高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课件 理 新人教版.ppt

9 5椭圆 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合p为椭圆 2 若 则集合p为线段 3 若 则集合p为空集 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 a c a c a c 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 点p x0 y0 和椭圆的关系 1 点p x0 y0 在椭圆内 2 点p x0 y0 在椭圆上 3 点p x0 y0 在椭圆外 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 1 教材改编 椭圆的焦距为4 则m等于a 4b 8c 4或8d 12 考点自测 答案 解析 解得m 4或m 8 2 2015 广东 已知椭圆的左焦点为f1 4 0 则m等于a 2b 3c 4d 9 答案 解析 由题意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 3 2016 全国乙卷 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 答案 解析 4 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 答案 解析 0 1 即k0 所以0 k 1 5 教材改编 已知点p是椭圆 1上y轴右侧的一点 且以点p及焦点f1 f2为顶点的三角形的面积等于1 则点p的坐标为 答案 解析 设p x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则f1 1 0 f2 1 0 由题意可得点p到x轴的距离为1 题型分类深度剖析 例1 2016 济南模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为o f是圆内一定点 m是圆周上一动点 把纸片折叠使m与f重合 然后抹平纸片 折痕为cd 设cd与om交于点p 则点p的轨迹是a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 圆 题型一椭圆的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹 答案 解析 几何画板展示 由条件知 pm pf po pf po pm om r of p点的轨迹是以o f为焦点的椭圆 命题点2利用待定系数法求椭圆方程 例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的3倍 并且过点p 3 0 则椭圆的方程为 答案 解析 答案 解析 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点p1 p2 点p1 p2的坐标适合椭圆方程 命题点3利用定义解决 焦点三角形 问题 答案 解析 3 设 pf1 r1 pf2 r2 4a2 4c2 4b2 又 r1r2 b2 9 b 3 引申探究 1 在例3中增加条件 pf1f2的周长为18 其他条件不变 求该椭圆的方程 由原题得b2 a2 c2 9 又2a 2c 18 所以a c 1 解得a 5 解答 解答 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 所以 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 f1f2 2 即 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 4c2 所以3 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 所以b 3 思维升华 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2 这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 3 当p在椭圆上时 与椭圆的两焦点f1 f2组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 跟踪训练1 1 已知两圆c1 x 4 2 y2 169 c2 x 4 2 y2 9 动圆在圆c1内部且和圆c1相内切 和圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 答案 解析 几何画板展示 设圆m的半径为r 则 mc1 mc2 13 r 3 r 16 8 c1c2 所以m的轨迹是以c1 c2为焦点的椭圆 且2a 16 2c 8 答案 解析 pf1 pf2 f1pf2 90 设 pf1 m pf2 n 则m n 4 m2 n2 12 2mn 4 例4 1 已知点f1 f2是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点p是该椭圆上的一个动点 那么的最小值是 题型二椭圆的几何性质 a 0b 1c 2d 2 答案 解析 2 2016 全国丙卷 已知o为坐标原点 f是椭圆c a b 0 的左焦点 a b分别为椭圆c的左 右顶点 p为c上一点 且pf x轴 过点a的直线l与线段pf交于点m 与y轴交于点e 若直线bm经过oe的中点 则c的离心率为 答案 解析 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 思维升华 答案 解析 解得b c两点坐标为 又因为b2 a2 c2 题型三直线与椭圆 解答 又a2 c2 b2 3 所以c2 1 因此a2 4 2 设过点a的直线l与椭圆交于点b b不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点m 与y轴交于点h 若bf hf 且 moa mao 求直线l的斜率的取值范围 解答 设直线l的斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 2 整理得 4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 由 1 知 f 1 0 设h 0 yh 在 mao中 moa mao ma mo 思维升华 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 解答 则4x2 5y2 80与y x 4联立 解答 2 如果 bmn的重心恰好为椭圆的右焦点f 求直线l方程的一般式 椭圆右焦点f的坐标为 2 0 设线段mn的中点为q x0 y0 由三角形重心的性质知 又b 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即q的坐标为 3 2 设m x1 y1 n x2 y2 则x1 x2 6 y1 y2 4 即6x 5y 28 0 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点8 