chap1-3.ppt

1 4静电场边值问题 唯一性定理 1 4 1泊松方程与拉普拉斯方程 推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程 2020 1 24 1 泊松方程 非齐次拉普拉斯方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性 线性的均匀媒质 拉普拉斯方程 拉普拉斯算子 2020 1 24 2 例1 7列出求解区域的微分方程 三个不同媒质区域的静电场 2020 1 24 3 1 4 2静电场的边值问题 边值问题框图 微分方程 边界条件 2020 1 24 4 边值问题研究方法框图 边值问题研究方法 2020 1 24 5 例1 6图示长直同轴电缆横截面 已知缆芯截面是一边长为2b的正方形 铅皮半径为a 内外导体之间电介质的介电常数为 并且在两导体之间接有电源U0 试写出该电缆中静电场的边值问题 解 根据场分布对称性 确定场域 阴影区域 场的边值问题 图1 37缆心为正方形的同轴电缆横截面 已知 a 2b U0 2020 1 24 6 例1 7设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中 电荷体密度为 试用解微分方程的方法求球体内 外的电位及电场 解 采用球坐标系 分区域建立方程 图1 38体电荷分布的球形域电场 已知 a 2020 1 24 7 边界条件 积分 得通解 参考点电位 解得 2020 1 24 8 电场强度 球坐标梯度公式 对于一维场 场量仅仅是一个坐标变量的函数 只要对二阶常系数微分方程积分两次 得到通解 然后利用边界条件求得积分常数 得到电位的解 再由得到电场强度E的分布 电位 2020 1 24 9 2 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 1 4 3唯一性定理 证明 反证法 1 唯一性 在静电场中 满足给定边界条件的电位微分方程 泊松方程或拉普拉斯方程 的解是唯一的 称为静电场的唯一性定理 UniqunessTheorem 2020 1 24 10 例1 8图示平板电容器的电位 哪一个解答正确 答案 唯一性定理为静电场问题的多种解法 试探解 数值解 解析解等 提供了思路及理论根据 图1 39平板电容器外加电源U0 C 作业 证明此结论 2020 1 24 11 电力电缆 2020 1 24 12 单芯电力电缆 2020 1 24 13 三相电力电缆 中间地线 右侧测量线 2020 1 24 14 电力电缆 2020 1 24 15 证明 反证法 设场中任一点有两个电位函数与均满足泊松方程则其差值必满足拉普拉斯方程 即 利用矢量恒等式 2020 1 24 16 证明唯一性定理图 对场域求体积分 并利用高斯散度定理 为体积的边界面 即 由于在无穷远处电位为零 因此有 2020 1 24 17 若导体边界为第一类边界条件 即 则式 1 右边也为零 即 得证 积分后 该式既满足场域 又满足边界 故 2020 1 24 18 若导体边界为第二类边界条件 即已知电荷面密度 则式 1 右边也为零 同上分析 必有证毕 由此 在场域V中各点 即也就是说有两个不同解都满足微分方程和边界条件的假设是不成立的 故唯一性定理得证 2020 1 24 19 1 5分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法 它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 一般情况下 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解 而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时 才可确定积分常数 得到边值问题的解 2020 1 24 20 1 5 1解题的一般步骤 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系 写出对应的边值问题 微分方程和边界条件 分离变量 将一个偏微分方程 分离成几个常微分方 解常微分方程 并叠加各特解得到通解 利用给定的边界条件确定积分常数 最终得到电位函数的解 2020 1 24 21 1 5 2应用实例 1 直角坐标系中的分离变量法 二维场 例1 9图示一无限长金属槽 其三壁接地 另一壁与三壁绝缘且保持电位为 金属槽截面为正方形 边长为a 试求金属槽内电位的分布 图1 40接地金属槽的截面 解 选定直角坐标系 D域内 1 边值问题 2020 1 24 22 2 分离变量 电位不随时间变化 静电场 条件 2020 1 24 23 代入式 1 有 设 称为分离常数 可以取值 上式两端对x求一阶导数 有 即为常数 同理也为常数 2020 1 24 24 根据可能的取值 可有6个常微分方程 2020 1 24 25 3 解微分方程 则X的通解为 2020 1 24 26 则X的通解为 设X sinhkx 设X coshkx 2020 1 24 27 设X sinkx 则X的通解为 将各特解线性叠加得通解 设X coskx 2020 1 24 28 4 利用给定边界条件确定积分常数 最终得到电位函数的解 边界条件 由边界条件 1 得 2020 1 24 29 即 由边界条件 3 得 2020 1 24 30 取 由边界条件 2 得 2020 1 24 31 由边界条件 4 得 2020 1 24 32 比较系数法 当n 1时 D域内 当n 1时 满足拉普拉斯方程的通解