圆锥曲线全国卷一09--14年.doc

20132013 年新课标年新课标 1 1 卷卷 4 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 则 C 的渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 5 2 A y x B y x C y x D y x 1 4 1 3 1 2 命题意图 本题主要考查双曲线的几何性质 是简单题 解析 由题知 即 的渐近线方程为 故 5 2 c a 5 4 2 2 c a 22 2 ab a 2 2 b a 1 4 b a 1 2 C 1 2 yx 选 C 10 已知椭圆 1 a b 0 的右焦点为 F 3 0 过点 F 的直线交椭圆于 A B 两点 若 AB 的中点坐标为 1 1 x2 a2 y2 b2 则 E 的方程为 A 1B 1C 1D 1 x2 45 y2 36 x2 36 y2 27 x2 27 y2 18 x2 18 y2 9 命题意图 本题主要考查椭圆中点弦的问题 是中档题 解析 设 则 2 2 1122 A x yB xy 12 xx 12 yy 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 又 又 9 解得 9 18 AB k 12 12 yy xx 2 12 2 12 bxx ayy 2 2 b a AB k 0 1 3 1 1 2 2 2 b a 1 2 2 c 22 ab 2 b 2 a 椭圆方程为 故选 D 22 1 189 xy 20 本小题满分 12 分 已知圆 M x 1 2 y2 1 圆 N x 1 2 y2 9 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切 圆心 P 的轨迹为曲线 C 求 C 的方程 l 是与圆 P 圆 M 都相切的一条直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 当圆 P 的半径最长时 求 AB 命题意图 解析 由已知得圆的圆心为 1 0 半径 1 圆的圆心为 1 0 半径 3 MM 1 rNN 2 r 设动圆的圆心为 半径为R PPxy 圆与圆外切且与圆内切 PM PN 4 PMN 12 RrrR 12 rr 由椭圆的定义可知 曲线C是以M N为左右焦点 场半轴长为2 短半轴长为 的椭圆 左顶点除3 外 其方程为 22 1 2 43 xy x 对于曲线C上任意一点 由于 PM PN 2 R 2 Pxy22R 当且仅当圆P的圆心为 2 0 时 R 2 当圆P的半径最长时 其方程为 22 2 4xy 当 的倾斜角为时 则 与轴重合 可得 AB l 0 90ly2 3 当 的倾斜角不为时 由 R知 不平行轴 设与轴的交点为Q 则 可求得Q l 0 90 1 rlxlx QP QM 1 R r 4 0 设 由 于圆M相切得 解得 l 4 yk x l 2 3 1 1 k k 2 4 k 当 时 将代入并整理得 解得k 2 4 2 2 4 yx 22 1 2 43 xy x 2 7880 xx AB 1 2 x 46 2 7 2 12 1 kxx 18 7 当 时 由图形的对称性可知 AB k 2 4 18 7 综上 AB 或 AB 18 7 2 3 2012 年新课标年新课标 1 卷卷 4 设 12 FF是椭圆的左 右焦点 为直线 3 2 a x 上一点 22 22 1 0 xy Eab ab P 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 E A 1 2 B 2 3 C D 解析 选C 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 221 33 2 2 24 c PFF Facce a 8 等轴双曲线的中心在原点 焦点在轴上 与抛物线的准线交于CxCxy16 2 A B 两点 则的实轴长为 4 3AB C A2 B2 2 C D 解析 选C 设交的准线于 222 0 C xyaa xy16 2 4l x 4 2 3 A 4 2 3 B 得 222 4 2 3 4224aaa 20 本小题满分 12 分 设抛物线的焦点为 准线为 已知以为圆心 2 2 0 C xpy p FlAC F 为半径的圆交 于两点 FAFl B D 1 若 的面积为 求的值及圆的方程 0 90 BFDABD 24pF 2 若三点在同一直线上 直线与平行 且与只有一个公共点 A B FmnmnC 求坐标原点到距离的比值 m n 解析 1 由对称性知 是等腰直角 斜边BFD 2BDp 点到准线 的距离Al2dFAFBp 1 4 24 22 2 ABD SBDdp 圆的方程为F 22 1 8xy 2 由对称性设 则 2 0 00 0 2 x A xx p 0 2 p F 点关于点对称得 A BF 22 22 00 00 3 222 xxp Bxppxp pp 得 直线 3 3 2 p Ap 3 3 22 30 223 pp pp m yxxy p 切点 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 3 36 p p P 直线 333 30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到距离的比值为 lfx lby m n 33 3 26 pp 2011 年新课标年新课标 1 卷卷 7 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 为 C 的 实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 3 解析 本题考查双曲线的通径和离心率的概念 属于中等题 由题意知 则 由离心率公式得a a b 4 2 2 2 2 2 a b 31 2 2 2 a b e 所以 e 故选 B 3 14 在平面直角坐标系xOy 中 椭圆C的中心为原点 焦点 12 F F在 x轴上 离心率为 2 2 过l的 直线 交于 A B两点 且三角形 AB的周长为 16 那么C的方程为 F2 解析 解析 本题考查椭圆定义和离心率概念属于容易题 由三角形 AB的周长为 16 得 4a 16 故 a 4 由离心率为 2 2 F2 得 c 所以所以椭圆方程为 22 1 168 xy 22 8 16 22 ba 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点满足 MB OA MA AB MB BA M 点的轨迹为曲线 C 求 C 的方程 P 为 C 上的动点 l 为 C 在 P 点处得切线 求 O 点到 l 距离的最小值 解解 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以MA x 1 y MB 0 3 y AB x 2 再由愿意得知 MA MB AB 0 即 x 4 2y x 2 0 所以曲线 C 的方程式为 y 1 4 x 2 2 设 P x0 y0 为曲线 C y 1 4 x 2 2 上一点 