湖北省宜昌市部分示范高中联考高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合p=x|x22x0，q=x|1x2，则（rp）q=（）a0，1）b（0，2c（1，2）d1，22若p：2x1，q：lgx0，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x）的图象（）a向右平移个单位长度b向左平移个单位长度c向右平移个单位长度d向左平移个单位长度4设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）a奇函数，且在（0，1）上是增函数b奇函数，且在（0，1）上是减函数c偶函数，且在（0，1）上是增函数d偶函数，且在（0，1）上是减函数5f（x）=3x+3x8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.253.9，31.55.2a（1，1.25）b（1.25，1.5）c（1.5，2）d不能确定6已知sin+cos=，则sincos的值为（）abcd7设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）a1，2b1，0c1，2d0，28已知函数f（x）=是r上的减函数，则实数a的取值范围是（）a，）b（0，）c（0，）d（，）9直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为（）abcd2ln210如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度bc等于（）a mb mc md m11定义在r上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则（）af（sin）f（cos）bf（sin）f（cos）cf（sin1）f（cos1）df（sin）f（cos）12德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：f（f（x）=0；函数f（x）是偶函数；任意一个非零有理数t，f（x+t）=f（x）对任意xr恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形其中真命题的个数是（）a4b3c2d1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13函数f（x）=（2x1）的定义域是14求值： =15已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3（x1x2x3），则x1+2x2+x3=16角的顶点在坐标原点o，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点p，且tan=；角的顶点在坐标原点o，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点q，且tan=2对于下列结论：p（，）；|pq|2=；cospoq=；poq的面积为其中所有正确结论的序号有三、解答题（共6小题，满分70分）17设命题p：函数y=lg（x22x+a）的定义域是r，命题q：y=（a1）x为增函数，如果命题“pq”为真，而命题“pq”为假，求实数a的取值范围18某同学用“五点法”画函数f（x）=asin（x+）+b（a0，0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3x+02asin（x+）+b000（）请求出上表中的xl，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式（）将f（x）的图象沿x釉向右平移个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x0，m（其中m（2，4）上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为p，q，求与夹角的大小19铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算设行李质量为xkg，托运费用为y元（）写出函数y=f（x）的解析式；（）若行李质量为56kg，托运费用为多少？20已知，记函数f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的对称中心；（）求f（x）在0，上的单调递增区间21在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2acos2b=sinacosasinbcosb（）求角c的大小；（）若sina=，求abc的面积22已知函数f（x）=1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m0，求f（x）在m，2m上的最大值；（3）证明：nn*，不等式ln（）e2015-2016学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合p=x|x22x0，q=x|1x2，则（rp）q=（）a0，1）b（0，2c（1，2）d1，2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出p中不等式的解集确定出p，求出p补集与q的交集即可【解答】解：由p中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即p=（，02，+），rp=（0，2），q=（1，2，（rp）q=（1，2），故选：c【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2若p：2x1，q：lgx0，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据条件求出a，b，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：关于p：由2x1，解得：x0，关于q：由lgx0，解得：x1，令a=xx0，b=x|x1，则ba，即“xa”是“xb”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础3要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x）的图象（）a向右平移个单位长度b向左平移个单位长度c向右平移个单位长度d向左平移个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x）=sin（2x） 的图象，把平移过程逆过来可得结论【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x）=sin（2x） 的图象，故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y=sin（2x）的图象向左至少平移个单位即可，故选：b【点评】本题主要考查函数 