关于购房还贷问题的分析与计算.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 文山学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘 宇 2. 王大聪 3. 冯保焕 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2013年08月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 关于购房还贷问题的分析与计算 摘要 如今，住房问题是我国社会的一个热点问题，同时拥有一套自己的住房也是很多年轻人的重要目标，特别是刚刚走上工作岗位的年轻人，买房几乎都要贷款，然而，很多人却不会预算随着时间和利率的变化自己的欠款额，该如何结合实际情况进行还款，以及还款的数额等等，为此，我们借助数学公式、C语言程序和相应的电脑软件，以及我们所学的知识进行分析和计算。1、 基本按月欠款公式 每月欠款金额=本金（1+月利率）月还款额.2、 计算原则：根据我国1999年1月公布的个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率，月欠款额的基本公式，通过对数据的分析，推导出相应的计算公式，然后再结合C语言中相应的程序，最终计算出分12年还清公积金贷款和分15年还清商业性贷款的每月月还款额，再根据月还款额算出每年年底的欠款额和12后一次性还清商业性贷款的数额。最后，通过该模型的建立与求解，我们提出了一些关于怎么样最少还清房贷的建议。 关键词：月底欠款额，年底欠款额，利率，贷款，月底均还款额.一、问题的重述为了促进个人住房商品化的进程，我国1999年1月公布了的人住房公积金利率和个人住房商品性贷款利率，如下表1所示：表1贷款期限（年数）公积金贷款月利率（）商业性贷款月利率（）13.544.6523.634.87533.724.87543.784.9553.874.9563.965.02574.055.02584.145.02594.20755.025104.2755.025115.3655.025124.4555.025134.5455.025144.6355.025154.7255.025王先生家要买一套商品房，需要贷款25万，其中公积金贷款10万，分12年还清，商业性贷款15万，分15年还清，每种贷款按月等额偿还.问：（1） 王先生每月应还款多少？（2） 用列表方式给出每年年底王先生尚欠的款项；（3） 在第12年还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业性贷款一次还清，应还多少？二、问题的分析 1、由于贷款的年限越长，贷款人的还款金额就会增多，因此，贷款人最好是在贷款后的第一个月月底开始还款，这样该问题就可以转述为在第12年年末把公积金贷款还清，在第15年年末把商业性贷款还清，则每月的还款额应为多少？ 2、根据月欠款额，我们就可以求得每年年底的欠款金额； 3、如果在第十二年还清公积金贷款，由于每月还款额相等，第十二年的第十二个月月末和之前一样，于是有两种情况： （1）在第十三年的第一个月月末还清剩下的贷款； （2）不是在第十三年的第一个月月末还清贷款，即在以后的任意一个月月末一次性还清贷款。三、问题的假设 1、假设在贷款后的第一个月月末开始还款，且公积金贷款和商业性贷款每月还款额分别为X,Y； 2、假设月底去还款，中间不做任何还款； 3、贷款人从借贷款后的第一个月月末开始还款。四、符号的说明 ：公积金的贷款额10万； ：商业性的贷款额15万； （i=1,2，12）：公积金贷款相应年份的月利率： （i=1,2，15）：商业性贷款的相应年份的月利率； （i=1,2，12）：第i年末公积金的欠款额； （j=1,2，15）：第j年末商业性的欠款金额； ：商业性贷款第12年后第一个月一次性还清的款额； Q：商业性贷款第12年后任意一个月一次性还清的金额.五、模型的建立与求解 由基本公式：每月欠款金额=本金（1+月利率）月还款额. 第一年第一个月月末公积金的欠款额：； （1） 第一年第二个月月末公积金的欠款额：； 第一年第三个月月末公积金的欠款额： ; . .第一年第十二个月月末公积金的欠款额：.(即：第一年年底的欠款额) 第二年第一个月月末公积金的欠款额：；第二年第一个月月末公积金的欠款额： ；第二年第三个月月末公积金的欠款额：； . . .第二年第十二个月月末公积金的欠款额：.（即：第二年的欠款额）.第十二年第十二个月月末公积金的欠款额： （在第12年年底还清，即年底欠款额为0）；于是得出方程组： （1）令： （i=1,2，12）； （k=1,2，12）；并将其带入上面方程组（1）得：.公积金每月还款额：同理可得： （2）令 （i=1,2，15）； （k=1,2，15）；即.商业性每月月底还款额：.由上面两个模型还有表1中各年的月利率，还有C语言程序（见附录.1、2、）得（元）.（元）.1、 王先生每月应还款；X+Y=2293.529(元)；2、 王先生每年年底尚欠的款项如下表2：表2第i年年底尚欠款额（元）公积金贷款商业性贷款193267.793 143704.729286343.241 137452.843379202.546 130727.852471792.238 123644.362564114.073 116016.301656138.417 107934.628747833.23299221.898839163.81789828.835930082.83079702.3151020553.969 68785.067 1110542.366 57015.346120.000 44326.58813 30647.0291415899.302 150.000还款总额 130201.611250083.2013、 由表中数据可知王先生在第十二年年末的欠款额为： 44326.588（元）.