§3.1 导数的概念及运算(教师).doc

响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第三编 导数及其应用 主备人 张灵芝 总第12期 3.1 导数的概念及运算基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+x，2+y），则为 .答案 x+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f(x)= .答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）.af(b)bf(a) af(a)bf(b) af(a)bf(b) af(b)bf(a)答案 4.（2008.辽宁理.6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 .答案 5.(2008.全国理.14)设曲线y=在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .答案 2例题精讲 例1 求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y=，=.例2 求下列各函数的导数：（1）y=； （2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）y=-sin(1-2cos2)；（4）y=+.解 （1）y=x+x3+，y=（x）+(x3)+(x-2sinx)=-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.方法二y=（x+1）（x+2）（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）=（x+1）（x+2）+（x+1）（x+2）（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=-sin(-cos)=sinx，y=(sinx) = （sinx）=cosx.（4）y=+=，y=()=.例3 求下列函数的导数：（1）y=; (2)y=sin2(2x+); (3)y=x.解 （1）设u=1-3x,y=u-4.则y x=y uux=-4u-5（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v =2x+,则y x=y uu vv x=2ucosv2=4sincos=2sin.(3)y=(x)=x+x（)=+=.例4 （14分）已知曲线y=x3+.（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4.3分曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分（2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=y|=x02.8分切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),即y=x02x-x03+.10分点P（2，4）在切线上，4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0,x03+x02-4x02+4=0,x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14分巩固练习1.求y=在x=x0处的导数.解 =，当x无限趋近于0时，无限趋近于,f(x0)= .2.求y=tanx的导数.解 y=.3.设函数f（x）=cos（x+）（0）.若f(x)+f(x)是奇函数,则= .答案 4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .答案 2或-回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.若f（x0）=2，则当k无限趋近于0时= .答案 -12.（2008全国理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= .答案 -23.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 .答案 4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 .答案 5x+y-2=05.（2009徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 .答案 （1，0）6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条.答案 37.曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .答案 8.若函数f(x)的导函数为f(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是 .答案 二、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=cosxsin2x+cos3x，x0=；（2）f（x）=，x0=2；（3）f（x）=，x0=1.解 （1）f(x)=cosx(sin2x+cos2x)=(cosx)=-sinx,f（）=-.(2)f(x)=,f(2)=0.(3)f(x)=(x)-x+(lnx)=-x-1+,f(1)=- .10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解 设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y|=|=2.解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.11.（2008海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f(x)=ax+（a,bZ），曲线y=f(x)在点（2，f（2）处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f(x)=a-,于是解得或因为a,bZ,故f(x)=x+.(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+）,由f(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1,得y=,切线与直线x=1的交点为;令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.12.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的图象过点P（0，1），e=1.又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx