广东省珠海市高二数学上学期期末试卷a 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（a卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂到答题卡上）1命题“a，br，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）aa，br，如果a2=ab，则a=bba，br，如果a2=ab，则abca，br，如果a2ab，则abda，br，如果ab，则a2ab2若ab，ab0，则不等式恒成立的是（）a2a2bblg（ab）0cd3若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a1b2c3d44已知抛物线x2=4y上的一点m到此抛物线的焦点的距离为2，则点m的纵坐标是（）a0bc1d25如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）abd与cf成60角bbd与ef成60角cab与cd成60角dab与ef成60角6abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd7给出如下四个命题：已知p，q都是命题，若pq为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则3a3b1”的否命题为“若ab，则3a3b1”；命题“对任意xr，x2+10”的否定是“存在x0r，x02+10”；“a0”是“xr，使得ax2+x+10”的充分必要条件其中正确命题的序号是（）abcd8已知等比数列an的公比为q，前n项和为sn，且s3，s9，s6成等差数列，则q3等于（）a1或b1或c1d9双曲线c与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x2y=0，则双曲线c的标准方程为（）ay2=1by2=1或y2=1cx2=1或y2=1dy2=110已知一元二次不等式f（x）0的解集为x|x1或x，则f（10x）0的解集为（）ax|x1或xlg2bx|1xlg2cx|xlg2dx|xlg211如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mp=mc，则点m在正方形abcd内的轨迹为（）abcd12设u（n）表示正整数n的个位数，例如u（23）=3若an=u（n2）u（n），则数列an的前2015项的和等于（）a0b2c8d10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将正确答案填在答题卡上）13abc内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知，则b=14在等差数列an中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=15三棱柱abca1b1c1中，若，则可用表示为=16已知f1，f2是椭圆c：+=1的两个焦点，过f1的直线与椭圆c交于m，n两点，则f2mn的周长为17已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为18若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是三、解答题19在锐角abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，且满足（）求角b的大小；（）若a+c=5，且b=，求abc的面积20设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围21在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面四边形abcd为直角梯形，adbc，adab，pa=ad=2，ab=bc=1，q为pd中点（）求证：pdbq；（）求直线bq与平面pcd所成角的正弦值22已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记tn=anb1+an1b2+a1bn，nn*，求tn23已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆c交于m，n两点，p为椭圆c上异于m，n的点（）求椭圆c的方程；（）若直线pm，pn的斜率都存在，判断pm，pn的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（）求pmn面积的最大值2015-2016学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（a卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂到答题卡上）1命题“a，br，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）aa，br，如果a2=ab，则a=bba，br，如果a2=ab，则abca，br，如果a2ab，则abda，br，如果ab，则a2ab【考点】四种命题 【分析】根据命题若p，则q的否命题是若p，则q，写出它的否命题即可【解答】解；“a，br，如果a=b，则a2=ab”的否命题是a，br，如果ab，则a2ab故选：d【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题2若ab，ab0，则不等式恒成立的是（）a2a2bblg（ab）0cd【考点】不等式的基本性质 【专题】不等式的解法及应用【分析】由ab，ab0，可得2a2b，lg（ab）可能等于大于小于0，与的大小关系不确定，1或1即可得出【解答】解：ab，ab0，2a2b，lg（ab）可能等于大于小于0，与的大小关系不确定，1或1综上：只有a正确故选：a【点评】本题考查了函数与不等式的性质，属于基础题3若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a1b2c3d4【考点】简单线性规划的应用 【专题】数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点b时，从而得到m值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，即为b（1，1），当x=1，y=1时zmax=3故选c【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题4已知抛物线x2=4y上的一点m到此抛物线的焦点的距离为2，则点m的纵坐标是（）a0bc1d2【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yp+1=2，求得yp【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=1，根据抛物线定义，yp+1=2，解得yp=1故选：c【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题5如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）abd与cf成60角bbd与ef成60角cab与cd成60角dab与ef成60角【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到bd与cf成0角，bd与ef成90角，ab与cd成60角，ab与ef成90角【解答】解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，bdcf，bd与cf成0角，故a错误；bd平面a1edf，ef平面a1edf，bd与ef成90角，故b错误；aecd，bae是ab与cd所成角，abe是等边三角形，bae=60，ab与cd成60角，故c正确；aba1d，又a1def，ab与ef成90角，故d错误故选：c【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用6abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd【考点】余弦定理；等比数列 