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高考中档题训练(四)1.(2014高考安徽卷)设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,abc的面积为2,求cos a与a的值.解:由三角形面积公式,得1231sin a=2,故sin a=223.因为sin2a+cos2a=1,所以cos a=1-sin2a=1-89=13.当cos a=13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=32+12-23113=8,所以a=22.当cos a=-13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=32+12-231(-13)=12.所以a=23.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4(1)求数列an,2的通项公式;(2)设bn=a1,nan,2+(-1)na1,n(nn*),求数列bn的前n项和sn.解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)q2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a1,2=2,an,2=22n-1=2n.(2)由(1)得a1,n=n,所以bn=n2n+(-1)nn,sn=(12+222+323+n2n)+-1+2-3+(-1)nn,记tn=12+222+323+n2n,则12tn=122+223+324+n2n+1,两式相减得,12tn=12+122+123+12n-n2n+1=1-n+22n+1,所以tn=2-n+22n,所以n为偶数时,sn=n2+2-n+22n,n为奇数时,sn=-n+12+2-n+22n.3.(2014浙江高考模拟冲刺卷)如图,abc中,acb=90,ab=2bc=2,p为平面abc外一个动点,且pc=3,pbc=60.(1)问当pa的长为多少时,acpb;(2)当pab的面积取得最大值时,求直线bc与平面pab所成角的大小.解:(1)因为acb=90,所以acbc,当acpc时,ac平面pbc,而pb平面pbc,所以acpb,此时,pa=ac2+pc2=3+3=6,即当pa=6时,acpb.(2)在pbc中,因为pc=3,pbc=60,bc=1,所以bcpc,又acbc,所以bc平面apc.当pab的面积取得最大值时,pba=90,取ap的中点d(如图),则cdpa,bdpa,所以pa平面bcd.在rtpba中,因为ab=pb=2,由此可求得bd=2,又在rtbcd中,bc=1,所以cd=1,由于pa平面bcd,所以平面bcd平面pba,所以cbd就是直线
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