高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数课件 文 苏教版.pptVIP

2 5指数与指数函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 分数指数幂 1 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿 我们规定 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的运算性质 asat as t as t ast ab t atbt 其中s t q a 0 b 0 知识梳理 0 没有意义 2 指数函数的图象与性质 0 r 几何画板展示 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 1 指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ax a 0 且a 1 的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 2 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 底数a b c d与1之间的大小关系为c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内 指数函数y ax a 0 a 1 的图象越高 底数越大 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 4 函数y a x是r上的增函数 5 函数y a 1 的值域是 0 6 函数y 2x 1是指数函数 考点自测 1 教材改编 若函数f x ax a 0且a 1 的图象经过点p 2 则f 1 答案 解析 2 2016 苏州模拟 已知函数f x ax 2 2的图象恒过定点a 则a的坐标为 由a0 1知 当x 2 0 即x 2时 f 2 3 即图象必过定点 2 3 答案 解析 2 3 3 已知则a b c的大小关系是 答案 解析 c b a 即a b 1 c b a 2 原式 1 2 答案 解析 5 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 由y a2 1 x在 上为减函数 得0 a2 1 1 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一指数幂的运算例1化简下列各式 1 0 解答 原式 2 解答 原式 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 思维升华 跟踪训练1化简 答案 解析 原式 2 21 3 10 1 题型二指数函数的图象及应用例2已知f x 2x 1 1 求f x 的单调区间 解答 因此函数f x 在 0 上递减 在 0 上递增 2 比较f x 1 与f x 的大小 解答 在同一坐标系中 分别作出函数f x f x 1 的图象如图所示 由图象知 当 即x0 log2时 两图象相交 由图象可知 当xf x 1 当x log2时 f x f x 1 当x log2时 f x f x 1 几何画板展示 3 试确定函数g x f x x2的零点的个数 解答 将g x f x x2的零点个数问题转化为函数f x 与y x2的图象的交点个数问题 在同一坐标系中 分别作出函数f x 2x 1 和y x2的图象 图略 有四个交点 故g x 有四个零点 1 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点 判断所给的图象是否过这些点 若不满足则排除 2 对于有关指数型函数的图象问题 一般是从最基本的指数函数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到 特别地 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 3 有关指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象 数形结合求解 思维升华 跟踪训练2已知函数f x 设a b 0 若f a f b 则b f a 的取值范围是 答案 解析 函数的图象如图所示 因为a b 0 f a f b 所以0 5 b 1且1 5 f a 2 所以0 75 bf a 2 几何画板展示 题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3 1 2016 徐州模拟 下列各式比较大小正确的是 1 72 5 1 73 0 6 1 0 62 0 8 0 1 1 250 2 1 70 3 0 93 1 中 y 0 6x是减函数 0 6 1 0 62 答案 解析 2 设函数f x 若f a 1 则实数a的取值范围是 答案 解析 3 1 当a 0时 不等式f a 1可化为 a 7 1 又a 0 3 a 0 当a 0时 不等式f a 1可化为 1 所以0 a 1 所以a 3 综上 a的取值范围为 3 1 几何画板展示 命题点2复合函数的单调性例4 1 已知函数f x m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 答案 解析 令t 2x m 则t 2x m 在区间 上单调递增 在区间 上单调递减 而y 2t为r上的增函数 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上单调递增 则有 2 即m 4 所以m的取值范围是 4 4 2 函数的单调减区间为 答案 解析 1 设u x2 2x 1 y u在r上为减函数 函数f x 的减区间即为函数u x2 2x 1的增区间 又u x2 2x 1的增区间为 1 f x 的减区间为 1 引申探究函数f x 4x 2x 1的单调增区间是 设t 2x 则y t2 2t的单调增区间为 1 令2x 1 得x 0 函数f x 4x 2x 1的单调增区间是 0 答案 解析 0 命题点3函数的值域 或最值 例5 1 函数y 1在区间 3 2 上的值域是 答案 解析 因为x 3 2 2 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则a的值为 答案 解析 令ax t 则y a2x 2ax 1 t2 2t 1 t 1 2 2 当a 1时 因为x 1 1 所以t a 又函数y t 1 2 2在上单调递增 所以ymax a 1 2 2 14 解得a 3 负值舍去 当0 a 1时 因为x 1 1 所以t a 又函数y t 1 2 2在 a 上单调递增 则ymax 1 2 2 14 解得a 负值舍去 综上 a 3或a 1 在利用指数函数性质解决相关综合问题时 要特别注意底数a的取值范围 并在必要时进行分类讨论 2 与指数函数有关的指数型函数的定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 要化归于指数函数来解 