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高三复习知识梳理 三角函数一重点知识：（一）基本概念：任意角的概念；弧度制；任意角的三角函数；单位圆与三角函数线1任意角的概念：（1）初中角的概念：平面内从一点出发的两条射线所构成的图形叫做角有零角、锐角、直角、钝角、平角、周角（2）任意角的概念：平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（3）任意角的分类：按射线的旋转方向分：正角、负角、零角；按坐标系中叫的终边位置分：象限角、象间角（轴上角）（其中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合）（4）终边相同的角：与终边相同的角的集合：或注：（1）时钟的时针、分针、秒针旋转所形成的角是负角如：如果手表快了5分钟，应该将分针旋转多少度？ ； 现在是中午12点钟，到晚上8点钟，时针旋转了多少度？ 分针旋转了多少度？” （2）注意区分“锐角、第一象限角、小于90的角的集合”的不同，请用描述法写出对应集合 ； ； 2弧度制：（1）1的角：周角的叫做1的角；（2）1弧度的角：等于半径的弧所对的圆心角；（3）度与弧度的换算：（4）弧度制下，扇形的弧长公式是 ，面积公式是 要求：（1）熟练掌握特殊角的弧度数，熟悉这些角在坐标系中的位置（2）熟练掌握各象限角的表示，如：终边在x轴的正半轴上： ；终边在x轴的负半轴上： ；终边在y轴的正半轴上： ；终边在y轴的负半轴上： ；终边在x轴上： ；第一象限角： ；第二象限角： ；第三象限角： ；第四象限角： ；终边在第一、三象限角分线上的角 ；终边在各象限角分线上的角 ；例1：（1）已知是第二象限角，试确定；，所在的象限（2）如图，已知圆上一点A（1，0）按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角（），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到初始位置，求角的弧度数3任意角的三角函数：采用坐标法定义如：已知角的终边上一点的坐标为，求角的各三角函数值例2已知角终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3：4，且，求和的值4三角函数线：三角函数线是三角函数的直观反映，也可以说是三角函数的几何表示，是今后研究三角函图象和性质的基础，要求能熟练作出各象限内角的正弦线、余弦线、正切线利用三角函数线可以轻松解决许多三角函数问题如：证明对任意都有；解不等式；求出函数的定义域；求函数的值域设方程在内有两个相异实根，求m的取值范围和的值（二）三角函数的恒等变形：1同角三角函数的基本关系式： ；2诱导公式：理解口诀“奇变偶不变，符号看象限”的意义要求快速写出的诱导公式如下：3和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式：4升幂和降幂公式：5辅助角公式：注：（1）把握公式特征，熟练掌握公式的正用、倒用、变形用；如：；等例3化简；求的值求的值；求的值；化简（2）角的和、差、倍、半、诱导公式等总是相对而言的，我们在学习中经常要根据三角函数式的特征，对角作灵活的变形，如：；例4已知，求的值已知，求的值求的值已知，且，求的值（3）把握题型特点，巧用各种变形方法：1的代换法、切割化弦、弦化切、引如辅助角、降幂法、互余转化法、分角法，化同法、归一法等例5已知，则的值为 ；已知，则等于 ；已知，则的值为 ；化简求值：； ；已知，求的值（三）三角形中的三角函数问题：1内角和定理：2正弦定理：；。（其中是三角形外接圆半径）3余弦定理：。4面积公式：（其中分别是边上的高，是三角形外接圆半径，是三角形内切圆半径，）5本部分主要题型是：解斜三角形和在三角形中进行边角转化和恒等变形。例6在锐角三角形ABC中，若则的值是 ( )A大于1 B小于1 C可能等于1 D与1的关系不能确定已知A、B、C是ABC的三个内角，且，试判断此三角形的形状特征。在ABC中已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且cosAsinB=sinC,试判断ABC的形状。已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且，求的值。（四）三角函数的图象和性质：1要求会用“五点法”快速画出正弦函数、余弦函数、正切函数的简图，熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特征例7画出函数，的简图。2熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性。试写出并比较函数，的性质（填写下表）：简图定义域值域奇偶性单调性周期性对称性3根据基本三角函数的图象和性质，进一步研究简单复合函数的有关性质：例8求函数的定义域；求函数； 的值域。请函数；的周期。比较大小：与；、与；、与；4函数的图象和性质：（1）会用“五点法”作出形如函数的简图：例9试作出以下函数的图象： ；（2）图象变换：研究函数的图象与函数的图象的关系。相位变换：函数的图象可以看作是把函数的图象 而得到的；周期变换：函数的图象可以看作是把函数的图象 而得到的；振幅变换：函数的图象可以看作是把函数的图象 而得到的；平移变换：函数的图象可以看作是把函数的图象 而得到的；将函数的图象经过相位变换、周期变换、振幅变换得到函数（这里的图象。即：将函数的图象 得到函数的图象；再将函数的图象 得到函数的图象；然后再将函数的图象 得到函数的图象。或：将函数的图象 得到函数的图象；再将函数的图象 得到函数的图象；然后再将函数的图象 得到函数的图象。