三类常见的双曲线系及其应用.docx

三类常见的双曲线系及其应用要点梳理归纳2. 1 与 1(a0，b0) (同一双曲线，焦点在不同轴上.)图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)焦点坐标（，0）（0，）渐近线方程yxyx实轴/实轴长线段A1A2/2a虚轴/虚轴长线段B1B2/2b3、 =1与=1（a0,b0）（共轭双曲线）以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线. 图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)焦点坐标（，0）（0，）渐近线方程yx实轴/实轴长线段A1A2/2a线段B1B2/2b虚轴/虚轴长线段B1B2/2b线段A1A2/2a题型分类解析一、与已知双曲线共渐近线的双曲线系与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系方程为l(l0) (*)或写成 b2x2a2y2k(k0).证明：（1） 当0时，方程(*)可变形为=1, 0.表示中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=x=，与双曲线=1的渐近线相同.（2）当0.表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=x=，与双曲线=1的渐近线相同.由（1）（2）可知，原命题成立.例1求与双曲线1有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程解：设所求双曲线为(0)当0时，a25，b24，c29，则612，解得4此时所求双曲线方程为1.当0时，a24，b25，c29，则612，解得4此时所求双曲线方程为1.例2.求与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点A（-3，2）的双曲线方程.解：设所求双曲线方程为=(0).将A点坐标代入，得=，故所求双曲线方程为=，即=1二、以定直线为渐近线的双曲线系以已知直线AxBy0为渐近线的双曲线系方程为(AxBy)(AxBy)(0)，即A2x2B2y2(0)例3已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=x(a0,b0)，若双曲线上有一点M(x,y)，使ba，则双曲线的焦点（）A.当ab时在x轴上 B.当a0, 双曲线的焦点在x轴上,故选C.例4双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,6)，则其方程是_.解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0.因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y) =，即=(0).将P点坐标代入，得=144，故所求双曲线方程为=144，即=1.例5.以椭圆=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+y=0的双曲线方程是_.解：由=1，得c2=48，设所求双曲线方程为=(0)，即=1.由已知知=c2=48，故所求双曲线方程为=1.例6.以双曲线=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+y=0的双曲线方程是_.解： 由=1，得c2=80.设所求双曲线方程为=(0)，即=1.由已知，得+=80，=60,故所求双曲线方程为=1.三、与已知双曲线共焦点的双曲线系与已知双曲线1(a0，b0)有共同焦点的双曲线系方程1(a2b2).例7求与双曲线1有共同焦点，且过点(2，6)的双曲线方程.分析：根据已知双曲线方程设出所求方程，然后代入已知点求得参数，进而求得双曲线方程.解：设所示双曲线方程为1(3925)，则将点(6，2)代入上