ 若 x 是菱形，则 x 是平行四边形 ” 是普通推理句，因为 “ 菱形 ”、“ 平行四边形 ” 这些概念对应的是普通集合 ； 而 “ 若 x 是晴天，则 x 很暖和 ” 就是模糊推理句，因为 “ 晴天 ”、“ 暖和 ” 这些概念对应的是模糊集合。 73 3） 推理句的形式化 用符号及运算来表示推理句的过程，称为 推理句的形式化 。当然这种形式化必须符合推理的真实含义。 我们在 普通集合范围内来考虑 “ 若 x 是 A，则 x是 B 这一推理句。我们用前述定义的符号来代表有关的判断句，即 “ x 是 A 用 ( A )， “ x 是 B 用 (B)， 74 x 是 A，则 x 是 B 用 ( A ) ( B ) 来表示。 我们对论域中的所有 x 来考察上述推理句时，可以分成四种情况： ( A ) 是真同时 (B) 也是真，当然 ( A ) ( B ) 为真； ( A ) 是真但 ( B ) 是假，显然 ( A ) ( B )不成立，即为假。 75 由于 ( A ) 为假时 （ 即 x 不在 A 中 ） ，推理句中没有限制 “ x 是 B 或 “ x 不是 B ，也就是说 ( B ) 为真或为假都可以，即此时 ( A ) ( B ) 都能成立（ 为真 ） 。这样就有 ( A ) 是假， ( B ) 为真时， ( A ) ( B ) 为真； ( A ) 是假， ( B ) 为假时， ( A ) ( B ) 为真。 76 举一例来说明上述推理，更易理解，例如有下列推理句： “ 如果今天下雨，我就在家中 ” 显然有： “如果今天下雨，我就在家” 这是真的； “如果今天下雨，我不在家” 是假的； “如果今天不下雨，我也在家”，这也是可以的 77 （ 真的 ） ； “如果今天不下雨，我不在家”，这也是可以的（ 真的 ） 。 这是因为 两种情况，推理句没有限制，即如果不下雨，我们可以在家，也可以不在家。根据上述分析，我们可以作出如表 3.18 所示的真值表 78 根据真值表，我们可以得出如下推理的形式化模型 或将上式简写成 (A) (B) 真 假 真 真 真 假 假 真 表 3.18 蕴涵式 ( A ) ( B ) 的真值表 5.8.3BABA 6.8.3BABABA 79 这就是二值逻辑中归约律的情况。 若令 A B = C， 则普通推理句 “ ( A ) ( B ) 等价于判断句 “ x 是 C ，即 “ (A) (B) 对 x 为真 xC x (3.8.7) 的真值域如图 3.58 所示。 BA BA A-B A B 80 为了便于将普通推理推广到模糊推理的情形，常把 (3.8.6) 式写成相应真值的等式： 8.8.3)( xBAAxBAxBA 81 若推理句是一个恒真的判断句 （ 即对任意 x X，判断句 ( A ) ( B ) 都为真 ） ，则称它是一个 定理 。 显然有 ( A ) ( B ) 是定理 A B = A B (3.8.9) 例如 “ 若 x 是等边三角形，则 x 是等腰三角形 ” 是 一个定理。 82 演绎推理的三段论法 ) 肯定前件的假言推理 ( MP) ： ( A ) ( B ) 是定理且 ( A ) 对 x 为真 ( B ) 对 x 为真 。 (3.8.10) 而用集合描述有 A B 且 x A x B。 (3.8.11) 83 X B A x 图 3.59 三段论集合 图 3.59 为三段论集合描述的示意图。 84 ) 否定 后件的假言推理 ( MT ) ： ( A ) ( B ) 是定理， ( B ) 对 x 为假 ( A ) 对 x 假 。 用集合描述有 A B， x B x A 。 85 ) 复合原则： 若 ( A ) ( B ) 是定理，且 ( B ) ( C ) 是定理 ，则 ( A ) ( C ) 是定理。 用集合表示的复合原则为 A B 且 B C A C (3.8.12) 86 2. 模糊蕴涵关系 （ 模糊推理句 ） 在推理句 ( A ) ( B ) 中，若 A、 B 所表示的概念是模糊的，则上述推理句就成为模糊推理句。模糊推理句的真值可以根据普通推理句的真值公式来定义 T1(AB)(x) = (1 A(x) B(x) (3.8.13) T2(AB)(x) = (1 A(x) ( A(x) B(x) 87 例如 “ 若 x 是晴天，则 x 很暖和 ” 是模糊推理句，其真值的隶属函数曲线如图 3.60 所示，其中 A 表示 “ 晴天 ” 的隶属函数， B 表示 “ 暖和 ” 的隶属函数， 则 A B 由图中上半部 V 型实线所描述，它给出了 “ 若晴则暖 ” 为真的程度的定 量表示。 88 1 0.5 A B X 0 (a) 图 3.60 A B 模糊推理句的隶属函数 (b) 1 0.5 X 0 BA 89 在较复杂的场合，句型为 “ 若 x 是 A ，则 y 是 B 的推理句，涉及两个不同的语言变量 x 与 y，它们可以分别属于两个不同的论域 X 与 Y， 因而是一个二元谓词。记作 ( A(x) (B(y) ， 它的真域是 X Y 的子集或模糊子集，也可以看作 X 到 Y 的关系或模糊关系。 