例10已知函数，该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到？（3）函数的性质：例11请求出函数、的单调增、减区间；若函数是偶函数，则= ；若函数的图象关于直线对称，则实数a的值为 ；已知函数的定义域是，值域是，求实数a，b的值。例12如图是函数图象的一部分，（1）求函数的解析式；（2）若与的图象关于对称，求的解析式。例13设f(x)=asin+bcos(0)的周期为且最大值f()=4；（1）求，a，b的值； （2）若、为f(x)=0的两个根（、终边不共线），求tan(+)的值。参考答案：例1：（1）解析：此题考察象限角的概念和终边相同角的表示，由象限角的一般表达式入手，推出；，的一般表达式，同时对k的值进行必要的分类讨论，使问题获得解决，是这类问题的一般解题思路答案：是第二象限角，与180360的角的终边相同，故：是第三、第四象限角或者其终边落在y轴的负半轴上是第二象限角，若，则若，则故：是第一或第三象限角是第二象限角，即故：是第三象限角小结：（1）要掌握这类题的求解思想及方法（2）采用同样的方法，我们可以求得：当是第一、二、三、四象限角时，；，所在的象限，特别是所在象限的规律很常用，需要记住一般地：当是第一象限角时，是第一或三象限角；当是第二象限角时， 也是第一或三象限角；当是三、四象限角时，是第二或四象限角具体地：当是第一象限角时，是第一或三象限的内；当是第二象限角时，是第一或三象限的内；当是第三象限角时，是第二或四象限的内；当是第四象限角时，是第二或四象限的内；（3）2角所在的象限中，不要忽略终边在坐标轴上的情况（4）想一想：要确定角所在的象限，该怎么办？（2）解析：深入理解条件的数学含义，将题中条件转化为数学符号，使问题获得解决，是这类问题的一般解题思路，由此题的求解进一步体会“思维是数学的心脏，转化是数学的灵魂”答案： 又2在第三象限，rad或rad例2：解析：想法求出P点的纵、横坐标的关系，再用三角函数的定义求解即可答案：设P（x，y），则根据题意可得：， 的终边只可能在第三、第四象限或y轴的负半轴上， 若P点位于第三象限，可设P（-4k，-3k），（k0）则，从而，若P点位于第四象限，可设P（4k，-3k），（k0）则，从而，由于，故的终边不可能在y轴的负半轴上，综上所述：，；或，小结：（1）由可得的终边只可能在第三、第四象限或y轴的负半轴上，易错误认为的终边只可能在第三、第四象限而漏掉y轴的负半轴上，要注意思维严谨（2）P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3：4可得，而不能只得到（3）根据情况分类讨论是重要的数学思想例4答案：又且且，而在内使正切值为1的角只有一个，=注：（1）中若由直接得出=，是我们最容易犯的错误，一定要注意（2）确定角的有效范围是本题的难点，如果作如下简单的判断：且，则在内使正切值为1的角就有两个和了（3）当然如果作如下判断：“且，则在内使正切值为1的角只有一个”也是很好的，但更小的范围往往确定起来难度较大，根据需要确定适当的有效范围就可以了，在做题时注意体会和应用（4）中也可以先求出，再求例5解析：化切为弦、引入辅助角，灵活运用公式是解决本题的关键，本题是三角函数的最基本问题之一，理解并掌握其解法，将对我们进一步学习提供帮助答案：原式=1原式= -2原式=解析：容易想到将未知切化弦，再进一步观察发现，只需求出的值即可，若注意到，求解就很自然了答案： 又 ，又 原式= =注：本题也可以由得，然后将所求式子化为求解本题的求解巧妙地利用了，使得解题过程简单明了，值得学习若不注意x的范围，就会导致而多解，可见考虑范围的重要性例6解析：先去掉对数符号将其化为有理式，然后经过三角函数恒等变形寻求A、B、C的关系，进而判断三角形的形状特征。答案：由得，即即展开化简得ABC为等腰三角形。解：由已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab得 ，。又由cosAsinB=sinC得或，ABC直角三角形。解析：在三角形中A+B+C=180是一个重要的隐含条件，根据等差数列可以很容易求出角B，然后对A、C的三角函数式化简即可。答案：由条件可得B=60，A+C=120，设则, = =由题设得整理得 即=。注：将看作一个整体，在此基础上将角A和C用同一个角表示，使得问题得以求解，是很好的方法。当然，若将B=60，A+C=120直接代入条件得，接下来你能想到如何求解吗？例8解析：三角函数性质的基本题型，化为同名函数，进而利用函数的增减性来比较函数值的大小，是解题的基本思路。答案：=，=，而且在0，90上是增函数，从而即：。，而且在0，上是减函数，即。，而且在，上是增函数，即。小结：注意诱导公式的应用。例10解析：首先将函数化简为的形式，然后研究其图象与函数的关系。答案：=将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象上的各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，最后将函数的图象向上平移个单位，即得到函数的图象，即函数的图象。小结：综合利用三角函数的恒等变形将三角函数式化简为最简形式，再进一步研究函数的性质，是解三角函数问题的基本思路。本题也可以进行如下变换：将函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将函数的图象上的各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，最后将函数的图象向上平移个单位，即得到函数的图象，即函数的图象。例11解：=有或，解得或。例12解析：本题考察“五点法”作图的逆应用，根据图象中显示的信息，求出函数中的有关系