模块一极限.doc

高中三年级数学学案目录 模块一 极限（数学选1-1，高三上；高二新下）121 数学归纳法及其应用132 数列极限133 函数极限模块二 导数（数学选1-1，高三上；高二新下）131 导数的概念、公式及其运算法则132 导数的应用（一）133 导数的应用（二）模块三 复数（数学选1-2，高三上；高二新下）141 复数的相关概念和几何意义142 复数的代数形式及其运算 模块一 极 限【知识网络】 11 数学归纳法及其应用【考点透视】一、考纲指要1了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质2能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等3掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质二、命题落点1客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例12解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。和例3，例43“观察归纳猜想证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点，如例24数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。【典例精析】例1：（1994上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（kN+）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立解析：原命题与逆否命题等价，若nk1时命题不成立，则nk命题不成立因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C答案：C例2：（1993全国理）已知数列，。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明解析：本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。计算得S，S，S，S ， 猜测S (nN+)。证明：当n1时，等式显然成立；假设当nk时等式成立，即：S，当nk1时，SS,由此可知，当nk1时等式也成立。综上所述，等式对任何nN+都成立。例3：（2004重庆） 设数列满足（1）证明对一切正整数n 成立；（2）令,判断的大小，并说明理由解析：用数学归纳法进行证明（1）当不等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.（2） 【常见误区】1用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可关于第一步的注意事项：（1）缺一不可；（2）过量无用；（3）宜取尽可能小的自然数，这样可使命题成立的范围较大，但不一定必须取1；（4）要和第二步骤配合，数学归纳法的两个步骤是独立的，这是从数学归纳法的意义来说的，可它们要达到同一目的，因此又要配合与关照关于第二步的注意事项：（1）第二步骤主要在于合理运用归纳假设，这一步实质是要证明命题的传递性；（2）第二步的关键是确立递推关系，它是确定一个自动推演机器，即只要在前边命题成立的假设下，就可以寻求后边的成立，这里的为真是纯粹的假设，是否确实为真，第二步管不了，也根本不必要去管；（3）不完全归纳法在发现递推关系中的作用；（4）借助分析法发现递推关系。2需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标3数学归纳法的一大鲜明特征是，证明步骤与格式的完整与规范性，必须注意书写格式的完整性4必须注意，不是所有的与正整数n有关的问题都能用数学归纳法证明成功【基础演练】1用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)212(2n1) （nN+），从“k到k1”，左端需乘的代数式为（ ）A2k1 B2(2k1) CD2（1997上海理）.设f（n）=（nN+），那么f（n+1）f（n）等于（ ）AB C D3数列an中，已知a1，当n2时aa2n1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是（ ）A3n2Bn C3 D4n34已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN+,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为（ ）A30B26C36D65设k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱对角面的个数为f(k+1)f(k)_6用数学归纳法证明35 (nN+)能被14整除，当nk1时对于式子35应变形为_7（2001全国春季北京、安徽）在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，an，使这n2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n2个数成等差数列.记Ana1a2a3an，Bnb1b2b3bn.（1）求数列An和Bn的通项；（2）当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论8某油料库已储油料吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出吨，设为正式运营第n年底的储油量 （1）求的表达式并加以证明； （2）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于，如果吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由（取lg2=0.30,lg3=0.48）9（2002全国理）设数列an满足an1an2nan1，n1，2，3，（1）当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a13时，证明对所有的n1，有（i）ann2；（）12 数列极限【考点透视】一、考纲指要1了解数列极限的概念，会用此定义证明简单数列的极限。