若他想在接下来的第一个月月末一次性还清剩余贷款则还款额为：（元）.若他不是第一个月月末去还款，而是在今后的三年里任意一个月月末去一次性还清剩余的贷款，则还款额可以表示为： .可得要C语言程序（见附录，3）计算出王先生一次性还清贷款的情况如下表3：表3第z个月去一次性还清商业贷款还款金额244773.189344998.175445224.291545451.543645679.937745909.478846140.173946372.0281046605.0471146839.2381247074.6051347311.1551447548.8931547787.8261648027.9601748269.3011848511.8541948755.6262049000.6232149246.8512249494.3172349743.0262449992.9842550244.1992650496.6762750750.4222851005.4432951261.7453051519.3353151778.2203252038.4063352299.8993452562.7063552826.8333653092.288如果王先生从第一年年初开始连续12年还清公积金贷款，或第二年年初开始连续12年还清公积金贷款，或第三年年初开始连续12年还清公积金贷款，或第四年年初开始连续12年还清公积金贷款情况，由上面模型可得如下表4所示：表4第一年年初开始还款的情况第二年年初开始还款的情况第三年年初开始还款的情况第四年年初开始还款的情况单位（元）单位（元）单位（元）单位（元）每个月的还款： 904.1779每个月的还款： 948.5140每个月的还款： 996.0068每个月的还款： 1001.2828第一年年底的欠款： 93267.7933第二年年底的欠款： 97356.0367第三年年底的欠款： 101733.6538第四年年底的欠款： 101746.7193第二年年底的欠款： 86343.2408第三年年底的欠款： 90174.0811第四年年底的欠款： 94241.7267第五年年底的欠款： 94299.2501第三年年底的欠款： 79202.5455第四年年底的欠款： 82728.6844第五年年底的欠款： 86502.8882第六年年底的欠款： 86598.6741第四年年底的欠款： 71792.2378第五年年底的欠款： 75025.8533第六年年底的欠款： 78488.3621第七年年底的欠款： 78615.7124第五年年底的欠款： 64114.0730第六年年底的欠款： 67036.3929第七年年底的欠款：70167.0815 第八年年底的欠款： 70318.7155第六年年底的欠款： 56138.4172第七年年底的欠款： 58728.7611第八年年底的欠款： 61505.4403第九年年底的欠款： 61655.0492第七年年底的欠款： 47833.2321第八年年底的欠款： 50068.8156第九年年底的欠款： 52451.1466第十年年底的欠款： 52591.4203第八年年底的欠款： 39163.8172第九年年底的欠款： 41006.8234第十年年底的欠款： 42968.9185第十一年年底的欠款： 43105.1729第九年年底的欠款： 30082.8304第十年年底的欠款： 31507.0049第十一年年底的欠款： 33031.2209第十二年年底的欠款： 33152.6687第十年年底的欠款： 20553.9687第十一年年底的欠款： 21538.1034第十二年年底的欠款： 22591.6564第十三年年底的欠款： 22686.3602第十一年年底的欠款： 10542.3659第十二年年底的欠款： 11052.9230第十三年年底的欠款： 11599.6506第十四年年底的欠款： 11654.3661第十二年年底的欠款： 0.0000第十三年年底的欠款： 0.0000第十四年年底的欠款： 0.0000第十五年年底的欠款： 0.0000总的还款: 130201.6106总的还款: 136586.0218总的还款: 143424.9797总的还款: 144184.7276各种情况的月还款额如表5所示：表5开始还款年（公积金贷款）公积金月还款额（元）商业性贷月还款额（元）每月总还款额（元）1904.17791389.3512293.52892948.5141390.3512338.8653996.00681391.3512387.357841001.28281392.3512393.6338 通过求解的结果与表格数据的对比，容易看出随着还款时间的推迟，王先生的月还款额和还款总额会不断增多，于是我们建议王先生最好是在贷款后的一个月开始还款，在经济条件允许的条件下，在第12年年末还清公积金贷款后，最好是在接下来的第一个月月末里一次性还清商业性贷款。六、模型的评价 本模型是从月末欠款额和年末欠款额来展开分析讨论的，我们的模型过程详细、思路清晰、表格明了容易让人理解，在整个模型的运算过程中，大多运用了C语言中的部分程序来完成，计算结果详细可靠，所有我们认为这个模型还算合理。 但在整个模型中也存在缺点和不足之处。比如：在运算过程中我们取相应的有效数位来进行分析和计算，所以会存在一定误差；在公积金的还款问题中，我们只考虑了整年连续还款，没有考虑到在15年内任意144个月等额还款。七、参考文献 1 晏林 ，数学与实验， 科学出版社，2005.