《点集拓扑学》第7章 §7.3 n维欧氏空间 中的紧致子集.doc

7.3n维欧氏空间中的紧致子集定义7.3.1设（X，）是一个度量空间，AX如果存在实数M0使得（x，y）M对于所有x，yA成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，）是一个有界度量空间定理7.3.1紧致度量空间是有界的证明设（X，）是一个紧致度量空间由球形邻域构成的集族B（x，1）|xX是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为B（x1，1），B（x2，1），B（xn，1）令 Mrnax(xi，xj）|1i，jn十2如果x，yX，则存在i，j，1i，jn，使得xB（xi，l）和yB（xj，l）于是（x，y）（x，xi）（xi，xj）十（xj，y）M因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集特别n维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的下面作为引理给出单位闭区间0,1是一个紧致空间的证明尽管读者可能早已熟知这个结论引理7.3.2单位闭区间0,1是一个紧致空间 证明设A是0，1的一个开覆盖令Px0，l|A有一个有限子族覆盖0，x它是0，1的一个子集对于集合P，我们依次证明，（l）P因为显然0P;（2）P是一个开集设xP则A有一个有限子族，设为 ，覆盖0，x当x=1时，易见P0，l，它是一个开集因此x是P的一个内点下设x1这时对于某一个i0,1i0n,有x.由于是0，1中的一个开集，所以存在实数0使得x，x+)于是0，x).这蕴涵0，x+)P由于0，x）是0，1中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.（3）P是一个闭集设x=0,1-P根据集合P的定义可见，x，1另外根据(1)可见0x.选取选取AA使得xA由于A是一个开集，所以存在实数0使得（x，xA假如（x,xP，设z（x，xP则A有一个有限子族A1覆盖0,z，因此A的有限子族A1A覆盖0，x，这与xP矛盾所以（x，xP=，即（x,x,从而(x-,1,因此x是的一个内点这证明是一个开集，即P是一个闭集根据上述三条，P是0，l中的一个既开又闭的非空子集由于0,1是一个连通空间，所以P=0,1，特别，1P这也就是说A有一个有限子族覆盖0，1以上证明了0，1的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故0，1是一个紧致空间任何一个闭区间a，b（ab），由于它和单位闭区间0，1同胚，所以是紧致的并且作为紧致空间的积空间，可见n维欧氏空间中任何一个闭方体（ab）也是紧致空间定理7.3.3设A是n维欧氏空间中的一个子集则A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集证明设是n维欧氏空间的通常度量“”:如果A是一个紧致子集，则根据定理7.3.1，它是有界的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2，它是一个闭集“”:设A是一个有界闭集如果A=，则A是紧致的下设A于是存在实数M0使得对于任何x，yA有(x，y）M任意选取x0A，并且令N=M十（0，x0），其中0=（0，0，0）容易验证（根据三角不等式）A因此A作为紧致空间中的一个闭子集必定是紧致的定理7.3.4设X是一个非空的紧致空间，f:XR是一个连续映射则存在x0，x1X使得对于任意xX有 f（x0）f(x)f(x1)换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点证明由于X紧致，故根据定理714可见f（X）是实数空间R中的一个紧致子集由于R是一个Hausdorff空间，所以f(X)是一个闭集设m和M分别为集合f（X）的下，上确界，则m，Mf(X)因此存在x0，x1X使得f(x0)m和f(x1)=M根据上，下确界的定义立即可见，对于任何xX有f（x0）f(x)f(x1).此外，由于m维单位球面是一个有界闭集，所以是紧致的，n维欧氏空间不是紧致的，而紧致性又