半导体物理学3.doc

Chapter 9异质结器件(heterojunction devices)9.1 异质结的概念在电子工业中Si不是唯一使用的半导体。除了周期表中四族元素和它们的化合物（Si 、Ge、 C、 SiC和 SiGe）外，还有利用III族和V族合成的所有半导体，如GaAs、InP、GaxAl1-xAs等。此外，还能利用周期表中其它族元素制备半导体，如CdS和HgCdTe。Lattice parameterInGaAsPcompounds02133AlAsGaAsInPAlSbInAsGaSbAlPGeSi5.45.65.86.06.2GaPBandgap energy (eV)图9.1：Si、Ge和一些III-V半导体的能隙 表征这些材料电学性质的主要参数是能隙宽度。图9.1显示了Si、Ge和不同III-V化合物的带隙能。利用三元或四元化合物如 GaxAl1-xAs和GaxIn1-xAsyP1-y可以获得任意带隙能值。在制备材料的过程中通过修正系数x和y可以得到想要的带隙能。 由两种不同半导体构成的PN结称为异质结（heterojunction）。这种异质结最特殊的特征是P型和N型区域有不同的带隙。只包含一种半导体的结(如经典的Si PN结)称为同质结(homojunction)。9.1.1 能带图(energy band diagram) 与同质结相比，由于存在具有不同带隙能的两种材料，因此在异质结的能带图中很难引入附加能级。在单一器件中结合不同材料和裁剪能带形状去获得不可能获得的性质的技术通常称为能带工程(bandgap engineering)。metallurgicaljunctionx-x1 0 x2EVECqVi2VacuumqVi1VacuumEC2EF2EV2EC1EF1EV1qViq1Bq2Eg2q2q1Eg1q1EC2EF2EV2VacuumAEC1EF1EV1q1Semiconductor 1 semiconductor 2图9.2： A: 两种半导体材料分开时的能带图；B：两种材料连接成的异质结的能带图 考虑图9.2的例子，此图举例说明了异质结能带图是怎样画出来的。两种不同半导体材料被结合在一起。半导体1是P型，其能隙、功函数和电子亲和力分别为、和。功函数是真空能级和费米能级之间的能量差；它代表要将一个具有能量的电子从半导体中移出所需要的能量。电子亲和力是将导带中一个电子移到真空能级所需要的能量，与前面5.1.1节中解释的一样。类似地，我们设想半导体2是N型，其能隙、功函数和电子亲和力分别为、和。绘制能带图的步骤如下：1. 在平衡条件下，两种半导体中费米能级是相等的、不变的。远离结的地方，半导体材料是中性的，能带图类似于当两种材料分开时的情形。2. 在中性区域功函数和仍旧不变。这使我们能够画出远离结的区域的真空能级。3. 两种半导体材料的真空能级通过光滑的连续曲线连接。就目前而言，曲线的精确形状是未知的，后面将对其进行计算。但是，一个好的想法是假设它有类似于同质结转变区域中能带弯曲的形状。真空能级仅在转变区域范围内，即-x1和x2之间发生弯曲。4. 在结形成过程中，由于，电子从N型半导体向P型半导体扩散，空穴沿相反方向从P型半导体向N型半导体扩散。由此形成的电荷分布引起一个扩散区域、一个内部结电势，进而是能带弯曲。这一弯曲与真空能级弯曲平行。电子亲和力和在转变区域保持不变，这可以让我们画出转变区域中的、和。5. 最后，在冶金结合面(x=0)处，利用垂直线段把价带（和）和导带（和）能级连接。这一特征构成所谓的能带不连续性（band discontinuity）。结电势由下式给出： （9.1.1）其中和分别为半导体1和2能带弯曲度。由于和都与真空能级平行，所以冶金结合面处的能带不连续。这种不连续等于： (9.1.2) (9.1.3)两个能带的不连续之和等于两个半导体之间的能隙差异： (9.1.4)在转变区域中能带的精确弯曲度可以通过求解两个半导体中的泊松方程以及利用耗尽近似来获得。 半导体1 半导体2P型，掺杂浓度 N型，掺杂浓度介电常数 介电常数耗尽区域宽度 耗尽区域宽度对泊松方程积分，可计算出电场： 在冶金结合面() 处，利用高斯定理可得： （9.1.5） 这表示转变区域（）中的电中性。