y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题4设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）a奇函数，且在（0，1）上是增函数b奇函数，且在（0，1）上是减函数c偶函数，且在（0，1）上是增函数d偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除c，d，正确结果在a，b，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以b错误，a正确故选：a【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力5f（x）=3x+3x8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.253.9，31.55.2a（1，1.25）b（1.25，1.5）c（1.5，2）d不能确定【考点】二分法求方程的近似解【专题】函数的性质及应用【分析】分别求出f（1）、f（1.25）、f（1.5）、f（2），由f（1.5）0，f（1.25）0，能求出零点落在哪个区间【解答】解：因为f（1）=3+28=10，f（1.25）=31.25+31.2583.9+3.758=0.350，f（1.5）=31.5+31.585.2+4.58=1.70，f（2）=32+328=70，所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）故选：b【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，是基础题，解题时要注意零点存在性定理的合理运用6已知sin+cos=，则sincos的值为（）abcd【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】由题意可得可得1cossin0，2sincos=，再根据sincos=，计算求得结果【解答】解：由sin+cos=，可得1cossin0，1+2sincos=，2sincos=sincos=，故选：b【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题7设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）a1，2b1，0c1，2d0，2【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】利用基本不等式，先求出当x0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可【解答】解：当x0时，f（x）=x+a，此时函数的最小值为a+2，若a0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a2a+2，即a2a20解得1a2，a0，0a2，故选：d【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键8已知函数f（x）=是r上的减函数，则实数a的取值范围是（）a，）b（0，）c（0，）d（，）【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得可得，由此求得a的范围【解答】解：由于函数f（x）=是r上的减函数，可得，求得a，故选：a【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题9直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为（）abcd2ln2【考点】定积分在求面积中的应用【专题】计算题；导数的综合应用【分析】用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论【解答】解：由题意，直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为=lnx=ln2ln=2ln2故选：d【点评】本题考查定积分知识的运用，考查导数知识，考查学生的计算能力，属于基础题10如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度bc等于（）a mb mc md m【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；解三角形【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到dc和db的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，dab=15，tan15=tan（4530）=2在rtadb中，又ad=60，db=adtan15=60（2）=12060在rtadc中，dac=60，ad=60，dc=adtan60=60bc=dcdb=60（12060）=120（1）（m）河流的宽度bc等于120（1）m故选：b【点评】本题给出实际应用问题，求河流在b、c两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题11定义在r上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则（）af（sin）f（cos）bf（sin）f（cos）cf（sin1）f（cos1）df（sin）f（cos）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】观察题设条件与选项选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小【解答】解：x3，4时，f（x）=x2，故偶函数f（x）在3，4上是增函数，又定义在r上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项a中sincos，故a不对；b选项中sincos，故b不对；c选项中sin1cos1，故c对；d亦不对综上，选项c是正确的故应选c【点评】本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度12德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：f（f（x）=0；函数f（x）是偶函数；任意一个非零有理数t，f（x+t）=f（x）对任意xr恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形其中真命题的个数是（）a4b3c2d1【考点】分段函数的应用【专题】空间位置关系与距离【分析】根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1；根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；取x1=，x2=0，x3=，可得a（，0），b（0，1），c（，0），三点恰好构成等边三角形【解答】解：当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，当x为有理数时，ff（x）=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x）=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1，故不正确；接下来判断三个命题的真假有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xr，都有f（x）=f（x），故正确； 若x是有理数，则x+t也是有理数； 若x是无理数，则x+t也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对xr恒成立，故正确； 