2019届高考数学复习统计与统计案例11.3变量间的相关关系统计案例学案.docx

11.3变量间的相关关系、统计案例最新考纲考情考向分析1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.1两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回归方程方程 x 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数3回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心(3)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当rR；x，y之间不能建立线性回归方程答案解析在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故正确；由散点图知用y拟合比用 x 拟合效果要好，则RR，故正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关(2)相关系数：r0时，正相关；r0时，正相关； 0时，负相关题型二线性回归分析典例 (2016全国)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程 t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得4，(ti)228, 0.55.(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，所以r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)得 0.103， 1.3310.10340.92.所以y关于t的回归方程为 0.920.10t.将2016年对应的t9代入回归方程得 0.920.1091.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程利用公式，求出回归系数，.待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强跟踪训练 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程，由于 68， 563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为 100.668w，因此y关于x的回归方程为 100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值 100.668576.6，年利润z的预报值 576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值 0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时， 取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大题型三独立性检验典例 (2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2.解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”由题意知，P(A)P(BC)P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.660.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为5052.35 (kg)思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大通过计算|adbc|的大小判断：|adbc|越大，两变量有关联的可能性越大(2)独立性检验的一般步骤根据样本数据制成22列联表根据公式K2计算K2的观测值k.比较k与临界值的大小关系，作统计推断跟踪训练 (2017石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有是青年人(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出22列联表：青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计(2)根据22列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：K2.P(K2k0)0.0100.001k06.63510.828解(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180(人)经常使用微信的有18060120(人)，其中青年人有12080(人)，使用微信的人中青年人有18075%135(人)，故22列联表如下：青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常使用微信55560合计13545180(2)将列联表中数据代入公式可得：K213.333，由于13.33310.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”求线性回归方程的方法技巧典例 (12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20062008201020122014需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程x；(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2018年的粮食需求量思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程规范解答解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表年份201042024需求257211101929对处理的数据，容易算得0，3.2，4分6.5， 3.2.6分由上述计算结果，知所求线性回归方程为2576.5(x2010)3.2，即6.5(x2010)260.2.8分(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2018年的粮食需求量大约为6.5(20182010)260.26.58260.2312.2(万吨)12分1根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到的线性回归方程为 x ，则()A. 0， 0 B. 0， 0C. 0 D. 0， 0答案B解析根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以 0，故选B.2(2017江西南城一中、高安中学等九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2，得K29.616.参照下表，P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828正确的结论是()A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案C解析K29.6166.635，有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.3对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i1,2，8)，其线性回归方程是 x ，且x1x2x3x82(y1y2y3y8)6，则实数 的值是()A. B. C. D.答案B解析依题意可知样本点的中心为，则 ，解得 .4(2017山东)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A160 B163 C166 D170答案C解析xi225，xi22.5.yi1 600，yi160.又 4， 160422.570.线性回归方程为 4x70.将x24代入上式，得 42470166.故选C.5(2018湖南永州模拟)已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得的线性回归方程为 x .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()A. b， a B. b， aC. a D. b， a答案C解析由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y2x2，b2，a2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得 ， ，所以 a.6某地2009年至2015年中，每年的人口总数y(单位：万)的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t0123456人口总数y888991011若t与y之间具有线性相关关系，则其回归直线 t 一定过点()A(3,9) B(9,3)C(6,14) D(4,11)答案A解析(0123456)3，(888991011)9，所以回归直线 t 一定过点(3,9)7(2017遵义联考)某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出m与年销售额t(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：年广告支出m24568年销售额t3040p5070经测算，年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程 6.5m17.5，则p_.答案60解析由于回归直线过样本点的中心，5，代入 6.5m17.5，解得p60.8以下四个命题，其中正确的序号是_从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在线性回归方程 0.2x12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.2个单位；对分类变量X与Y的统计量K2来说，K2越小，“X与Y有关系”的把握程度越大答案解析是系统抽样；对于，统计量K2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小9为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示22列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k4.844，则有_的把握认为选修文科与性别有关答案95%解析由题意，K24.844，因为5.0244.8443.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关10(2017武邑模拟)对具有线性相关关系的变量x，y有10组观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，其线性回归方程为 32x，若xi17，则yi_.答案4解析依题意1.7，而直线 32x一定经过(，)，32321.70.4，yi0.4104.11某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的线性回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解(1)由所给数据计算得(1234567)4，(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，(ti)2941014928，(ti)(yi)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，0.5，4.30.542.3，所求线性回归方程为0.5t2.3.(2)由(1)知， 0.50，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2018年的年份代号t10代入(1)中的线性回归方程，得 0.5102.37.3，故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元12(2017西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：月收入(单位：百元)15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面22列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者赞成定价者总计附：K2.P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“赞成定价者”的月平均收入为x150.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x238.75，“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元)(2)根据条件可得22列联表如下：月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者32932赞成定价者71118总计104050K26.2723.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异(2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁及45岁以上的应抽2人则8人中随机抽2人共有C28种抽法，至少有1人是45岁及