对泊松方程第二次积分可得到电势： 能带弯曲： 后面两个方程之和等于结电势 ： (9.1.6)在(9.1.5)和(9.1.6)之间消掉，我们可以获得半导体中内建电势： (9.1.7)从这个式子可以求出半导体1中的耗尽宽度： (9.1.8a)利用(9.1.5)和(9.1.8a)可以求出半导体2的耗尽宽度： (9.1.8b)知道了、和，就可以准确地画出能带的弯曲度。 当一个外部偏压施加于二极管，在P型半导体中处和在N型半导体中处分别注入的电子和空穴扩散电流密度由方程(4.4.23)（）和(4.424) （）给出，在异质结情形下变为： 和 其中和分别是半导体1和2的本征载流子浓度。利用耗尽区域边缘的比可以很好地证明异质结对扩散电流的影响： (9.1.9)其中、和分别是半导体1和2的导带和价带的有效态密度以及有效电子和空穴质量。从方程(9.1.9)能得出一个重要结论：在PN异质结中电子电流和空穴电流之比指数地正比于两种半导体能隙的差异。9.2 异质结双极性晶体管（heterojunction bipolar transistor:HBT）发展异质结双极性晶体管(HBT)是为了克服传统双极性晶体管的局限性。在典型的同质结双极性晶体管中，必须降低基极宽度才能获得高速度（少数载流子通过基极的时间正比于基极宽度的平方方程(8.12.9)）。但是，如果基极宽度下降，基极电阻就会增大，这会使器件响应时间变慢。通过增大基极掺杂浓度可以降低基极电阻，但是又会增大基极中的Gummel 数，这会降低电流增益。因此，通过优化基极厚度(宽度)和掺杂浓度来获得高速、高增益和低电阻是不可能的。然而异质结的使用允许同时提高输运时间、电流增益和基极电阻。在一个PN异质结中，电子和空穴浓度的比值基本上取决于在N和P型区域之间杂质掺杂浓度之比(式(8.1.1)。 这就是为什么在双极性晶体管的发射极中使用一个比基极中大的很多的掺杂浓度。这确保发射极电流比基极电流大很多，结果是发射极效率和电流增益很大。qVaelectronsEC1EF1EV1EC2EF2EV2Emitter BaseEC1EF1EV1EC2EF2EV2Emitter BaseholesAB 图9.3： HBT中发射极基极结中的能带图。A: 平衡情形；B：偏压情形。用一个异质结做发射极基极结可以完全地改变电子和空穴电流比。我们考虑图9.3中的例子，其中较宽带隙材料用于N型发射极，较小带隙半导体用于制作P型基极。很容易观察到，当在这个结上施加前偏压时，空穴必须克服一个比电子更高的势垒。结果是注入发射极的空穴电流比注入基极的电子电流小很多，即使基极中掺杂浓度比发射极掺杂浓度更高。利用载流子注入的不对称性可获得高增益。双极性器件的发射极效率由式(8.6.33)给出： NPN HBT为值非常接近1，因为在发射极基极异质结中，同关系式(9.1.9)证明的一样。对这种器件使用Si和SiGe很流行。在这种情况下，普遍使用以下结构： 发射极： N型Si(能隙1.12eV) 基极： P型Si(80%)和Ge(20%)合金(能隙0.87eV) 收集极： N型Si(能隙1.12eV)晶体管电流增益直接正比于发射极效率。对于发射极异质结，利用方程(9.1.9)可得： 其中。利用异质结，即使基极中掺杂浓度高，也能获得高电流增益。使用一个薄的高掺杂基极满足低的电子输运时间和低的基极电阻。这允许薄的基极HBT的设计，它具有极好的高频性能。9.2 高电子迁移率晶体管(HEMT: high electron mobility transistor )首写字母HEMT代表High Electron Mobility Transistor。有时这种器件也称为调制掺杂场效应晶体管(MODFET: Modulation-doped field-effect transisitor)。HEMT通常在III-V半导体衬底如GaAs和InP上实现。轻掺杂GaAs的电子迁移率非常高，在温度为300K、77K和4.2K时，迁移率大小分别为8000、200000和1500000 cm2/Vs。与Si MOSFET 的沟道中电子表面迁移率(为650 cm2/Vs)相比，这些数值是不可想象的。但是，如果GaAs中杂质掺杂浓度增大，由于杂质散射，电子迁移率会显著下降。半导体中电子漂移电流由，因此对一个给定的电场，电流既正比于电子浓度也正比于电子迁移率。