【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：abc中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选b【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用7给出如下四个命题：已知p，q都是命题，若pq为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则3a3b1”的否命题为“若ab，则3a3b1”；命题“对任意xr，x2+10”的否定是“存在x0r，x02+10”；“a0”是“xr，使得ax2+x+10”的充分必要条件其中正确命题的序号是（）abcd【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】根据复合命题之间的关系进行判断；根据否命题的定义进行判断”；根据全称命题的否定是特称命题进行判断；根据充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：已知p，q都是命题，若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错误；命题“若ab，则3a3b1”的否命题为“若ab，则3a3b1”；故正确，命题“对任意xr，x2+10”的否定是“存在x0r，x02+10”；故正确，若a0，则判别式=14a0，此时ax2+x+10有解，即“a0”是“xr，使得ax2+x+10”的充分必要条件错误，故错误，故正确的命题为，故选：b【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键8已知等比数列an的公比为q，前n项和为sn，且s3，s9，s6成等差数列，则q3等于（）a1或b1或c1d【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得q1，由求和公式可得+=2，解关于q的方程可得【解答】解：若q=1，则有s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1a10，s3+s62s9，与已知矛盾，故q1由题意可得s3+s6=2s9，+=2可得整理得q3（2q6q31）=0，由q0得方程2q6q31=0分解因式可得（2q3+1）（q31）=0，q1，q310，2q3+1=0，q3=故选：d【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题9双曲线c与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x2y=0，则双曲线c的标准方程为（）ay2=1by2=1或y2=1cx2=1或y2=1dy2=1【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出椭圆的焦距，从而得到双曲线的焦距，再由双曲线的渐近线方程，能求出双曲线的标准方程【解答】解：椭圆+=1中，c=，焦距|f1f2|=2c=2，双曲线c与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x2y=0，设双曲线方程为，0化为标准方程，得：，当0时，c=，解得=1，双曲线方程为；当0时，c=，解得=1，双曲线方程为双曲线方程为y2=1或y2=1故选：b【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、椭圆的简单性质10已知一元二次不等式f（x）0的解集为x|x1或x，则f（10x）0的解集为（）ax|x1或xlg2bx|1xlg2cx|xlg2dx|xlg2【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得f（10x）0等价于110x，由指数函数的单调性可得解集【解答】解：由题意可知f（x）0的解集为x|1x，故可得f（10x）0等价于110x，由指数函数的值域为（0，+）一定有10x1，而10x可化为10x，即10x10lg2，由指数函数的单调性可知：xlg2故选：d【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题11如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mp=mc，则点m在正方形abcd内的轨迹为（）abcd【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系 【专题】压轴题；阅读型【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段pc的垂直平分面与平面ac的交线得到结论【解答】解：根据题意可知pd=dc，则点d符合“m为底面abcd内的一个动点，且满足mp=mc”设ab的中点为n，根据题目条件可知pancbnpn=cn，点n也符合“m为底面abcd内的一个动点，且满足mp=mc”故动点m的轨迹肯定过点d和点n而到点p与到点n的距离相等的点为线段pc的垂直平分面线段pc的垂直平分面与平面ac的交线是一直线故选a【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于基础题12设u（n）表示正整数n的个位数，例如u（23）=3若an=u（n2）u（n），则数列an的前2015项的和等于（）a0b2c8d10【考点】数列的求和 【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】根据定义求出数列an的前几项的值，根据取值得到数列的周期性即可得到结论【解答】解：由定义可得a1=0，a2=2，a3=6，a4=2，a5=0，a6=0，a7=2，a8=4，a9=8，a10=0，数列an的前10项和为0，又数列an是周期为10的周期数列，故s2015=10故选d【点评】本题主要考查数列的求和，利用条件得到数列的周期性是解决本题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将正确答案填在答题卡上）13abc内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知，则b=45【考点】正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知及正弦定理可得sinb=，根据大边对大角由ba可得b（0，60），即可求b的值【解答】解：abc中，由正弦定理可得：sinb=，ba，b（0，60），b=45故答案为：45【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角等知识在解三角形中的应用，属于基础题14在等差数列an中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=74【考点】等差数列的性质 