一元二次方程—面积问题.doc

第3课时几何图形与一元二次方程教学目标：1掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题2继续探究YI实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题3通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力教学过程：一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 (2014甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为()Ax(5x)6 Bx(5x)6Cx(10x)6 Dx(102x)6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5x)6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程 (2014黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长解析：设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(802x)cm，宽是(602x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(802x)(602x)1500，整理得x270x8250，解得x155，x215.又602x0，x55(舍)小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可【类型二】整体法构造一元二次方程模型 (2014甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为_解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22x)米，宽为(17x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22x)(17x)300.解法二：根据面积的和差可列方程：221722x17xx2300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解【类型三】利用一元二次方程解决动点问题 如图所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解解：(1)设xs后，可使PCQ的面积为8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得(6x)2x8.整理，得x26x80，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半则根据题意，得(6x)2x68.整理，得x26x120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻板书设计教学反思与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规