HEMT的操作十分类似于JFET的操作。在这两种器件中电流流过源和漏之间的沟道，沟道中载流子数目由门电压调制。JFET中可以通过增大沟道中掺杂浓度来增大电流。不幸的是，掺杂浓度的任何增大会导致迁移率下降，这变成了一种交换：高迁移率和高载流子浓度不可能同时获得。异质结结构的使用则允许我们绕开在轻掺杂材料(这种材料可确保高迁移率)中获得高电子浓度的问题。这种结构的能带图显示在图9.4中。 当N+ AlGaAs/PGaAs异质结被使用时，可以获得一个特殊的能带图，即在PGaAs中存在一个导带位于费米能级之下的区域。这一区域包含很高的电子浓度，并位于迁移率很高的轻掺杂材料之中。这一区域非常薄，只有510nm，因此具有二维特征，类似于MOSFET中的反转层。由于具有很小的厚度，这一电子层称为二维电子气(Two-Dimensional Electron Gas: 2DEG)。2DEGECEFEVN+ AlGaAs P GaAs图9.4： 在N+ AlGaAs /P GaAs异质结中二维电子气的形成在2DEG中电子浓度可通过在异质结上施加偏压来调节，同显示在图9.5中一样。y xqVGqVGEFnEFnECECECN+ AlGaAs P GaAsN+ AlGaAs P GaAsN+ AlGaAs P GaAsECECECEFEFpEFpABC图9.5： 在2DEG中电子浓度的调节。顶部的轴显示x从N+ AlGaAs到P GaAs为正方向，而y是指向纸外(从源到漏)A: VG=0；B：VG0；C: VG0施加于N+ AlGaAs材料，异质结就处于反偏压，2DEG区域中EC进一步下降到EF之下，这使电子浓度增大。相反，如果负偏压VG0施加于N+ AlGaAs材料，异质结就处于正偏压，2DEG区域中EC进一步升高，导致电子浓度下降。如果偏压是足够的负，2DEG最终会消失（见图9.5）。 HEMT的剖面图显示于图9.6。2DEG在N+源和漏之间形成一个沟道。与N+ AlGaAs的一个金属肖特基接触形成门电极。门电压的应用改变异质结偏压，进而调节2DEG沟道中的电子浓度。注意在 AlGaAs层中也有一个寄生的MESFET结构，其电导率通过肖特基门电势的变化来调节。然而完整器件的输出特征与HEMT和寄生MESFET的输出有相似关系。HEMT是最快速的固态晶体管之一，这归功于沟道中高的乘积。yxmetal gateN+ AlGaAsN sourceP+ drain2DEGp-GaAs图9.6： HEMT的剖面图。虚线范围表示寄生的MESFET。9.3 光电子器件(photonic devices) 当直接带隙半导体中发生复合事件时，能够发射一个光子。这一现象称为辐射复合。按照关系式，光子波长取决于半导体带隙能。在许多半导体材料如SiC、GaAsP、GaN、AlInGaP和AlGaAs中可以观察到辐射复合。此外，半导体化合物的带隙能可以裁剪，以便获得能发射特别希望的颜色的器件。有各种各样的能发射和收集光子的固态器件，但是在这里我们仅仅关注激光二极管(laser diode)。但是，在开始研究激光二极管之前有必要理解发光二极管(light emitting diode: LED)的工作原理。9.3 发光二极管(LED: light emitting diode) 发光二极管或LED就是由半导体材料构成的一个简单的PN结，它展现出辐射复合性质。这种PN结可以是一个异质结，也可以是一个同质结。按照公式，半导体材料的能隙决定了发射光的频率。下面列举了一些用来制备LED的半导体材料以及发射光的颜色：GaN (蓝光)、SiC(蓝光)、GaP(绿光)、GaAs0.14P0.86(黄光)、GaAs0.35P0.65(橙光)、GaAs0.6P0.4(红光)和GaAs(红外光)。在这一节我们主要集中考虑同质结LED的工作原理。图9.7说明了一个处于前偏压模式的同质结(单一能隙)PN。通过注入P型材料的电子的辐射复合产生光发射。由于，所以电子电流比空穴电流大的多。当PN结施加前偏压时电子注入。EFPP型qVaEVEFNholeselectronsN 型EC图9.7: 发光二极管的工作原理注入效率使有用的载流子(注入到P型区域的电子)电流与结中总电流存在如下关系： 其中注入P型区域的电子电流，注入N型区域的空穴电流，是以非辐射方式复合的载流子电流。