概率论课外作业.doc

大数定律与中心极限定理在实际中的应用 大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为a的物品，若以表示n次重复称量的结果，经验告诉我们，当n充分大时，它们的算术平均值与a的偏差就越小。中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律。切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差，则对于任意正数，如下不等式成立 。切比雪夫不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则E（X）=7300， (X)= =700则P =P =1-P 2100而P 所以P 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。独立同分布的中心极限定理：设随机变量相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，则随机变量的分布函数满足如下极限式定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管 (i=1，2， ，n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布N()。二项分布的极限分布是正态分布即如果XB(n，p)则例2 现有一大批种子，其中良种占16，今在其中任选60O0粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中良种所占的比例与16之差小于l的概率是多少?解 设取出的种子中的良种粒数为X，则 XB(6000，)于是(1) 要估计的规律为，相当于在切比雪夫不等式中取=60，于是由题意得即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685(2) 由中心极限定理，对于二项分布 (6000，)可用正态分布N(1000， )近似，于是所求概率为从本例看出用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用当独立同分布(可以是任何分布)，计算P()的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用例3某单位有200台电话分机，每台有5的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解 设有X部分机同时使用外线，则有XB(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，设有N条外线由题意有PXN09有 查表得=090，故N应满足条件即，取N=14，即至少要安装14条外线参考文献：1庄楚强.吴亚森应用数理统计基础M广州：华南理工大学出版社，20022黄清龙.阮宏顺概率论与数理统计M北京：北京大学出版社，20053贾兆丽概率方法在数学证明中的应用J安徽工业大学学报，2002，19(1)：75764周少强大数定律与中心极限定理之问的关系J高等数学研究，2001(1)：15175刘建忠中心极限定理的一个推广及其应用J华东师范大学学报(自然科学版)2001，18(03)：8-126杨桂元中心极限定理及其在统计分析中的应用J统计与信息论坛，20