用AR模型对我国人口进行分析.docx

用ARMA模型对我国建国后人口总数的实证分析应用时间序列分析课程论文2014-12-13统计一班 杨逢麦20120285 用ARMA模型对我国建国后人口总数变化的实证分析 摘要：本文根据我们所学的课程应用时间序列分析中的知识，选取了我国1949年到2013年的总人口数据X，运用二阶差分最终得到平稳的时间序列Z。并尝试对序列Z做了ARMA(1，1)模型后发现模型的系数检验失败，并且调整R2=0.015992拟合度很差。因此认为差分后的数据不适合建立模型。最终从实际意义上分析认为影响总总人口的主要因素为前一期存活量和扰动（人口的出生和死亡等）对当期有显著的影响，因此虽人源数据X非平稳，但是我们仍能对其建模。通过对X的自相关图，我们分别对X建立了ARMA(1，5)和ARMA(1，1)两个模型最终从模型的可行性和系数检验的结果决定采用ARMA(1，1)。所得模型为：Xt=286684+0.993233Xt-1+t-0.667945t-1+ut最后利用所建立的模型分别用动态预测和静态预测预测了我国的总人口五年的变化情况。其中用动态法预测2014年我国的人口为137132.1823万，用静态预测法预测我国2014年多的总人口为136945.511万，其它年份详见表1-1关键词：ARMA模型、总人口预测一、数据的录入和基本分析（1）数据录入 数据详见表1-1，数据来源国家统计局/search/keywordlist2?keyword=%E4%BA%BA%E5%8F%A3打开Eviews软件，选择“File”菜单中的“New-Workfile”选项，在“Workfile structure type”栏选择“Dated regular frequency”，在“Date specification”栏中分别选择“Annual”(年数据) ，分别在起始年输入1949，终止年输入2013，点击ok。这样就建立了一个工作文件，再在主窗口输入命令：data x(x代表历年人口总数)，最后将数据复制粘贴到EVIEWS中即可建立文件。（2）时序图判断平稳性做出该序列的时序图1-1，看出该序列呈直线上升趋势，直观来看，显著不平稳。图1-1 X的时序图（3）自相关图和偏自相关图判断平稳性从自相关系数可以看出，衰减到零的速度非常缓慢，所以断定X 序列非平稳。为了证实这个结论，进一步对其做ADF检验，结果见图1-3，可以看出在显著性水平0.05下，接受存在一个单位根的原假设，进一步验证了原序列不平稳。为了找出其非平稳的阶数，需要对其一阶差分序列和二阶差分序列等进行ADF检验图1-2对数序列x自相关图Null Hypothesis: X has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 2 (Automatic based on AIC, MAXLAG=10)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-1.6262050.4633Test critical values:1% level-3.5401985% level-2.90920610% level-2.592215图1-3 序列x的ADF检验结果（4）差分次数d的确定x序列显著非平稳，现对其一阶差分序列进行ADF检验，检验结果见图1-4，可以看出在显著性水平0.05下不拒绝存在单位根的原假设，说明一阶差分序列是非平稳的，因此做二阶差分检验Null Hypothesis: D(X) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 2 (Automatic based on AIC, MAXLAG=10)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-2.3251440.1676Test critical values:1% level-3.5420975% level-2.91001910% level-2.592645图1-4 一阶差分序列平稳性检验 对序列做二阶差分后的结果如图1-4所示，可以看出在显著性水平0.05下显著拒绝存在单位根的原假设，说明二阶差分序列是平稳的，因此d=2。Null Hypothesis: D(X,2) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 9 (Automatic based on AIC, MAXLAG=10)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-4.6580360.0004Test critical values:1% level-3.5600195% level-2.91765010% level-2.596689图1-4 二阶差分序列平稳性检验二、模型的建立（一）建立二阶差分序列在Eviews对话框中输入“series y=x-x(-1)”，并点击“回车”，便得到了经过一阶差分处理后的新序列y，再输入“series z=y-y(-1)”， 便得到了经过二阶差分处理后的新序列z. 其时序图见图1-6从直观上来看，序列z也是平稳的，这就可以对z序列进行ARMA模型分析了。得到的Z值如图1-5所示：年份Z值年份Z值年份Z值年份Z值年份Z值年份Z值年份Z值19491959-1281969-291979-21989-481999-1102009-2519501960-221319701841980-1201990-492000-682010-719517519616521971-8419812041991-1392001-7320113195278196217851972-28919822151992-1422002-58201225195313219634391973861983-2281993-22003-522013-119541561964-5491974-3861984-51994-132004-131955-27119657121975-8719851451995-622005719561641966-351976-26419861621996-32006-7619574621967-1781977-4019871371997-312007-111958-48419683401978281988-671998-1022008-8图1-5 Z值分布图1-6 z序列时序图（二）模型的识别1.