通常地，值达到3060。与第3.2节提及的一样，辐射复合必须满足动量守恒。这一条件在直接带隙半导体中自动满足，因为其导带最小值处的电子动量等于价带最大值处空穴动量。但是，在间接带隙半导体如GaP和SiC中能观察到光发射。在这些半导体中发生辐射复合的唯一方式是由这种相互作用来产生一个粒子或行为类似一个粒子的一些东西，这种粒子能耗尽初始的电子动量。幸运的是存在一种合适的粒子，它是晶格点阵中的一个振动能量量子，称为声子。声子向晶格传递热量或从晶格传出热量，其作用是降低电子动量，从而使辐射复合称为可能。这种相互作用就是导带中一个电子与价带中一个空穴复合，既产生一个光子也产生一个声子。这个光子和这个声子的结合能等于，初始电子动量和这个声子动量之和等于零。这一过程更加复杂，因此与直接带隙半导体的辐射复合相比更不可能发生。结果是，间接带隙LED的性能直接带隙LED更低。但是间接带隙器件的发光强度实际上已经可以通过使用下面的诀窍来提高。这种诀窍就是加入一等电子杂质(isoelectronic impurity)，也就是这种杂质与它要替代的元素处在周期表的同一栏中。例如GaP中的N，用GaP:N表示。每一个N原子在晶格中产生一个能够俘获一个电子的局部应变。这些电子被紧紧地束缚于这些陷阱，同束缚于它们的位置相比有一小的不确定度。但是按照海森堡测不准原理，它们的动量有很大的统计不确定度。这种不确定度对于每一个电子是足够大，以致具有零动量和经历辐射复合的几率相当大。这种量子力学窍门引起辐射复合率，但直至今天，这种辐射复合率还不足以与直接带隙半导体中辐射复合率竞争。9.3.2 激光二极管(laser diode) 激光二极管是一个能够发射激光束的PN结。激光是相干的(也就是发射的所有光子具有相同位相)和单色的(也就是发射的所有光子具有相同波长)。详细描述激光是如何工作超出了本书的范畴。但是，简要地描述产生激光发射所需要的条件是必要的。单词“laser”的意思是由辐射激发的发射引起的光放大。这一定义中的关键词是激发发射(stimulated emission)。激发发射是属于与产生和复合同类的现象，但是这种现象中一个具有能量的入射光子会触发一个激发电子（在半导体激光器中为导带中的电子）的复合。在复合事件过程中发射一个新的光子。这个光子具有与入射光子相同的波长和相同的位相。这就是为什么激光是单色性的(所有光子有相同波长，这是由能隙确定的)。当然光子的产生能够被重复，原始光子按照2、4、8等放大(同图9.8显示一样)，导致一个光放大效应。如果两个能反射光的镜面放置在半导体晶体的两边，光就能够在晶体中来回地传送，经历显著的放大。实际上，两个镜面之一是半透明的，因此一些激光能够从晶体中逃逸。不能垂直传送到镜面的发射光子留在半导体中而被损失掉(图9.8)。ECEVfundamental stateexcited statehv=Eghv=Eghv=EgAmirrormirror B图9.8： A: 激发发射的原理，B: 激发发射引起的光放大 具有能量的光子不仅可以激发另一个光子的发射，而且也能被半导体材料吸收，产生一个电子空穴对。由于不想看到光子被吸收，所以不希望激光二极管中出现这种效应。不幸的是，光子吸收是不可避免的。但是，使激发发射相比吸收更有利是可能。如果处于激发态的电子(导带电子)数目大于处于基态的电子(价带电子)数目，就可以达到激发发射比吸收更有优势。这一条件称为粒子数反转(population inversion)。如果一个外部能量源将大量的电子从基态泵浦到激发态，就可以实现粒子数反转。在激光二极管中粒子数反转可以通过注入大量电子到一个PN结来实现。 图9.9显示了激光PN同质结。N型和P型区域是简并掺杂，在N型和P型材料中费米能级分别处于导带最小值之上和价带最大值之下。当在结上施加前偏压时，形成一个粒子数反转的薄的区域，而不是耗尽区域。在这一区域中导带有非常大的电子数目，价带中有非常高的空态(空穴)密度。在这些条件下激光是在转变区域通过激发发射产生。EFpEFnEVECregion with population inversionBAEFECEVP typeN type图9.9: 激光PN结。A: 平衡状态；B: 施加偏压。 图9.10显示了一个完整的激光二极管。