八、附录 1、#include#define M 100000#includeint main()double X,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9,b10,b11,b12,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,p1=0.00354,p2=0.00363,p3=0.00372,p4=0.00378,p5=0.00387,p6=0.00396,p7=0.00405,p8=0.00414,p9=0.0042075,p10=0.004275,p11=0.004365,p12=0.004455,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,c10,c11,c12,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,N;int i;a1=pow(1+p1),12);a2=pow(1+p2),12);a3=pow(1+p3),12);a4=pow(1+p4),12);a5=pow(1+p5),12);a6=pow(1+p6),12);a7=pow(1+p7),12);a8=pow(1+p8),12);a9=pow(1+p9),12);a10=pow(1+p10),12);a11=pow(1+p11),12); a12=pow(1+p12),12); /.计算的值./b1=0,b2=0,b3=0,b4=0,b5=0,b6=0,b7=0,b8=0,b9=0,b10=0,b11=0,b12=0;for(i=0;i=11;i+)b1=b1+pow(1+p1),i);b2=b2+pow(1+p2),i);b3=b3+pow(1+p3),i); b4=b4+pow(1+p4),i);b5=b5+pow(1+p5),i);b6=b6+pow(1+p6),i);b7=b7+pow(1+p7),i);b8=b8+pow(1+p8),i);b9=b9+pow(1+p9),i);b10=b10+pow(1+p10),i);b11=b11+pow(1+p11),i);b12=b12+pow(1+p12),i); /.计算的值./c1=a1*a2*a3*a4*a5*a6*a7*a8*a9*a10*a11*a12;c2=a2*a3*a4*a5*a6*a7*a8*a9*a10*a11*a12;c3=a3*a4*a5*a6*a7*a8*a9*a10*a11*a12;c4=a4*a5*a6*a7*a8*a9*a10*a11*a12;c5=a5*a6*a7*a8*a9*a10*a11*a12;c6=a6*a7*a8*a9*a10*a11*a12;c7=a7*a8*a9*a10*a11*a12;c8=a8*a9*a10*a11*a12;c9=a9*a10*a11*a12;c10=a10*a11*a12;c11=a11*a12;c12=a12;X=M*c1/(b1*c2+b2*c3+b3*c4+b4*c5+b5*c6+b6*c7+b7*c8+b8*c9+b9*c10+b10*c11+b11*a12+b12);M1=M*a1-X*b1;M2=M1*a2-X*b2;M3=M2*a3-X*b3;M4=M3*a4-X*b4;M5=M4*a5-X*b5;M6=M5*a6-X*b6;M7=M6*a7-X*b7;M8=M7*a8-X*b8;M9=M8*a9-X*b9;M10=M9*a10-X*b10;M11=M10*a11-X*b11; M12=M11*a12-X*b12; /.每月月底的欠款额./ N=X*12*12; /.总还款额./ printf(每个的还款：%12.4lfn第一年年底的欠款：%12.4lfn第二年年底的欠款：%12.4lfn第三年年底的欠款：%12.4lfn第四年年底的欠款：%12.4lfn第五年年底的欠款：%12.4lfn第六年年底的欠款：%12.4lfn第七年年底的欠款：%12.4lfn第八年年底的欠款：%12.4lfn第九年年底的欠款：%12.4lfn第十年年底的欠款：%12.4lfn第十一年年底的欠款：%12.4lfn第十二年年底的欠款：%12.4lfn总的还款:%12.4lfn,X,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,N);return 0;2、#include#define m 150000#includeint main()double X,b1,b2,b4,b6,a1,a2,a4,a6,p1=0.00465,p2=0.004875,p4=0.00495,p6=0.005025,c1,c2,c3,c4,c5,c6,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,M13,M14,M15,n;int i;a1=pow(1+p1),15);a2=pow(1+p2),15);a4=pow(1+p4),15);a6=pow(1+p6),15); /.计算的值./b1=0,b2=0,b4=0,b6=0;for(i=0;i=11;i+)b1=b1+pow(1+p1),i);b2=b2+pow(1+p2),i);b4=b4+pow(1+p4),i);b6=b6+pow(1+p6),i); /.计算的值./c1=a1*a2*a2*a4*a4*pow(a6,10);c2=a2*a2*a4*a4*pow(a6,10);c3=a2*a4*a4*pow(a6,10);c4=a4*a4*pow(a6,10);c5=a4*pow(a6,10);c6=pow(a6,10);X=