离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表示 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 考点分析 典例1 2015 福建 已知椭圆e a b 0 的右焦点为f 短轴的一个端点为m 直线l 3x 4y 0交椭圆e于a b两点 若 af bf 4 点m到直线l的距离不小于 则椭圆e的离心率的取值范围是 答案 解析 左焦点f0 连接f0a f0b 则四边形afbf0为平行四边形 af bf 4 af af0 4 a 2 典例2 12分 2016 浙江 如图 设椭圆 y2 1 a 1 1 求直线y kx 1被椭圆截得的线段长 用a k表示 解答 设直线y kx 1被椭圆截得的线段为am 2 若任意以点a 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点 求椭圆离心率的取值范围 解答 假设圆与椭圆的公共点有4个 由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点p q 满足 ap aq 记直线ap aq的斜率分别为k1 k2 且k1 0 k2 0 k1 k2 5分 因为 式关于k1 k2的方程有解的充要条件是1 a2 a2 2 1 所以a 因此 任意以点a 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 a 10分 课时作业 1 2016 湖南六校联考 已知椭圆的中心在原点 离心率e 且它的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合 则此椭圆方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由已知可得抛物线的焦点为 1 0 所以c 1 解得a 2 b2 a2 c2 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当9 4 k 0 即4 k 5时 a 3 c2 9 4 k 5 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 c2 k 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016年1月14日 国防科工局宣布 嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过 正式开始实施 如图所示 假设 嫦娥四号 卫星将沿地月转移轨道飞向月球后 在月球附近一点p变轨进入以月球球心f为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 之后卫星在p点第二次变轨进入仍以f为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道 和 的焦距 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道 和 的长轴长 给出下列式子 a1 c1 a2 c2 a1 c1 a2 c2 c1a2 a1c2 其中正确式子的序号是a b c d 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 观察图形可知a1 c1 a2 c2 即 式不正确 a1 c1 a2 c2 pf 即 式正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 贵州七校联考 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1 则椭圆长轴长的最小值为 答案 解析 设a b c分别为椭圆的长半轴长 短半轴长 半焦距 依题意知 当三角形的高为b时面积最大 当且仅当b c 1时取等号 故选d 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a1 a 0 a2 a 0 y2 ax x2 0 0 x a 整理得 b2 a2 x2 a3x a2b2 0 其在 0 a 上有解 令f x b2 a2 x2 a3x a2b2 f 0 a2b2 0 f a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 a3 2 4 b2 a2 a2b2 a2 a4 4a2b2 4b4 a2 a2 2b2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若椭圆 a 0 b 0 的焦点在x轴上 过点 2 1 作圆x2 y2 4的切线 切点分别为a b 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设切点坐标为 m n 即m2 n2 n 2m 0 m2 n2 4 2m n 4 0 即直线ab的方程为2x y 4 0 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c 4 0 b 4 0 解得c 2 b 4 a2 b2 c2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知p为椭圆上的一点 m n分别为圆 x 3 2 y2 1和圆 x 3 2 y2 4上的点 则 pm pn 的最小值为 答案 解析 7 由题意知椭圆的两个焦点f1 f2分别是两圆的圆心 且 pf1 pf2 10 从而 pm pn 的最小值为 pf1 pf2 1 2 7 9 2017 石家庄质检 椭圆 y2 1的左 右焦点分别为f1 f2 点p为椭圆上一动点 若 f1pf2为钝角 则点p的横坐标的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设椭圆上一点p的坐标为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 aop是等腰三角形 a a 0 p 0 a x0 y0 a 2 a x0 y0 解答 4a2 4b2 5a2 4a2 4 a2 c2 5a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若斜率为2的直线l过点 0 2 且l交椭圆c于p q两点 op oq 求直线l的方程及椭圆c的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设p x1 y1 q x2 y2 直线l的方程为y 2 2 x 0 即2x y 2 0 得x2 4 2x 2 2 4b2 0 即17x2 32x 16 4b2 0 322 16 17 b2 4 0 解得b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即x1x2 y1y2 0 x1x2 2x1 2 2x2 2 0 5x1x2 4 x1 x2 4 0 解答 又因为b 0 b f c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7