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参考答案及评分标准 高等数学（上）一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果函数的定义域为，则的定义域为（3分） 2已知，而且，则4 （3分） 3已知，则1 （3分） 4曲线在点处的切线方程是 （3分） 5函数的间断点个数为 2 （3分） 6如果在处连续，则1 （3分）7函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林展式为：（3分） 8函数，则在区间上满 足拉格朗日中值公式的=（3分） 9定积分的值为（3分） 10设，则=（3分） 二计算题（要求有计算过程，每小题5分，共40分）11求极限（5分）解：-（3分） -（5分）12.求极限 （5分）解：-（5分）13求极限（5分） 解：-（5分）14设，求（5分）解：-（2分）-（5分）15求由方程所确定的隐函数的导数（5分）解：方程两边求关于的导数 ； -（3分）所以有 = 解得 -（5分） 16求由参数方程 所确定的函数的二阶导数（5分） 解：-（2分）-（5分） 17求不定积分（5分） 解：-（1分）=-（3分）=-（5分） 18求定积分（5分）解：令-（1分） -（2分） -（5分）三综合题（6分+10分=16分）19讨论广义积分的敛散性（6分） 解：-（1分） 当时 -（3分） 当时 -（4分） 所以广义积分当时发散，当时收敛。-（6分）20求函数的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点（10分） 解：函数的定义域为令，得驻点-（1分） 当时，函数单调增加，当时，函数单调减少， 所以函数的单调增加区间为，单调减少区间为和-（4分） 为函数的极小值点-（5分） 令，得-（6分） 当或时，曲线为凹的，当时， 曲线为凸的， 所以曲线的凹区间为 和，凸区间为-（8分）曲线的拐点为（-1，0）-（10分）四、证明题（6分）21证明当时，证明：令，则在区间上连续，在区间内可导，由拉格朗日中值定理有：-（2分）因为，所以有：-（3分）因为，所以， -（4分）又，所以即：-（6分）五应用题（8分）22求由曲线与直线所围成的平面图形面积及这个平面图形绕轴旋转所成旋转体体积解：曲线与的交点为（0，1），曲线与和直线的交点分别为（1，）和（1，）,所围平面图形如图阴影部分，取为积分变量，其
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