两个平行的半透明镜面是将半导体沿自然晶向(如(100)劈开得到。由于半导体材料的折射率(refractive index)比周围空气的折射率大，被劈开的表面作为镜面将光反射回晶体中。这些镜面达不到100反射，而是允许一些激光从器件发射出去。Photons bouncing backand forth in the crystal“leaky” mirrorlaser beam“leaky” mirrorIactive regionP typeN type 图9.10： 前偏压模式下的激光二极管显示出在粒子数反转的转变区域内的光子路径。 激光二极管的光输出功率作为注入二极管的电流的函数显示于图9.11。在给定阈值之下，达不到粒子数反转，但是因为辐射复合，所以有光发射。这种光是非相干光，类似于LED发射的光。在阈值之上，发生粒子数反转并发射激光。光的强度作为二极管中电流的函数随后急剧增大。由于Fabry-Perot 腔，发射光谱被压缩成单一谱线。因此发射的激光是单色的。除在粒子数反转区域中由激发发射引起的电子的有用复合之外，大量电子被注入到P型半导体，在P型半导体中它们也复合，也发射光子（只是这些光子不参与激光发射过程）或声子(热能)。这表示同质结激光二极管完全无效，提供给器件的电功率只有少部分转换成激光。Light intensityCurrent in the diode“LED”laser图9.11： 非相干光(LED)和相干光(Laser)的发射是电流强度的函数Region of population inversionP-typeGaAsEFnECEVEFpN-typeAlGaAsN-typeAlGaAs EC图9.12： AlGaAs/GaAs/AlGaAs异质结激光二极管利用异质结可以解决这个问题。我们以AlGaAs/GaAs/AlGaAs异质结激光器为例(见图9.12)：在前偏压下，导带中的电子从N型AlGaAs注入到P型GaAs，这些电子不能溢出由P- GaAs/N- AlGaAs结产生的势垒EC。因此这些电子被限制在GaAs层，在这一层中产生粒子数反转，进而是激光发射。此外，AlGaAs的折射率低于GaAs，使这些结可以作为镜面。这有利于将光子限制在GaAs层，进而限制了光漏进AlGaAs层。结果是激光发射效率大大提高，产生激光发射所需的电流阈值降低。Chapter 10 量子效应器件(quantum effect device)10.1 隧道二极管(Tunnel diode)10.1.1 隧道效应(Tunnel effect)隧道二极管是L.Esaki于1958年发明的，他因解释了器件的工作原理获得了Nobel奖。在这一节中我们将简要地描述隧道效应潜在的物理本质，然后解释一个隧道二极管是如何工作的。电子隧穿通过一个势垒是量子力学预言的一种效应。量子力学给出一个电子通过一个势垒的有限几率，这与具有比垒的势能更高能量的电子通过势垒是相反的。为了说明这种效应，我们取一个无限深势阱，在其中引入一个有限势垒(见图10.1A)。在这个势阱中一个电子的波函数利用数值模拟能够被计算出来。我们将注意力集中在最低或基态能级。在无势垒的情况下，利用方程1.1.11可以得到电子的最低能量：。对于50 nm的阱宽，对应的最低能量值近似为0.15meV。我们在势阱中引入一个高度为40mV、宽度为2nm的势垒。按照经典力学，限制在势阱左边的电子不会拥有足够大能量，以克服这个40mV势垒而进入阱的右边部分。另一方面，如果利用量子力学计算，可以发现在势垒右边找到这个电子的几率不为零(见图10.1B)。2 nmV=40 mVpotentialA50 nm0 10 20 30 40 50 Distance, x(nm)Amplitude of wave function (arb.units)0.150.100.050B图10.1： A：内部具有势垒的无限深势阱；B: 对应最低能量波函数。从更普通意义上讲，通过势垒的隧穿可以用透射系数(transmission coefficient)表示。透射系数代表一个电子通过势垒的几率。透射系数的值取决于势垒的形状(如矩形、三角形等)、宽度和高度。势垒越薄越低，透射系数越高。在矩形势垒(rectangular)这一特殊情况下，透射系数T由下式给出： 其中和分别为势垒的宽度和高度，为电子能量()。