做平稳序列z的自相关图1-6：从z的自相关函数图和偏自相关函数图中我们可以看到，自相关系数、偏自相关系数在二阶后明显截尾，但不能立即决定模型的阶数，因此有待于进行模型选择。（三）模型的建立1模型的参数估计通过以上自相关图，做了二阶差分后的变量Z的ARMA(1，1)模型的参数估计，所得结果如下图：Dependent Variable: ZMethod: Least SquaresDate: 12/13/14 Time: 10:37Sample (adjusted): 1952 2013Included observations: 62 after adjustmentsConvergence achieved after 17 iterationsBackcast: 1951VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C-6.60797158.19382-0.1135510.9100AR(1)-0.5126270.623714-0.8218950.4144MA(1)0.6273210.5654351.1094480.2717R-squared0.017320Mean dependent var-7.032258Adjusted R-squared-0.015992S.D. dependent var423.6600S.E. of regression427.0341Akaike info criterion14.99878Sum squared resid10759130Schwarz criterion15.10171Log likelihood-461.9622F-statistic0.519931Durbin-Watson stat2.170085Prob(F-statistic)0.597260Inverted AR Roots-.51Inverted MA Roots-.63从图中可以看出，模型总体的R2很小，这样一来同时各个系数检验也不通过，所以不能对变量Z建立ARMA(1，1)模型。之后通过反复尝试分析，发现不论是一阶差分后的数据Y还是二阶差分后的数据z，虽然其平稳性要比源数据X的平稳性要好，但是都不适合建模分析。通过分析发现这主要是因为差分后破坏了数据的经济意义。首先从常理上分析，我们不难看出影响当期人口的因素主要取决于扰动和前一期的存活量。扰动的因素主要有：出生人口、死亡人口等。通过以上分析我们决定对源数据进项建模。从图1-2对数序列x自相关图可以看出，数据明显是自相关函数拖尾，而偏相关函数一阶截尾。图1-2对数序列x自相关图因此，我们做了源数据X的ARMA(1，5)模型，得到如下结果：Dependent Variable: XMethod: Least SquaresDate: 12/13/14 Time: 14:00Sample (adjusted): 1950 2013Included observations: 64 after adjustmentsConvergence achieved after 151 iterationsBackcast: 1945 1949VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C231427.768178.923.3944170.0013AR(1)0.9903010.004977198.96330.0000MA(1)0.9987870.1313377.6047720.0000MA(2)0.4862450.1728632.8128940.0067MA(3)0.1112770.1863200.5972380.5527MA(4)0.3985570.1706502.3355250.0231MA(5)-0.0363040.118642-0.3059930.7607R-squared0.999830Mean dependent var99105.30Adjusted R-squared0.999813S.D. dependent var26184.83S.E. of regression358.4541Akaike info criterion14.70440Sum squared resid7323893.Schwarz criterion14.94052Log likelihood-463.5407F-statistic56020.63Durbin-Watson stat1.936602Prob(F-statistic)0.000000Inverted AR Roots.99Inverted MA Roots.26-.59i.26+.59i.09-.80+.59i-.80-.59i从检查结果中发现，只有AR(1)和MA（2）的系数检验是通过的。