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文档简介

密线封层次报读学校专业姓名314微分几何结业考试试卷题号一二三四总分得分一、判断题：（正确打，错误打。每题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知，则 ， ， ， ， .2、已知曲面，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率 ，平均曲率 ，点处沿方向的法曲率 ，点处的两个主曲率分别为 。三、计算题（每小题12分，共24分）1、求曲面的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为，求坐标曲线的测地曲率.四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.3、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？微分几何参考答案一、判断题：1. 2. 3. 4. 5. 二、填空题： 三、计算题：1、求曲面的渐近曲线.解 设则， （6分）因渐近曲线的微分方程为即或渐近曲线为或 （12分）2、已知曲面的第一基本形式为，求坐标曲线的测地曲率.解 ， （4分）u-线的测地曲率 （8分）v-线的测地曲率 （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.证设，则由知，从而，即这表明曲线和在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.证设，其中是的自然参数，记，则，两边求导，得， （4分）由为曲率线知，即， 因此 。若，则为平面曲线； （6分）若，则因为曲面上的一条曲率线， 故. 而，所以，即为常向量. 于是为平面曲线. （11分）3. 问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线. （3分）事实上，设，
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