10.1.2 隧道二极管(Tunnel diode)隧道二极管是一个PN结，其中P型和N型区域为简并掺杂。结果是N型材料中费米能级在导带最小值(导带底)之上，P型材料中费米能级在价带最大值(价带顶)之下。掺杂浓度非常高以致结中空间电荷区域的宽度十分窄(方程(4.2.12)，通常小于10 nm。与任何PN结一样，空间电荷区域的存在引起一个势垒。这个势垒高度用表示，按照方程(4.2.9)势垒高度是掺杂浓度的函数。势垒阻止电子从N型区域向P型材料的扩散，反之亦然。由于掺杂水平，相当大，但是势垒宽度非常小(小于10 nm)。要让电子隧穿通过势垒，必须满足一定条件：(1) 电子能量必须守恒。按照能带图的说明，这一条件意味着从N型区域隧穿进入P型区域的电子沿水平轨道行进(见图10.2B)。(2) 结中发射电子的一边必须有占据态。(3) 结中接受电子的一边必须有空的允许占据态。由于条件(1)，这些态必须具有与条件(2)定义的态有相同能量。(4) 为了实现隧穿，势垒高度必须足够低，势垒宽度足够小。Empty stateqVaEFNEFPEVEC B XP NqVjqpqpEFEVEC AXEFNEFPEVEC CXqVa图10.2： 不同前偏压下的能带图。A: 施加偏压；B: 最大隧穿电流；C: 隧穿电流消失。阴影区域表示被电子填充的态。是内部结电势，是外加电压。从N型导带流进P型价带的电子电流由下式给出： (10.1.1)其中A是二极管面积，和分别是N型导带和P型价带中的狄拉克费米分布函数，和分别为导带和价带态密度，是一个电子隧穿几率。这一几率主要取决于势垒宽度，与电子的行进方向(左至右或右至左)无关。电流的正号归于电子携带的是负电荷以及在负方向流动(见图10.2)。归功于电子从N型导带向P型价带流动形成的电流等于： (10.1.2)将(10.1.1)和(10.1.2)相加得到总电流： (10.1.3)PEVEC XNVIVa=0AVaVINPVaEVEC XPVaEVEC BXNVaVIBCVaECEVPNVaVID图10.3： 隧道二极管的能带图和I-V特性。A: Va=0；B: 隧穿电流达到最大；C: 谷电流(隧穿消失)；D: 正常PN结扩散电流。隧穿电流的计算相当复杂。我们只利用图10.2的能带图定性地描述所发生的事情。A: 施加零偏压。在此情形下，由于费米能级是唯一的，所以和相等，按照方程(10.1.3)隧道电流等于零（见图10.3.A）。B: 如果施加前偏压Va，N型区域的准费米能级和能带相对于P型区域向上移动。结果是P型边价带中有空态，这些空态与N边导带中的占据态有相同能量。这一条件说明产生隧穿电流。这一电流随前偏压Va增大而增大，直到达到最大。当N型导带中具有与P型边价带中有空态相同能量的态数目达到最大时，电流出现最大值(图10.3.B)。C: 如果施加的前偏压Va进一步增大，与被占据导带态具有相同能量的空价带态数目下降，直至隧穿电流最终消失。当隧穿消失时，I-V特性曲线达到谷点(图10.3.C)。D: 除了带带隧穿电流，一正常PN结电流流过二极管。当前偏压增大时，同正常PN结二极管一样，电流再次增大(图10.3.D)。在峰和谷之间的曲线部分中，隧道二极管有负电阻特征()。10.2 低维器件(low-dimension devices)在低维器件中，电子不再是在三维晶体中运动，但是它们限制在二维、一维和零维空间。这可通过器件制备实现，这些器件中载流子限制在薄的晶体如量子线(quantum wire)或低维势阱如量子阱(quantum well)器件。三维晶体情形下，能带中允许态的密度是能量的平方根的函数，这在1.1.8节中已经证明，同时显示于图10.4。 Density of stateValence bandConduction bandECEV Energy Bandgap图10.4： 3D半导体中带隙附近的导带和价带态密度。 在低维结构中，能带特别是允许态密度完全不同于3D晶体(图10.5)。在零维(0D)晶体中(量子点：quantum dot)，允许能级是分立的。在一维(1D)晶体(量子线：quantum wire)中，允许能级也是分立的，但是量子化能级之间趋于展开。在二维(2D)晶体中，态密度是能量的阶梯函数。