在推理句 ( A(x) (B(y) 中，若 A， B 所表示的 90 概念都是确切的，则称为普通推理句；若 A， B 所表示的概念都是模糊的，则称为模糊推理句。 普通推理句 ( A(x) (B(y) 的集合表示 (真域 ) 为 R P ( X Y )： R = (Ac Y) (A B) = (Ac Y) (X B)， 其特征函数为： R(x, y) = (1 A(x) (A(x) B(y) ) = (1 A(x) B(y)。 91 A B X Y 92 模糊推理句 ( A(x) (B(y) 的集合表示 (真域 ) 为 R F ( X Y )， 其中 A 是论域 X 上的模糊集 ， B 是论域 Y 上的模糊集 ， R 是从 X 到 Y 的一个模糊关系。 93 许多人对 ( A(x) (B(y) 的运算规则 (即隶属度函数的运算方法 ) 进行了研究，提出了许多定义。这里将常见的模糊蕴涵关系的运算方法列举如下 (公式 ( 3.8.13) 也是其中的一种，被称为模糊蕴涵的布尔运算 )：（ 为书写方便起见，以下将模糊集符号中的波纹线 “ ” 全部省略。 ） 94 1) 模糊蕴涵最小运算 （ Mamdani ) 2) 模糊蕴涵积运算 ( Larsen ) 3) 模糊蕴涵算术运算 ( Zadeh ) 14.8.3,/ yxyxBABARYXBAc 15.8.3,/ yxyxBABARYXBAp 16.8.3,/11 yxyxBXYABARYXBAa95 4) 模糊蕴涵的最大最小运算 ( Zadeh ) 5) 模糊蕴涵的布尔运算 17.8.3,/1 yxxyxYABABARYXABAm 18.8.3,/1 yxyxBXYABARYXBAb96 6) 模糊蕴涵的标准算法运算 (1) 其中 19.8.3,/ yxyxBXYABARYXBAs yxyxyxBABABA 0197 7) 模糊蕴涵的标准算法运算 (2) 其中 在应用中，究竟选取哪一种运算方法为好，应视实际情况而定。 20.8.3,/ yxyxBXYABARYXBA yxxyyxyxBAABBABA198 3. 模糊推理 模糊推理又称 近似推理 （ 似然推理 ） 。它是在模糊大前提的条件下，给定模糊小前提而推论出模糊结论的推理方法。 根据小前提的不同，又分为两类： 99 (1) 广义正向式模糊推理 。其推理规则是 大前提 x 是 A 则 y 是 B (即 (A(x) (B(y) 小前提 x 是 A 结 论 y 是 B = A ( A B ) = A R (3.8.21) 100 (2) 广义逆向式模糊推理 。其推理规则是 大前提 x 是 A 则 y 是 B (即 (A(x) (B(y) 小前提 y 是 B 结 论 x 是 A = ( A B ) B = R B (3.8.22) 101 式中， ( A(x) (B(y) 是蕴涵关系，即 X Y 上的模糊关系，其隶属函数可以选用上述七个公式 (3.8.14) (3.8.20) 中的任一式来运算 (尽量与实际情况相符合 )，而运算符号 “ ” ，则表示模糊关系合成运算，通常可以采用如下四种不同的方法： 102 1) 最大 最小合成法 （ Zadeh, 1973） 2) 最大 代数积合成法 （ Kaufman, 1975） 3) 最大 有界积合成法 （ Mizumoto, 1981） 23.8.3, yxxy RAXxB 24.8.3, yxxy RAXxB 25.8.31,0m a x,yxxyxxyRAXxRAXxB103 4) 最大 强制积合成法 （ Mizumoto, 1981） 其中 在上述各式中 （ R 是 AB 蕴涵关系 ） ，通常使用最多的是 1)、 2) 两种合成运算方法，原因是这两种方法计算比较简单。 26.8.3, yxxy RAXxB 1,01,1,yxxxyxyxxyxxRAARRARA104 模糊推理过程，可以看成是一个模糊变换器的工作过程。当输入一个模糊子集 A ， 经过模糊变换器 R AB 时，输出为 A (AB)，如图 3.61 所示 R A B A B A (A B) 输入 输出 图 3.61 模糊变换器 105 例 3.8.4 若 A B 采用积运算式 (3.8.15)， 合成运算“ ” 采用最大 最小合成法， (3.8.23) 式，给定小前提分别是 求广义正向式模糊推理及广义反向式模糊推理的结论 ./)1(,/222yyBBxxAAAYBXA）非（非常非常106 解： 1） 广义正向式模糊推理 由 (3.8.21) 式可知 采用最大 最小合成法，可求得 yxyxxxRARAB BX YXAApp ,/22 .,m i ns u p 22yxxyxxyBAAXxBAAXxB107 2） 广义逆向式模糊推理 由 (3.8.22) 式可知 采用最大 最小合成法，可求得 YBBYXApp yxyxyxBRA /)1(,/2 yyxyyxxBBAYyBBAYyA221,m i ns up1108 例 3.8.5 若工人调节炉温，有如下经验 “ 如果炉温低，则应施加高电压 ” 。试问炉温 较低 时，应施加怎样的电