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白土中学 徐世富 面积法在初中几何问题中的相关应用 面积法是捷达几何问题的常见方法，它一般是利用等级变换把几何问题中的线段关系或量与量之间关系转化成面积关系来解决的一种方法。它可以把问题简单化，使学生在学习时易理解、易掌握，对开发学生智力，提高学生学习兴趣具有一定的积极意义。下面列举出一些初中几何中的相关问题进行说明面积法的应用。 例1. 如图所示，在直角三角形ABC中，C=90度，两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P，它到各边的距离相等，问这个距离是多少？分析：要想直接计算，需找出表示这个相等距离的线段，由角平 分线的性质可知，点P应是三角形ABC各角平分线的交点，再由面积关系列方程求解。设P点到三边的距离为X，连接PA、PB、PC 。在直角三角形 A ABC中，AC=6，BC=8。 E AB=AC+BC=6+8=36+64=100 D D OOOAB=10 C F B ABC=PAB+PAC+ PBC 1/268=1/210X=1/28X即 48 = 10X + 6 X + 8X 解之得X=2例2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.P是AD上的一动点，PEAC于点E，PFBD于点E，求PE+PF的值。 分析：分别求出PE、PF比较困难，若从面积考虑，连结OP,分别把PE、PF看成AOP和DOP的高，再过点A作 AGBD于点G.利用AOB=AOD=AOP+DOP这层关系便可得AG=PE+PF,再利用BDAG=ABAD计算出AD的长，这样解答就非常简便。 通过以上两个例子不难发现，用面积法解题是以面积公式为基础，以|“等低等高的三角形面积相等”和“等底(或高）的两个三角形的面积之比等于对应高（或底）之比”等相关定理为依据建立关系式求解，所以，利用面积法解答几何题，往往需要借助相等线段或成比例线段。 例3。在ABC中，AM是中线，点M到BA、CA两边的距离分别是3和4。求AB:AC的值 A B 分析：由AM是中线可知，AMB=AMC, E M 根据这个等量关系，很容易得到AB:AC的值。 C 解：AM是ABC的中线 ABM=ACM 1/2ABDM=1/2ACEM即ABDM=ACEM又DM=3,EM=4AB:AC=3:4例4。如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8,DB=6,DHAB于点H。 求DH的长。 A C H B 分析：由已知的对角线AC、DB的长可得菱形ABCD的面积，而菱形是特殊的平行四边形,平行四边形的面积公式对菱形同样适用。 因此可得1/2ACBD=ABDH.利用勾股定理求出AB后,便可求出DH。解：在菱形ABCD中，对角线AC=8,DB=6. 菱形ABCD=1/2ACBD=1/286
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