高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性课件.ppt

3 2导数的应用 内容索引 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 基础知识自主学习 1 函数的单调性在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 知识梳理 2 函数的极值 1 一般地 求函数y f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 考察f x 在方程的根附近的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 f a f b f a f b 极值 极值 端点 1 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间上为增 减 函数的充分不必要条件 2 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是对任意x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 上的任何子区间内都不恒为零 3 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0 2 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 三次函数在r上必有极大值和极小值 考点自测 1 教材改编 f x x3 6x2的单调递减区间为a 0 4 b 0 2 c 4 d 0 f x 3x2 12x 3x x 4 由f x 0 得0 x 4 单调递减区间为 0 4 答案 解析 2 如图是函数y f x 的导函数y f x 的图象 则下面判断正确的是a 在区间 2 1 上f x 是增函数b 在区间 1 3 上f x 是减函数c 在区间 4 5 上f x 是增函数d 当x 2时 f x 取到极小值 答案 解析 在 2 1 上 导函数的符号有正有负 所以函数f x 在这个区间上不是单调函数 同理 函数在 1 3 上也不是单调函数 在x 2的左侧 函数在 2 上是增函数 在x 2的右侧 函数在 2 4 上是减函数 所以当x 2时 f x 取到极大值 在 4 5 上导函数的符号为正 所以函数在这个区间上为增函数 令g x f x 2x 1 g x f x 21 故选a 3 已知定义在实数集r上的函数f x 满足f 1 3 且f x 的导数f x 在r上恒有f x 2 x r 则不等式f x 2x 1的解集为a 1 b 1 c 1 1 d 1 1 答案 解析 y ex ax y ex a 函数y ex ax有大于零的极值点 则方程y ex a 0有大于零的解 x 0时 ex 1 a ex 1 答案 解析 4 设a r 若函数y ex ax有大于零的极值点 则实数a的取值范围是 1 题型分类深度剖析 第1课时导数与函数的单调性 题型一不含参数的函数的单调性 例1 1 函数y x2 lnx的单调递减区间为a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 令y 0 得0 x 1 单调递减区间为 0 1 答案 解析 2 已知定义在区间 上的函数f x xsinx cosx 则f x 的单调递增区间是 f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 答案 解析 确定函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 思维升华 跟踪训练1 答案 解析 答案 解析 2 已知函数f x xlnx 则f x a 在 0 上递增b 在 0 上递减 因为函数f x xlnx 定义域为 0 所以f x lnx 1 x 0 题型二含参数的函数的单调性 例2已知函数f x ln ex 1 ax a 0 1 若函数y f x 的导函数是奇函数 求a的值 函数f x 的定义域为r 解答 函数y f x 的导函数是奇函数 f x f x 2 求函数y f x 的单调区间 解答 当a 1时 f x 0 得 1 a ex 1 1 由f x 0 得 1 a ex 1 1 当a 0 1 时 综上 当a 1时 f x 在r上单调递减 1 研究含参数的函数的单调性 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为0的点和函数的间断点 3 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性 如f x x3 f x 3x2 0 f x 0在x 0时取到 f x 在r上是增函数 思维升华 跟踪训练2讨论函数f x a 1 lnx ax2 1的单调性 解答 f x 的定义域为 0 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 题型三已知函数单调性求参数 例3 2016 舟山模拟 已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 1 若函数h x f x g x 存在单调递减区间 求a的取值范围 解答 由于h x 在 0 上存在单调递减区间 所以a 1 2 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递减 求a的取值范围 解答 由h x 在 1 4 上单调递减得 引申探究1 本题 2 中 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递增 求a的取值范围 由h x 在 1 4 上单调递增得 当x 1 4 时 h x 0恒成立 解答 a 1 即a的取值范围是 1 2 本题 2 中 若h x 在 1 4 上存在单调递减区间 求a的取值范围 h x 在 1 4 上存在单调递减区间 则h x 0在 1 4 上有解 解答 a 1 即a的取值范围是 1 根据函数单调性求参数的一般思路 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为零 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 3 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 思维升华 跟踪训练3已知函数f x exlnx aex a r 1 若f x 在点 1 f 1 处的切线与直线y x 1垂直 求a的值 解答 2 若f x 在 