则在中与A等价的矩阵为.doc

习题3.51. 设则在中与A等价的矩阵为 ，并说明理由分析 等价的充要条件是两个行列数相同的矩阵的秩相同. 由于是一个的秩为2的矩阵, 所以只要在中找出同样是的秩为2的那个矩阵即是与等价的矩阵.解 是的, 但是它的秩为1所以不是; 是的同时秩也是2所以与等价; 虽然秩是2但是是的矩阵, 所以与不等价. 综上知应填.2下述命题正确的是( )，并说明理由.(A) 若A与B等价，则A=B.(B) 若方阵A与方阵B等价，则.(C) 若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵.(D) 若A，B，C，D均为n阶方阵.若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+D等价.解 (A)设, 由于秩()=秩(), 所以他们必等价, 但是显然. 据此(A)不正确. (B),由于秩()=秩(), 所以他们必等价, 但是显然.据此(B)不正确. (C)是可逆矩阵, 因此是满秩的方阵. 根据题意A与B等价, 即有秩()=秩(), 所以也是满秩的方阵, 因此A也是可逆矩阵. 据此(C)正确.(D)设, 秩()=秩(), 秩()=秩(), 所以A与B等价，C与D等价. 但是显然不等价. 据此(D)不正确. 综上知应填. 解 由于两个矩阵等价, 所以两者的秩必相等., 可知该矩阵的秩为2, 因此的秩也必须为2. 对它作初等行变换., 所以要使得它的秩为2,则. 故应填4.4.证明：秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和证 设为秩为r的矩阵, 则它必与矩阵等价, 所以必存在两个可逆矩阵使得成立. 而可以写成r个只有一个元素为1其余为零的矩阵的和的形式: 所以有= =这样就表示成了r个矩阵之和的形式. 而任一个, 由于中间那个矩阵只有一个元素非零, 所以其秩为1, 而可逆, 所以三个矩阵的积的秩仍然为1. 这样就表示成了r个秩为1的矩阵之和了.5.上题的逆命题“r个秩为1的矩阵之和的秩为r”是否成立?成立请证明，否则举反例证 设 显然的秩都是1, 但是他们的和的秩是1而不是r. 所以该逆命题不成立.6.若将所有n阶方阵按等价分类，可分成几个等价类?每一类的标准形是什么?解 可以分成类, 秩为0的一类, 标准形为; 秩为1的一类, 标准形为; 秩为2的一类, 标准形为, , 秩为的一类, 标准形为.7.设A是n(n1)阶方阵，AO，则存在一个非零矩阵，使得的充要条件为证 对于必要性的证明同习题3.2的第13个习题, 下面证明该命题的充分性. 若则可知是一个不满秩的n(n1)阶方阵, 据此可知线性方程组有非零解. 设为一个非零解, 则令. 显然是一个非零的矩阵, 并且满足. 所以存在这样的非零矩阵，使得.8.设A是mn矩阵, B是nm矩阵，若mn，则必有.证 由于秩秩(), 而是一个的矩阵且, 所以秩(). 据此可得秩. 由于A是mn矩阵, B是nm矩阵, 所以是一个的方阵, 由于秩, 因此是不满秩的, 因此.9.设, 是秩为1的矩阵，问矩阵的秩为多少?解 由=, 可知, 所以是可逆矩阵, 因此秩()=秩()=1.10.设A为矩阵(1) 秩()必 (2) 齐次线性方程组()为( ).(A) 无解； (B) 有惟一解；(C) 有无穷多解； (D) 解不确定，可能有解，可能无解.解 (1) A为矩阵, 则