2掌握数列极限的四则运算法则.3会求某些数列的极限。会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。二、命题落点1近十年高考中，几乎每份试题都有数列极限题，运用数列极限的定义求极限，或根据极限定义证明简单数列极限。如例1。2客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限，如例2和例3。3解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.如例4和例5.4数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列。【典例精析】例1：已知数列 （1）由观察指出它的极限的值； （2）写出的解析式； （3）这个数列中第几项以后的所有项都满足； （4）设，这个数列中第几项以后的所有项都满足 解析：本题考查数列极限的定义（1） （2） （3）由，得， 数列中第10项以后的所有项都满足 （4）由，知，设的整数部分为N，则数列第N项以后的所有项都有例2：（1995全国）等差数列an，bn的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（ ）A1 B CD 解析：已知，要求，肯定要用当，但由已知，可设，k为常数（为什么这样设？） 由等差数列前n项和公式的特点，可设，k为常数，则当时， 一般地证明：（两等差数列对应项的比的极限等于对应的前n项和之比的极限均等于公差比）例3：（2004北京文史类）函数定义在0，1上，满足且，在每个区间（1，2）上，的图象都是平行于x轴的直线的一部分。 （1）求及，的值，并归纳出的表达式 （2）设直线，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2），求及的值解析：本小题主要考查函数、数列等基本知识，体现了数学知识交汇性，考查分析问题和解决问题的能力，是一道既考知识、又考能力的活题。（1）由，得由及，得 同理， 归纳得 （2）当时， ， ， ， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以该题的形式新颖，其考查目的也明确，正确解答，可考查其数学能力，是一道十分理想的中等难度的试题 【常见误区】1数列极限的运算法则成立的前提条件是：数列的极限都存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。运算法则都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个，即有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。2在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。3两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。4对于极限，在掌握有关基本知识的前提下，应牢固掌握几个重要极限：（1）（C是常数），（2）qn=0，（|q|1），（3）（4）当|q|1时，无穷等比数列所有项和SSn（5） 【基础演练】1已知其中aR，则a的取值范围是（ ）Aa0 Ba2或a2C2a2 Da2或a22数列的通项公式，若，为使当时，恒有成立，则正整数N的最小值是（ ）A101B100C99D983的值等于（ ） A0B1C2D34（2005湖南）已知数列log2(an1)（nN*）为等差数列，且a13，a25，则=（ ）A2BC1D5（2004重庆理）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、.Pn,记纸板Pn的面积为，则 P1P3P2P46（2005全国）若常数b满足|b|1，则 ACB7（2003北京春季高考）如图，在边长为的等边ABC 中，圆为ABC的内切圆，圆与圆外切，且与AB，BC相切，圆与圆外切，且与AB，BC相切，圆的面积为 （1） 证明是等比数列； （2）求的值8（1997全国理）已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中pq，且p1，q1，设cn=an+bn，Sn为数列cn的前n项和，求.9（1994全国）设的首项，前n项和为，并且对于所有的正整数n，与2的等差中项等于与2的等比中项 （1）写出数列的前3项； （2）求数列的通项公式（写出推证过程）； （3）令求 13 函数极限【考点透视】一、考纲指要1极限的概念及其渗透的极限的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具深入地理解函数极限的概念2函数极限的四则运算法则，能正确熟练地求某些函数的极限3了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值的性质4掌握两个重要的极限，并能利用它解决有关问题二、命题落点1此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主。应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限，如例12利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算，如例3、例53利用两个重要极限求函数的极限：；或如例24函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.如例4【典例精析】例1：（1996上海理）= .解析： 本题考查函数极限的定义原式=. 答案：例2：（2000上海）计算=_.解析：运用重要极限或.答案：e2例：已知函数，试求： （1）的定义域，并画出图像； （2）求，并指出是否存在。 解析：运用分类讨论思想 （1） 当时，当时，yx22-2-1o 12.3 1当时，时，不存在 的定义域是，如图12.31所示 （2） ， 不存在【常见误区】1函数极限的运算法则成立的前提条件是函数的极限都应存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。函数极限的运算法则都可以推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个。