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25 2 用树形图求概率 2 1 复习引入 等可能性事件 古典概形 的两个特征 1 出现的结果有限多个 2 各结果发生的可能性相等 等可能性事件的概率 列举法 2 1 有100张卡片 从1号到100号 从中任取1张 取到的卡号是7的倍数的概率为 2 某组16名学生 其中男女生各一半 把全组学生分成人数相等的两个小组 则分得每小组里男 女人数相同的概率是 3 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球 从中摸出2个球 1 共有多少种不同的结果 2 摸出2个黑球有多种不同的结果 3 摸出两个黑球的概率是多少 6 3个 复习与练习 3 4 你喜欢玩游戏吗 现请你玩一个转盘游戏 如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等 现同时自由转动甲 乙两个转盘 转盘停止后 指针各指向一个数字 用所指的两个数字作乘积 所有可能得到的不同的积分别为 数字之积为奇数的概率为 15个 4 用 树形图法 求概率 5 例1 一个袋中里有4个珠子 其中2个红色 2个蓝色 除颜色外其余特征均相同 若从这个袋中任取2个珠子 都是蓝色珠子的概率为多少 解 由题意画出树状图 开始 由树状图可以看出 所有可能出现的结果共有6个 这些结果出现的可能性相等 都是蓝色珠子的结果有1个 故 6 例2 甲口袋中装有2个相同的小球 它们分别写有字母A和B 乙口袋中装有3个相同的小球 它们分别写有字母C D和E 丙口袋中装有2个相同的小球 它们分别写有字母H和I 从3个口袋中各随机地取出1个小球 1 取出的3个小球上恰好有1个 2个和3个元音字母的概率分别是多少 2 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少 7 甲 乙 丙 E D C E D C 解 根据题意 我们可以画出如下的树形图 8 AAAAAABBBBBBCCDDEECCDDEEHIHIHIHIHIHI 1 只有一个元音字母 记为事件A 的结果有5个 所以 根据树形图 可以看出 所有可能出现的结果是12个 这些结果出现的可能性相等 AAAAAABBBBBBCCDDEECCDDEEHIHIHIHIHIHI 有两个元音字母 记为事件B 的结果有4个 所以 有三个元音字母 记为事件C 的结果有1个 所以 2 全是辅音字母 记为事件D 的结果有2个 所以 9 一个透明的袋子中装有三个完全相同的小球 分别标有数字3 4 5 从袋子中随机取出一个小球 用小球上的数字作为十位上的数字 然后放回去 再取出一个小球 用小球上的数字作为个位上的数字 这样组成一个两位数 试问 按这种方法能组成那些两位数 十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少 解法一列表 10 一个透明的袋子中装有三个完全相同的小球 分别标有数字3 4 5 从袋子中随机取出一个小球 用小球上的数字作为十位上的数字 然后放回去 再取出一个小球 用小球上的数字作为个位上的数字 这样组成一个两位数 试问 按这种方法能组成那些两位数 十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少 3 4 开始 5 解法二 用树形图 11 解 所有可能出现的结果共有9种 这些结果出现的可能性相等 能组成的两位数有33 34 35 43 45 44 53 54 55 能组成的两位数共有9个 其中十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数两个 12 2 20 有三个完全相同的小球 上面分别标有数字1 2 3 将其放入一个不透明的盒子中摇匀 再从中随机摸球两次 第一次摸出球后放回摇匀 设第一次摸到的球上所标的数字为m 第二次摸到的球上所标的数字为n 依次以m n作为点M的横 纵坐标 1 用树状图 或列表法 表示出点M的坐标所有可能的结果 2 求点M在第三象限的概率 13 解 1 组成的点M的坐标的所有可能性为 2 落在第三象限的点有 因此点M落在第三象限的概率为 或列表如下 14 在物理实验中 当电流在一定时间段内正常通过电子元件时 每个电子元件的状态有两种可能 通电或断开 并且这两种状态的可能性相等 第20题图1 第20题图2 第20题图3 如图1 当只有1个电子元件时 P Q之间电流通过的概率是 2 如图2 当有2个电子元件a