图10.6显示了与图10.5中态密度对应的不同形貌(3D、2D、1D和0D)。Density of statesEnergy0D2D1D3D图10.5： 零维(0D)、一维(1D)、二维(2D)和三维(3D)晶体的态密度。量子线量子点图10.6 量子点和量子线。10.2.1 能带能带的计算建立在时间无关的薛定谔方程之上： (10.2.1)如果，则上式可写成： (10.2.2)在1.1.3节中我们利用Kronig-Penney模型求解了这一方程。在三维晶体中，我们已经看到导带底附近电子能量作为k波矢的函数，是抛物型，其行为近似一个自由电子。这种情况下，晶体中的周期势变化可以忽略，故得： 上式的解为：，从这个式子可以得到其能量： (10.2.3) 对于3D样品，利用Born-von Karman 边界条件(方程(1.1.13)可以求出k波矢： 其中L为晶体单胞的尺寸(长度)，N是每一个空间方向的单胞数目。如果晶体是立方晶格且具有立方形状，晶体的每一维度等于NL，则可得： ， (10.2.4)对应每一允许k值的k空间单位体积为： (10.2.5)其中V是晶体体积。利用方程(1.1.31)我们获得允许波数的值： 其中N是晶胞数目（大约1022/cm3）。因此允许k值的数目非常巨大，可以认为k不是一离散的方式变化，而是以连续的方式变化。最后在三维晶体中得到能带： (10.2.6) 如果我们在z方向将晶体尺寸降到一个非常小的值c，我们就得到了二维晶体。z方向的波函数被限制在宽度c(等于样品厚度)的无限势阱。晶体中z方向的波函数是有限的，在势阱外边为0。利用分离变量方法，波函数可以写成两个波函数的积： (10.2.7)其中。在z方向电子在宽度c的无限势阱中的行为类似“盒子中的粒子(particle in a box)”。从（1.1.1.2）节可知，这个方程可以用如下方式求解： (10.2.8) 其解为： (10.2.9)利用晶体两边波函数消失的边界条件，即和，可得： (10.2.10)在z方向的能量值可以求出： (10.2.11)对于这一晶体中的电子，允许能级(本征能级)可以通过将z方向能级求和得到，对于能级为： 也可以写成： (10.2.12)其中。晶体体积为。在这一样品中对应每一允许k值的2D单位k空间体积为： (10.2.13)将为和函数的能级和z方向的波函数限制产生的一系列分立能级相加即得允许能量值。对于限制导致的分立能级，存在对应可能的和值的2D能带。这一能带称为能量子带（energy subband）(图10.7)。值得注意的是电子的最小能量(在三维情况下()等于零)等于(对)。ny=1 and nz2 orny=2 and nz1ny=1 and nz=1E12 or E21 E11E(k)kxBnz=2n1=1E2E1E(k)kykyA图10.7： 在(A)二维和(B)一维半导体中能量与波矢或波数的关系。取1D晶体的宽度和高度相等(b=c)，对每一样品显示出两个子带。在一维晶体中，样品的维度y和z非常小（见图10.7），晶体的宽度用b表示，高度用c表示。波函数在y和z方向受到限制。利用分离变量方法，波函数可写成两个波函数乘积。 (10.2.14)在受限方向的波函数对应宽度为b、高度为c的二维无限势阱的粒子波函数。利用薛定谔方程可以找到这个波函数： (10.2.15)其解为： (10.2.16)利用边界条件、和可得： (10.2.17)进而可得允许能级： (10.2.18) 因此，通过将x,y,z方向的能级求和可获得晶体中电子的允许能级：或 (10.2.19)其中。对应每一个允许k值的k空间中1D单位体积为： (10.2.20)因而将作为函数的能级(以连续方式变化)和在y和z方向波函数限制产生的一系列分立能级相加可得允许能量值。由于受限导致的分立能级是能量子带的极小值。在每一子带中其它能量值可以通过将和对应值的能量相加得到(图10.7B)。值得注意的是，在三维情形下电子的最小能量等于0(在方程(10.2.6)中，当时就是这种情况)，而一维情形()下电子最小能量等于。零维晶体中x，y和z三个方向都非常小。晶体的长、宽和高分别用a、b和c表示。x，y和z三个方向的波函数均受限。