近世代数教学大纲.doc

近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程，是大学数学的重要基础课程之一。它是现代数学的一个重要分支，其主要研究对象不是代数机构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。近世代数已成为进入现代数学的阶梯和基础，不仅在知识方面，而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用，它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域，如计算机科学、理论物理、理论化学等。设置本课程的目的：向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法，介绍现代数学的基础知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求，满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。学习本课程的要求：学生应了解近世代数的基本的概念和理论，掌握代数学研究代数结构的一般方法，注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。先修课程要求：集合论初步，线性代数，高等代数本课程学时：54学时选用教材：刘绍学、章璞编著，近世代数导引，高等教育出版社（2011）教学手段：课堂讲授为主，讨论、课外辅导为辅考核方法：考试教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学环节备注13集合；运算讲课与习题课相结合23群的定义与初步性质讲课与课堂讨论启发式33子群和相关性质讲课43置换群概念与主要性质讲课与课堂讨论结合启发式53陪集、指数和Lagrange定理讲课63群同态与同构的简单性质与例子 讲课73循环群的基本性质和分类讲课与课堂讨论结合启发式83同态的应用（*）；有限群（上）讲课与习题课相结合93有限群（下）与有限Abel群的结构讲课103群对集合的作用与简单应用讲课与课堂讨论结合启发式113环的基本概念与性质讲课123理想、商环和环同态讲课133一些特殊的环和理想讲课与课堂讨论结合启发式143中国剩余定理及其应用讲课153多项式环的定义与简单性质讲课与习题课相结合163环上的模简单介绍（*）讲课173素域，单扩域与代数扩域讲课183有限次扩域；复习迎考讲课与习题课相结合注：1、注意章节之间的相互联系，每章内容在全教材中所处的地位及作用。2、在概念的讲授中，应注意由特殊到一般，由具体到抽象。教学的初始阶段，宜慢不宜快。 3、不拘泥于教材，同时编写课程讲义。 4、时刻把握学生的接受能力。 5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。 主要教学内容与重难点：第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。二、课程内容11集合12运算映射的定义，单射，满射，双射（一一映射）；变换的定义，单射变换，满射变换，双射变换。代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。运算律的定义，结合律，交换律，分配律的定义。三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1.同态与同构的概念以及基本性质。2.等价关系概念的理解。3.等价关系和集合分类之间的“一一对应”关系。（二）教学手段 课堂讲授与习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第二章群一、学习目的通过本章的学习，熟练掌握群和子群的定义和初步性质，群中元素阶的定义和一些基本的结论，能够掌握一些特殊的群，如循环群、变换群、置换群的定义和性质。理解陪集和指数的概念，并能运用Lagrange定理解决一些简单的问题。理解并把握正规子群的性质和重要性，能够熟练掌握群论中最基本最重要的一些结果，如群的同态基本定理、群的同构定理。了解有限群分类和有限Abel群的结构定理和Sylow定理，理解群作用的相关性质和简单应用。二、课程内容2.1群的定义一般群的几种等价定义。单位元、逆元的概念，掌握群的基本性质，以及对于有限群的特殊定义。2.2子群子群的定义，子群的一些简单的性质，一个集合作成一个子群的几个等价命题，另外对于有限集合来说判定是子群的等价条件。能够利用上述的等价条件判定一个非空集合是否作成一个群的子群。23置换群掌握置换群、k循环、对换的概念，能够将一个置换写成不相连的循环的乘积，并会计算一个置换的逆。2.4 陪集和商群理解陪集、指数的概念，熟练掌握陪集的性质。掌握Lagrange定理并能应用它解决一些实际问题。2.5同构与同态群同态（同构）下单位元、逆元的对应关系，子群的对应关系定理。群同态基本定理的内容和证明，以及由同态基本定理得出的一些结论。群的三个同构定理内容及证明。2.6循环群循环群作为一类已经被完全搞清楚的群，要掌握它的定义和它的简单性质。另外在同构意义下循环群只有两类。能判定循环群的的生成元的个数，包括有限循环群和无限循环群。2.7同态的应用（*）群同态同构定理的一些应用，涉及到变换群的子群，自由Abel群的商群和群的内自同构群等内容。2.8有限群类方程与对称群的共轭类，Cauchy定理与Sylow定理的证明。 2.9有限Abel群的结构（*）Abel群的直和的定义与性质，有限Abel群的结构定理的证明。2.10群对集合的作用群对集合的作用，G-集，轨道公式，以及一些简单的应用，包括对于二面体群的一些讨论。2.11应用举例（*）群作用的应用举例，包括Burnside引理和项链问题。2.12群与对称（*）利用群来刻画对称性，既深刻又容易操作。三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1.几种特殊的群类的定义与性质。2. Lagrange定理的证明与实际应用。3.群的同态基本定理的证明和简单应用。4、群作用性质与Sylow定理的证明。（二）教学手段课堂讲授与课堂讨论、习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第三章环一、学习目的环、域是相对与群来说较复杂的代数系统，是抽象代数研究的主要内容之一。通过对本章的学习，我们要熟练掌握环与域的定义和初步性质，以及子环、理想、环同态基本定理和一些常见的重要的环与域。二、课程内容3.1基本概念环、子环的定义和它们的一些简单性质。无零因子环的性质，除环与域的定义与简单性质。3.2理想、商环和环同态环的理想的定义，理想的构造；环同态基本定理及其简单的应用举例。3.3特殊的环和理想极大理想与素理想，两者之间的关系；环的直和，整环商域的构造以及无零因子环的一些性质介绍。3.4中国剩余定理及其应用介绍整数版的中国剩余定理，环论版的中国剩余定理以及欧拉函数的确定。3.5多项式环介绍一类具体的环多项式环的简单性质。多项式环中的带余除法；欧几里得环；唯一分解整环的一些性质。3.6环上的模（*）环上模的定义和简单性质介绍。三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1.环的概念和环的基本性质，环的零因子、特征。2.环同态与同构基本性质，环同态基本定理。3.环的特殊理想，特别是极大理想和素理想 4.中国剩余定理的证明和简单应用。（二）教学手段课堂讲授与讨论课、习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第四章域一、学习目的域是许多数学分支（如代数、代数数论、代数几何等）研究的基础，因为域只有平凡理想，因此不能象环一样通过它的理想来研究。本章我们通过域的扩张对域进行研究，主要有单扩域、代数扩域、分裂域和有限域。通过这一章的学习我们要了解上述几种扩域的一些基本的性质，并要求领会研究域的最基本的方法扩张。二、课程内容4.1域的扩张介绍素域、有限扩域、域扩张的构造以及单扩域的Galois群等关于域扩张的基本内容。4.2分裂域介绍分裂域的存在性定理、可分多项式、同构延拓定理及其相关的应用，此外介绍了代数闭域的概念和简单性质。4.3有限域有限域的结构性定理和相关的构造性举例。4.4可分与正规扩张（*）分别介绍了可分元与可分扩张，有限可分扩张的性质，添加可分元的扩张以及正规扩张和Galois扩张等内容。4.5尺规作图问题（*）尺规作图问题的介绍。三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1.扩域与素域的概念和它们的简单性质。2.几类扩域单扩域、代数扩域、分裂域的性质。3.了解和掌握代数中研究域的方法扩张。（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）主要参考文献：1、吴品三著，近世代数，高等教育出版社，