两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在，在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限。2在商式、无理式的极限运算中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。3注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：4 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法。如分式函数问题的解答，可以准确画出它的图象进行观察，不能忽视函数连续性的性质在解这类题目中的简便作用.【基础演练】1（2005广东）（ ）ABCD 2（2005江西）8（ ）A1B1CD3(2005辽宁)极限存在是函数在点处连续的 （ ）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件4（2005湖北）若，则常数的值为（ ）ABCD5（1998上海）若，则a= .6（1995上海）若1+（r+1）n=1，则r的取值范围是_.7已知函数f(x)=, （1）求f(x)的定义域，并作出函数的图象； （2）求f(x)的不连续点x0; （3）对f(x)补充定义，使其是R上的连续函数.8设f(x)是x的三次多项式，已知=1,试求的值.(a为非零常数).9设过椭圆上三点的圆的半径为，求本章测试题一、选择题：（本题每题5分，共60分）1（2004广东）卷1（设函数在处连续，则（ ）ABCD2等于（ ）ABCD3已知，则实数的取值范围是（ ） A B C D 4已知，则点M所在的象限是（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 5若存在，则实数的取值范围是（ ）ABC D6设，而则直线的斜率是（ ）A7B C-7D7以边长为1的正六边形的一边为边向外作正方形，以正方形的一边为底向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形一条直角边为边向外作正六边形，如此继续无限反复同一过程，则这些正六边形、正方形、等腰直角三角形面积之和为 （ ）A B C D8给出下列四个命题：不存在； 不存在； 函数在点x=1处连续；函数在开区间（1，2）连续.其中正确的命题是（ ）ABCD9设的展开式中项的系数为（ ）ABCD110若f (n)1(nN+)，则代数式f (2n1)f (2n)（在不合并的情况下）共有（ ）A1项 Bn项 C2n项 D2n1项11（05江西）（ ）A1B1CD12设是满足的整数，若，成等比数列，则 的值依次为（）A2, 4, 8 B3, 6, 9 C2, 6, 8 D2, 4, 9二、填空题：（本题每小题4分，共16分）13等比数列an，公比q1，a1b(b0)，则_14已知 15一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球最多能上升 米.16（2001上海春）计算=_.三、解答题：（本题共74分）17（本小题满分12分）设函数 （1）画出函数的图象； （2）在x=0，x=3处函数是否连续； （3）求函数的连续区间.18（本小题满分12分）已知等比数列，若项数为且前项之和等于偶数项之和的11倍，第三项和第四项之和为第二项和第四项之积的11倍. （1）求首项和公比； （2）若数列满足的前项和为，求及.19（本小题满分12分）下图是树形图形。第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层。设树的第n层的最高点到水平线的距离为n层的树形图的高度 （1）求第三层及第四层的树形图的高度； （2）求第n层的树形图的高度；（n为偶数） （3）求的值20（本小题满分12分）函数的定义域为R，且（1）求证：（2）若上的最小值为，求证：.21（本小题满分12分）试确定一个有理数a0，使得满足关系=3+（n=0，1，2，）的数列是单调递增数列（即，n=0，1，2，）22（本小题满分1分）设数列满足，（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（2）当时，证明对所有的，有（）；（）.参考答案11 数学归纳法及其应用1.B 2.D 3.B 4.C 5k16（35）345（53）7（1）设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，an，2，等差数列1，b1，b2，bn，2，则A1a11q A21q1q2 A31q1q21q3又an21qn12得qn12Anqq2qn（n1，2，3）又bn21（n1）d2 （n1）d1B1b11d B2b2b11d12d Bn1d1ndn（2）AnBn，当n7时证明：当n7时，2358An Bn7，AnBn设当nk时，AnBn，则当nk1时，又Ak+1且AkBk Ak1k，Ak1Bk1，又k8，9，10 Ak1Bk10，综上所述，AnBn成立.8 依题意，油库原有储油量为吨，则， ， ， 推测： 用数学归纳法证明： 当时， 推测成立。 假设当时，成立。 当时，依题意 。 即当时，推测也成立，由、知，对于，推测成立。 如果吨时，该油库第n年年底储油量不少于吨， 即。 即 说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营。9（1）由a12，得a2a12a113，由a23，得a3a222a214，由a34，得a4a323a315由此猜想an的一个通项公式：ann1（n1）（）（）用数学归纳法证明：当n1，a1312，不等式成立.假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak（akk）1（k2）（k2k）1k3，也就是说，当nk1时ak1（k1）2根据和，对于所有n1，有ann2（）由an1an（ann）1及（），对k2，有akak1（ak1k1）1ak1（k12k1）12ak11，ak2k1a12k2212k1（a11）1于是，k212 数列极限1C 2B 3C 4C 5 67(1) 记为圆的半径，则ACB ，所以 于是 ， 故成等比数列 (2) 因为， 所以8，分两种情况讨论：（1）当p1时，因pq0，则10，所以（2）当p1时，因pq0，则1pq0， 9 由题意，当时有，