利用分立变量方法，波函数可以写成三个波函数的乘积： (10.2.21)通过求解三维势阱中的薛定谔方程可得波函数： (10.2.22)其解为： (10.2.23)利用下列边界条件：、和可得： (10.2.24)不同方向能量本征值为： (10.2.25) 其中常数G、H和I通过应用边界条件求出。将上面三个式子相加可得电子能量值： (10.2.26)在三维晶体势中允许能级是一系列由限制产生的分立能级。当时有最小能量值： 10.2.2 态密度(density of states : DOS)在三维晶体中，晶格单胞体积为L3，晶体体积为。对应每一允许态(也就是每一k值)的单位体积等于 (公式(10.2.5)。利用类似1.1.8节的方法，我们考虑k空间的一个球体，其中包含具有能量低于给定最大值的电子对应的所有波矢。由于泡利不相容原理，每一个波矢对应两个电子。因此电子数目可由下式给出： (10.2.27)单位体积V=1中： (10.2.28)上式使我们能把和电子浓度连续起来：。用定义态密度。对于态密度我们用符号，而不同，这是为了避免将电子数和态密度混淆。利用下列关系我们可以将和能量值联系起来： (10.2.29)最后可得到作为E的函数的态密度： (10.2.30)因此，在能带极值(如导带极小值)附近的态密度随能量的平方根变化。 在z方向受限的二维晶体中，二维晶格单胞体积等于L2，晶体体积等于。对应每一允许态(也就是每一k值)的单位体积等于(关系式10.2.13)。利用类似1.1.7节的方法，我们考虑k空间的一个圆，其中包含具有能量低于给定最大值的电子对应的所有波矢。由于泡利不相容原理，每一个波矢对应两个电子。因此电子数目可由下式给出： 单位体积V=1中： (10.2.31)上式使我们能把和电子浓度连续起来：。子带态密度定义为，我们可以得到： (10.2.32)因此，在能带极值(如导带极小值)附近的态密度是常数，与能量无关。但是必须考虑那里有几个子带。将不同子带中电子数目相加得到总电子数： (10.2.33)函数可定义为： 如果，则 如果，则 在一维晶体中，一维晶格单胞体积等于L，晶体体积等于。对应每一允许态(也就是每一k值)的单位体积等于(关系式10.2.20)。利用类似1.1.8节的方法，我们考虑k空间的一个线段，其中包含具有能量低于给定最大值的电子对应的所有波矢。线段的长度为。由于泡利不相容原理，每一个波矢对应两个电子。因此电子数目可由下式给出： 单位体积V=1中： (10.2.34)上式使我们能把和电子浓度连续起来：。子带态密度定义为，我们可以得到： 从而得 (10.2.35)其中在x方向是k的连续函数，在y和z方向是分立函数。因此，在能带极值(如导带极小值)附近的态密度是随能量平方根的倒数而变化，而能量平方根的倒数是k的函数。同样必须考虑那里有对应y和z方向离散化的几个子带。将不同子带中电子数目相加得到总电子数： (10.2.36)函数可定义为： 如果，则如果，则 1D2D3DEnergy above EC (meV)0(=EC) 1 2 3 4 56543210Density of state (cm-3 ev-1)图10.8和图10.9显示了具有特殊维度的1D、2D和3D样品的态密度。图10.8： 在1D、2D、3D Si晶体中作为能量函数的导带态密度。2D样品的高度等于20nm，1D样品的高度和宽度都等于20 nm。Energy above EC (meV)0(=EC) 1 2 3 4 56543210Density of state (cm-3 ev-1)图10.8： 在1D、2D、3D Si晶体中作为能量函数的导带态密度。2D样品的高度等于40nm，1D样品的高度和宽度都等于40 nm。10.2.3 1D半导体样品的电导EFREFLVa 考虑一维半导体样品。我们假设电子移动时与晶体晶格无相互作用。这样的电子称为弹道电子(ballistic electron)，在很短的MOS器件中可以找到这种电子。图10.12： 施加偏压的一维样品。当在1D半导体样品两端点间施加电势差Va，费米能级的差异出现在样品右和左之间（图10.12）。样品电流密度由下式给出： (10.2.37)其中为电子群速度，是电子浓度。如果施加偏压导致，则能量低于的电子对任何电流都没有贡献。对电流产生贡献的电子密度为： 其中是第n个子带的态密度。因子1/2说明仅仅一个电子运动方向(