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 解答 若f x 为单调递减函数 则f x 0在x 0时恒成立 由g x 0 得x 1 由g x 0 得0 x 1 故g x 在 0 1 上为单调递减函数 在 1 上为单调递增函数 此时g x 的最小值为g 1 1 但g x 无最大值 且无趋近值 故f x 不可能是单调递减函数 若f x 为单调递增函数 由上述推理可知此时a 1 故实数a的取值范围是 1 典例 15分 已知函数f x lnx g x f x ax2 bx 其中函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 用分类讨论思想研究函数的单调性 思想与方法系列5 思想方法指导 规范解答 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标准有以下几种可能 1 方程f x 0是否有根 2 若f x 0有根 求出根后判断其是否在定义域内 3 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类方法 返回 解 1 依题意得g x lnx ax2 bx 则g x 2ax b 3分 由函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴得g 1 1 2a b 0 b 2a 1 5分 函数g x 的定义域为 0 由g x 0 得01 7分 综上可得 当a 0时 函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 返回 课时训练 1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 函数f x x 3 ex的导数为f x x 3 ex ex x 3 ex x 2 ex 由函数导数与函数单调性的关系 得当f x 0时 函数f x 单调递增 此时由不等式f x x 2 ex 0 解得x 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知函数f x x3 ax 4 则 a 0 是 f x 在r上单调递增 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 f x 0恒成立 故 a 0 是 f x 在r上单调递增 的充分不必要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知f x 1 x sinx 则f 2 f 3 f 的大小关系正确的是a f 2 f 3 f b f 3 f 2 f c f 2 f f 3 d f f 3 f 2 答案 解析 因为f x 1 x sinx 所以f x 1 cosx 当x 0 时 f x 0 所以f x 在 0 上是增函数 所以f f 3 f 2 故选d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知函数f x x 在 1 上单调递增 则实数a的取值范围是a 1 b 0 0 1 c 0 1 d 0 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由于f x 在 1 上单调递增 则f x 0在 1 上恒成立 由于当x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 江山模拟 已知定义在r上的函数f x 其导函数f x 的大致图象如图所示 则下列叙述正确的是a f b f c f d b f b f a f e c f c f b f a d f c f e f d 答案 解析 依题意得 当x c 时 f x 0 所以函数f x 在 c 上是增函数 因为af b f a 因此c正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2015 课标全国 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0 则使得f x 0成立的x的取值范围是a 1 0 1 b 1 0 1 c 1 1 0 d 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因为f x x r 为奇函数 f 1 0 所以f 1 f 1 0 则g x 为偶函数 g 1 g 1 0 故g x 在 0 上为减函数 在 0 上为增函数 所以在 0 上 当0 x 1时 g x g 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综上 知使得f x 0成立的x的取值范围是 1 0 1 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在 0 上 7 2016 义乌模拟 若函数f x x3 bx2 cx d的单调减区间为 1 3 则b c f x 3x2 2bx c 由题意知 1 x 3是不等式3x2 2bx c 0的解集 1 3是f x 0的两个根 b 3 c 9 b c 12 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 即函数f x 在r上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 f x2 1 即x 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对f x 求导 得f x x2 x 2a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 若函数f x 2x3 3mx2 6x在区间 2 上为增函数 则实数m的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 f x 6x2 6mx 6 当x 2 时 f x 0恒成立 当x 2时 g x 0 即g x 在 2 上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 北京 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 f x 的定义域为r f x ea x xea x b 1 x ea x b 解答 解得a 2 b e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求f x 的单调区间 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时