b并联时 请你用树状图 或列表法 表示图中P Q之间电流能否通过的所有可能情况 并求出P Q之间电流通过的概率 如图3 当有3个电子元件并联时 P Q之间电流通过的概率是 15 ab 20 解 1 0 5 2 用树状图表示是 或用列表法表示是 P Q之间电流通过的概率是 开始 16 这个游戏对小亮和小明公平吗 怎样才算公平 小明和小亮做扑克游戏 桌面上放有两堆牌 分别是红桃和黑桃的1 2 3 4 5 6 小明建议 我从红桃中抽取一张牌 你从黑桃中取一张 当两张牌数字之积为奇数时 你得1分 为偶数我得1分 先得到10分的获胜 如果你是小亮 你愿意接受这个游戏的规则吗 思考1 你能求出小亮得分的概率吗 17 用表格表示 想一想 能不能用 树形图法 解 18 总结经验 当一次试验要涉及两个因素 并且可能出现的结果数目较多时 为了不重不漏的列出所有可能的结果 通常采用列表的办法 解 由表中可以看出 在两堆牌中分别取一张 它可能出现的结果有36个 它们出现的可能性相等但满足两张牌的数字之积为奇数 记为事件A 的有 1 1 1 3 1 5 3 1 3 3 3 5 5 1 5 3 5 5 这9种情况 所以 19 想一想 什么时候使用 列表法 方便 什么时候使用 树形图法 方便 20 课堂总结 用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况 利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果 从而较方便地求出某些事件发生的概率 当试验包含两步时 列表法比较方便 当然 此时也可以用树形图法 当试验在三步或三步以上时 用树形图法方便 21 2 小明是个小马虎 晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头 早上起床没看清随便穿了两只就去上学 问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少 22 解 设两双袜子分别为A1 A2 B1 B2 则 所以穿相同一双袜子的概率为 练习 23 课堂总结 用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况 利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果 从而较方便地求出某些事件发生的概率 当试验包含两步时 列表法比较方便 当然 此时也可以用树形图法 当试验在三步或三步以上时 用树形图法方便 24 25 26 1 一套丛书共6册 随机地放到书架上 求各册从左至右或从右至左恰成1 2 3 4 5 6的顺序的概率 随堂练习 27 3 在6张卡片上分别写有1 6的整数 随机的抽取一张后放回 再随机的抽取一张 那么 第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少 28 4 经过某十字路口的汽车 它可能继续直行 也可能向左转或向右转 如果这三种可能性大小相同 当有三辆汽车经过这个十字路口时 求下列事件的概率 1 三辆车全部继续直行 2 两辆车向右转 一辆车向左转 3 至少有两辆车向左转 29 5 甲 乙两人参加普法知识问答 共有10个不同的题目 其中选择题6个 判断题4个 甲 乙两人依次各抽一题 1 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 2 甲 乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少 30 6 把3个歌舞 4个独唱和2个小品排成一份节目单 计算 1 节目单中2个小品恰好排在开头和结尾的概率是多少 2 节目单中4个独唱恰好排在一起的概率是多少 3 节目单中3个歌舞中的任意两个都不排在一起的概率是多少 31 7 某小组的甲 乙 丙三成员 每人在7天内参加一天的社会服务活动 活动时间可以在7天之中随意安排 则3人在不同的三天参加社会服务活动的概率为 8 一部书共6册 任意摆放到书架的同一层上 试计算 自左向右 第一册不在第1位置 第2册不在第2位置的概率 32 9 用数字1 2 3 4 5组成五位数 求其中恰有4个相同的数字的概率 10 把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内 每盒装球不限 计算 1 无空盒的概率 2 恰有一个空盒的概率 33 11 在一次口试中 要从20道题中随机抽出6道题进行回答 答对了其中