因为 y 1 2 x 所以l的斜率为 1 2 x0 因此直线l的方程为 000 1 2 yyx xx 即 2 00 220 x xyyx 则 O 点到l的距离 2 00 2 0 2 4 yx d x 又 2 00 1 2 4 yx 所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 2 0 x 0 时取等号 所以 O 点到l距离的最小值为 2 20102010 年全国年全国 1 1 卷卷 9 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点P在 C 上 P 则P到x轴的距离为 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 A B C D 3 2 6 2 36 9 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有 效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 不妨设点 P在双曲线的右支 由双曲线 的第二定义得 00 xy 2 1000 12 a PFe xaexx c 由余弦定理得 2 2000 21 a PFe xexax c cos P 即 cos 1 F 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 所以 故 P 到 x 轴的距离为 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 2 y 11 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么的最小值为PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 11 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判别式法 同时也考 查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 如图所示 设 PA PB APO 则 APB PO x 0 x 2 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令 则 即 由是实数 所以PA PBy 42 2 1 xx y x 42 1 0 xy xy 2 x 解得或 故 2 1 4 1 0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 此时 min 32 2PA PB 21x 16 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交于点 FCBBFCD 且 则的离心率为 BF2FD uu ruur C 16 2 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几 何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化问 题的捷径 解析 如图 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 即 由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca 又由 得 整理得 2 BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac P A B O xO y B F 1 D D 两边都除以 得 解得 2 a 2 320ee 1 e 舍去 或 2 3 e 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线的焦点为 F 过点的直线 与相交于 两点 点 A 关于轴的对称点为 2 4C yx 1 0 K lCABx D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 求的内切圆 M 的方程 8 9 FA FB ABDK 命题意图 本小题为解析几何与平面向量综合的问题 主要考查抛物线的性质 直线与圆的位置关系 直线与抛物 线的位置关系 圆的几何性质与圆的方程的求解 平面向量的数量积等知识 考查考生综合运用数学知识进行推理论证 的能力 运算能力和解决问题的能力 同时考查了数形结合思想 设而不求思想 20092009 年全国年全国 1 1 卷卷 4 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 C 22 22 1 xy ab A B 2 C D w w w k s 5 u c o m 356 解 设切点 则切线的斜率为 由题意有又 00 P xy 0 0 2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得 w w w k s 5 u c o m 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 12 已知椭圆的右焦点为 右准线为 点 线段交于点 若 则 2 2 1 2 x Cy FlAl AFCB3FAFB AF A B 2 C D 3 w w w k s 5 u c o m 23 解 过点 B 作于 M 并设右准线 与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 故 又由椭圆的第BMl l3FAFB 2 3 BM 二定义 得 故选 A w w w k s 5 u c o m 2 22 233 BF 2AF 21 如图 已知抛物线与圆相 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 交于 ABC 四个点 D I 求得取值范围 r II 当四边形的面积最大时 求对角线 的交ABCDACBD点坐标P 分析 分析 I 这一问学生易下手 将抛物线与圆的方程联立 消去 整理 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 2 y 得 22 7160 xxr 抛物线与圆相交于 四个点的充要条件是 方程 2 E yx 222 4 0 Mxyrr ABCD 有两个不相等的正根即可 易得 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 15 4 2 r II 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标 因此利用设而不求 整体代入的 方法处理本小题是一个 较好的切入点 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则由 I 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 令 则 下面求的最大值 2 16rt 22 72 72 Stt 2 S