而R2的值非常接近于1，因此我们为了方便起见做了ARMA(1，1)模型，得到的检验结果如下：Dependent Variable: XMethod: Least SquaresDate: 12/13/14 Time: 14:05Sample (adjusted): 1950 2013Included observations: 64 after adjustmentsConvergence achieved after 25 iterationsBackcast: 1949VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C286684.092098.563.1127960.0028AR(1)0.9932330.003273303.45760.0000MA(1)0.6679450.0940937.0987720.0000R-squared0.999760Mean dependent var99105.30Adjusted R-squared0.999752S.D. dependent var26184.83S.E. of regression412.5961Akaike info criterion14.92856Sum squared resid10384370Schwarz criterion15.02975Log likelihood-474.7138F-statistic126839.7Durbin-Watson stat1.500707Prob(F-statistic)0.000000Inverted AR Roots.99Inverted MA Roots-.67从以上的模型系数表中可以看出，AR(1)，MA(1)的系数都是显著地。且R2= 0.999760虽然没有ARMA(1，5)模型的R2=0.999830大，但是从模型的简便性和系数的检验效果来说，最终决定对于源数据X建立ARMA（1,1）模型。模型的估计结果如下：Xt=286684+0.993233Xt-1+t-0.667945t-1+ut（三）模型模型的诊断检验做模型残差的自相关图如下所示：从图上图可以看出，残差不再存在自相关，说明模型拟合很好，模型拟合图见下图ARMA(1,1)拟合效果图（四）、模型的预测图3-16 模型动态预测图上图用“Dynamic”法预测的效果图，图中实线代表的是x的预测值，两条虚线则提供了2倍标准差的置信区间。可以看到，随着预测时间的增长，则预测的区间越大。Theil不相等系数为0.015671，表明模型的预测能力较好。但是由于预测时间过长，预测的准确性越来越差。 下面我们再利用“Static”方法来预测，得到如图317所示的结果。从图中可以看到，“Static”方法得到的预测值的拟合性良好；同时，方差比例的下降也表明较好的模拟了实际序列的波动 ，Theil不相等系数为0.001966，表明模型的预测结果较理想。图317 模型静态预测图综合上述分析过程，实际上我们是针对原序列X：1949年2013年我总人口数据序列，建立了一个ARIMA（1，1）模型进行拟合，模型形式如下：Xt=286684+0.993233Xt-1+t-0.667945t-1+ut下表是分别用动态预测和静态预测得到的我国各年份人口总数年份/万实际人口总数动态预测人口总数静态预测人口总数194954,167195055,19655740.337455579.46339195156,30057303.0287356506.24234195257,48258855.1460457721.1459195358,79660396.760875887326661927.9442960286.46971195561,46563448.7668861784.39559195662,82864959.2987562775.61659195764,65366459.6095464377.72154195865,99467949.7684166339.25412195967,20769429.8440467256.69883196066,20770899.9046768658.90555196165,85972360.018066606129673810.2515367218.21045196369,17275250.6719268832.45849196470,49976681.3456470870.60024196572,53878102.3386371713.61779196674,54279513.7164174537.67073196776,36880915.5440375980.36069196878,53482307.8861278050.03482196980,67183690.8068680265.71882197082,99285064.3782335.70216197185,22986428.6388684808.6622197287,17787783.6763386872.91721197389,21189129.5448788730.08408197490,85990466.3065290868.43565197592,42091794.0229292177.75673197693,71793112.7552693896.3017197794,97494422.5643394902.95683197896,25995723.5105296318.66777197997,54297015.6537997507.6651198098,70598299.0537298844.772191981100,07299573.7694599883.608811982101,654100839.8598101460.55391983103,008102097.383103035.22561984104,357103346.3972104232.66721985105,851104586.9598105673.77171986107,507105819.1281107192.99381987109,300107042.9589108929026108258.5086110747.98561989112,704109465.8332112400.29651990114,333110664.9884114084.10111991115,823111856.0294115665.47191992117,171113039.0113117084.35911993118,517114213.9884118