取x1=，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，a（，0），b（0，1），c（，0），恰好abc为等边三角形，故正确即真命题的个数是3个，故选：b【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13函数f（x）=（2x1）的定义域是（，1）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】须保证解析式中分母不为0，且真数大于0，由此可求出定义域【解答】解：欲使函数f（x）有意义，须有，解得x1，所以函数f（x）的定义域为（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查函数定义域及其求法，解析法给出的函数，须保证解析式各部分都有意义，如果是实际背景下的函数，须考虑其实际意义14求值： =1【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值【解答】解： =1，故答案为：1【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题15已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3（x1x2x3），则x1+2x2+x3=【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2和x2+x3的值，相加即可【解答】解：函数的图象，可看作函数y=2sin2x的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，x1+x2=2（）=，x2+x3=2（）=，x1+2x2+x3=（x1+x2）+（x2+x3）=+=，故答案为：【点评】本题考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题16角的顶点在坐标原点o，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点p，且tan=；角的顶点在坐标原点o，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点q，且tan=2对于下列结论：p（，）；|pq|2=；cospoq=；poq的面积为其中所有正确结论的序号有【考点】三角函数线【专题】三角函数的求值【分析】利用诱导公式得到op所对应的角，结合平方关系求解的正余弦值得答案，判断命题；求出q的坐标，由两点间的距离公式计算|pq|2，然后判断真假；把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；直接由面积公式求值，然后判断真假【解答】解：如图，对于，由tan=，得，又，且，解得：设p（x，y），x=，p（）命题正确；对于，由tan=2，得，又sin2+cos2=1，且，解得：q（）|pq|2=命题正确；对于，cospoq=cos（）=sin（）=sincos+cossin=命题错误；对于，由得：sinpoq=，命题正确正确的命题是故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17设命题p：函数y=lg（x22x+a）的定义域是r，命题q：y=（a1）x为增函数，如果命题“pq”为真，而命题“pq”为假，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：对于命题p：函数的定义域是r，x22x+a0在r上恒成立，=44a0，解得：a1；对于命题q：y=（a1）x为增函数，只需a11，解得：a2，又命题“pq”为真，而命题“pq”为假，命题p与命题q一真一假，综上所述，实数a的取值范围为（1，2【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题18某同学用“五点法”画函数f（x）=asin（x+）+b（a0，0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3x+02asin（x+）+b000（）请求出上表中的xl，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式（）将f（x）的图象沿x釉向右平移个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x0，m（其中m（2，4）上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为p，q，求与夹角的大小【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）由条件利用五点法作图，求得、的值，再结合表格中的数据可得函数f（x）的解析式，从而求得表中的xl，x2，x3（）由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，可得p、q的坐标，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得与夹角的大小【解答】解：（）由题意可得+=，+=，=，=，再结合表格中的数据，可得函数f（x）=sin（x+）再根据x1+=0， x2+=， x3+=2，求得xl =，x2 =，x3，=；（）将f（x）的图象沿x釉向右平移个单位得到函数g（x）=sin（x）+=sinx的图象，若函数g（x）在x0，m（其中m（2，4）上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为p（1，）、q（3，），=（3，）、=（2，2）设与夹角的大小为，则cos=，=【点评】本题主要考查五点法作图，函数y=asin（x+）的图象变换规律，用数量积表示两个向量的夹角，属于中档题19铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算设行李质量为xkg，托运费用为y元（）写出函数y=f（x）的解析式；（）若行李质量为56kg，托运费用为多少？【考点】分段函数的应用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（）对x讨论，若0x50，若50x100，若x100，求得f（x）的解析式；（）对自变量的范围考虑，选择第二段，代入计算即可得到托运费【解答】解：（）（1）若0x50，则y=0.25x； （2）若50x100，则y=12.5+0.35（x50）=0.35x5； （3），则y=30+0.45（x100）=0.45x15综上可得，y=；（）因为50kg56kg100kg，所以y=12.5+60.35=14.6（元）则托运费为14.6元【点评】本题考查分段函数及运用，主要考查分段函数的解析式的求法和运用，属于基础题20已知，记函数f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的对称中心；（）求f（x）在0，上的单调递增区间【考点】平面向量数量积的运算【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（i）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f（x）=+，可得周期t，令=0，即可解出对称中心（ii）利用正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（），f（x）=+=+，=令=0，解得=k，解得x=（kz）f（x）的对称中心为，（kz）（）解不等式得：令k=0，函数f（x）在0，上的单调递增区间为【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2acos2b=sinacosasinbcosb（）求角c的大小；（）若sina=，求abc的面积【考点】正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦【专题】解三角形【分析】（）abc中，由条件利用二倍角公式化简可得2sin（a+b）sin（ab）