思维升华 跟踪训练3 1 已知函数f x 的值域是 8 1 则实数a的取值范围是 答案 解析 3 0 当0 x 4时 f x 8 1 当a x 0时 f x a 1 所以 1 8 1 即 8 1 即 3 a 0 所以实数a的取值范围是 3 0 几何画板展示 1 2 2015 福建 若函数f x 2 x a a r 满足f 1 x f 1 x 且f x 在 m 上单调递增 则实数m的最小值等于 答案 解析 f 1 x f 1 x f x 的对称轴为x 1 a 1 f x 2 x 1 f x 的增区间为 1 m 1 m 1 m的最小值为1 典例 2016 南京模拟 已知函数 a b为常数 且a 0 a 1 在区间 0 上有最大值3 最小值 则a b的值分别为 与指数函数 对数函数的单调性有关的问题 要对底数进行讨论 指数函数底数的讨论 现场纠错系列2 错解展示 现场纠错 纠错心得 解析令t x2 2x x 1 2 1 x 0 1 t 0 答案2 2 返回 解析令t x2 2x x 1 2 1 x 0 t 1 0 若a 1 函数f x at在 1 0 上为增函数 若0 a 1 函数f x at在 1 0 上为减函数 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2016 苏州模拟 设2x 8y 1 9y 3x 9 则x y的值为 答案 解析 27 2x 8y 1 23 y 1 x 3y 3 9y 3x 9 32y x 9 2y 解得x 21 y 6 x y 27 2 函数f x 2 x 1 的图象是 答案 解析 x 1 0 f x 1 排除 又x 1时 f x min 1 排除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 已知a 40 2 b 0 40 2 c 0 40 8 则a b c的大小关系为 由0 20 40 8 即b c 又a 40 2 40 1 b 0 40 2b 综上 a b c 答案 解析 a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 函数y 的值域是 答案 解析 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为4x 0 所以16 4x 16 又因为16 4x 0 所以0 16 4x 16 5 2015 山东改编 若函数f x 是奇函数 则使f x 3成立的x的取值范围为 答案 解析 0 1 f x 为奇函数 f x f x 当x 0时 2x 1 0 2x 1 3 2x 3 解得0 x 1 当x 0时 2x 1 0 2x 1 3 2x 3 无解 x的取值范围为 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2016 浙江改编 已知函数f x 满足f x 2x x r 若f a 2b 则a b的大小关系为 依题意得f a 2a 若f a 2b 则2a f a 2b 2a 2b 又y 2x是r上的增函数 a b 答案 解析 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2016 盐城模拟 不等式 x 4的解集为 答案 解析 1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 原不等式等价为 2 x 4 又函数y 2x为增函数 x2 2x x 4 即x2 3x 4 0 1 x 4 8 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 数形结合法 由图象可知0 2a 1 0 a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 镇江模拟 已知y f x 是定义在r上的奇函数且当x 0时 f x 则此函数的值域为 答案 解析 y f x 是定义在r上的奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 已知函数f x 2ax 2 a为常数 1 求函数f x 的定义域 函数f x 2ax 2对任意实数都有意义 所以定义域为实数集r 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 若a 0 试证明函数f x 在r上是增函数 任取x1 x2 r 且x10 得ax1 2 ax2 2 因为y 2x在r上是增函数 所以有 即f x1 f x2 所以函数f x 在r上是增函数 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 当a 1时 求函数y f x x 1 3 的值域 由 2 知 当a 1时 f x 2x 2在 1 3 上是增函数 所以f 1 f x f 3 即2 f x 32 所以函数f x 的值域为 2 32 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 已知函数f x x a 1 求f x 的单调区间 解答 令t x a 则f x t 不论a取何值 t在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 又y t是单调递减的 因此f x 的单调递增区间是 0 单调递减区间是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 若f x 的最大值等于 求a的值 解答 所以g x x a应该有最小值 2 即g 0 2 从而a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 已知函数f x 1 若a 1 求f x 的单调区间 解答 当a 1时 f x 令t x2 4x 3 由于函数t x2 4x 3在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而y t在r上单调递减 所以f x 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 即函数f x 的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 若f x 有最大值3 求a的值 解答 令g x ax2 4x 3 则f x g x 由于f x 有最大值3 所以g x 应有最小值 1 即当f x 有最大值3时 a的值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 已知函数f x 2a 4x 2x 1 1 当a 1时 求函数f x 在x 3 0 的值域 当a 1时 f x 2 4x 2x 1 2 2x 2 2x 1 2 若关于x的方程f x 0有解 求a的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 关于x的方程2a 2x 2 2x 1 0有解 设2x m 0 等价于方程2am2 m 1 0在 0 上有解 记g m 2am2