【专题】计算题【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果【解答】解：等差数列an中，a3+a7=37，a3+a7=a2+a8=a4+a6=37a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目15三棱柱abca1b1c1中，若，则可用表示为=+【考点】空间向量的加减法 【专题】数形结合；数形结合法；空间向量及应用【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算，即可用，表示出【解答】解：如图所示，三棱柱abca1b1c1中，且，所以=+=+=+=+故答案为：+【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目16已知f1，f2是椭圆c：+=1的两个焦点，过f1的直线与椭圆c交于m，n两点，则f2mn的周长为8【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的定义可知|f1m|+|f2m|和|f1n|+|f2n|的值，进而把四段距离相加即可求得答案【解答】解：利用椭圆的定义可知，|f1m|+|f2m|=2a=4，|f1n|+|f2n|=2a=4，mnf2的周长为|f1m|+|f2m|+f1n|+|f2n|=4+4=8故答案为：8【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质解题的关键是利用椭圆的定义17已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为【考点】简单线性规划 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，然后代入三角形面积公式求得实数k的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得b（2，2k+2），|ab|=2k+2，则，即k=故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题18若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4【考点】基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b0.0，解得a4于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：log4（3a+4b）=log2，=，3a+4b=ab，a，b00，解得a4a+b=a+=+77+=，当且仅当a=4+2时取等号a+b的最小值是7+4故答案为：7+4【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题三、解答题19在锐角abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，且满足（）求角b的大小；（）若a+c=5，且b=，求abc的面积【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】（1）在锐角abc中，由条件利用正弦定理求得sinb的值，即可求得b的值（2）由余弦定理求得 a2+c2ac=7，再由a+c=5，所以 ac=6，由此求得abc的面积【解答】解：（1）在锐角abc中，由正弦定理得 sina=2sinbsina，所以 sinb=，因为三角形abc为锐角三角形，所以b=（2）由余弦定理 b2=a2+c22accosb 得 a2+c2ac=7，a+c=5，所以 ac=6，所以abc的面积为 =【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题20设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又pq为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由p是q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围【解答】解：（1）当a=1时，p：x|1x3，q：x|2x3，又pq为真，所以p真且q真，由得2x3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：x|ax3a（a0），q：x|2x3，所以解得1a2，所以实数a的取值范围是（1，2【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导21在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面四边形abcd为直角梯形，adbc，adab，pa=ad=2，ab=bc=1，q为pd中点（）求证：pdbq；（）求直线bq与平面pcd所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）建立以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴的空间直角坐标系，证明=0，即可证明pdbq；（）求出平面pcd的法向量，利用向量的夹角公式求直线bq与平面pcd所成角的正弦值【解答】（）证明：因为pa平面abcd，所以paab，paad，又adab，如图，建立以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴的空间直角坐标系由已知，pa=ad=2，ab=bc=1，adbc所以a（0，0，0），b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2）又q为pd中点，所以q（0，1，1）所以=（0，2，2），=（1，1，1），所以=0，所以pdbq（）解：设平面pcd的法向量为=（a，b，c），则=（0，2，2），=（1，1，0），令c=1，得a=b=1，=（1，1，1）=（1，1，1），直线bq与平面pcd所成角的正弦值为=【点评】本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线bq与平面pcd所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键22已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记tn=anb1+an1b2+a1bn，nn*，求tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求；（2）方法一、求得=cncn+1，再由裂项相消求和，化简整理即可得到所求；方法二、三运用数列的求和方法：错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求【解