三角形全等的证明专题.doc

戴雨静 数学专题辅导资料 2010年7月16日星期五 星海学校三角形全等的证明专题三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例1 已知：如图1，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC那么图中全等的三角形有_对（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例2 如图2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，还需添加的条件是（只需填一个）_（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例3 已知：如图3，AB=AC，1=2求证：AO平分BAC分析：要证AO平分BAC，即证BAO=BCO，要证BAO=BCO，只需证BAO和BCO所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形 例4 已知：如图4，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于F，连接DF求证：ADC=BDF说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图5 (3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题，测量图案如图5所示第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是第(3)题易证AOBCOD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长解：(1)如图6示(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OCOA，在BO的延长线上取一点D，并测得ODOB，这时测出CD的长为，则AB的长就是(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB=（注意书写格式和书写过程，一定要严谨！） 图6 评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识练习1已知：如图，D是ABC的边AB上一点，ABFC，DF交AC于点E，DE=FE 求证：AE=CE2如图，在ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知ABD=ACD，BDE=CDE求证：BD=CD 3用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在AOB的两边上取OP=OQ，再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC平分AOB你能说明道理吗？ 4如图，ABC中，AB=AC，过点A作GEBC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 5已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明所添条件为_，你得到的一对全等三角形是_ 7如图，在ABD和ACD中，AB=AC，B=C求证：ABDACD 8如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC求证：CO=DO9已知ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G求证：EG=GF 10已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AFCD求证：B=E 11如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样