华三角形证明导学案.docVIP

课 题三角形相关证明综合题专题年级九九年级 学习目标与考点分析 熟练运用三角形全等 相似证明定理证明三角形全等相似重点考察全等三角形的性质和判定 结合其他圆 四边形一起考查学习重点重点：掌握三角形全等证明的性质和判定定理并能学会与其他知识熟练运用学习方法 讲练结合 练习巩固 课后总结学习内容与过程一课本内容导入二典例分析2010数学中考相似三角形精选 （2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=26（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比 解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） 3分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 5分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 6分（3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是： 8分设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 9分 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 10分 (2010湖北省荆门市)23(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BCCA43，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：ACCDPCBC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S第23题图 23解：(1)AB为直径，ACB90又PCCD，PCD90而CABCPD，ABCPCDACCDPCBC；3分第23题图(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BEPC于点EP是AB中点，PCB45，CEBEBC2又CABCPB，tanCPBtanCABPE从而PCPEEC由(1)得CDPC7分(3)当点P在AB上运动时，SPCDPCCD由(1)可知，CDPCSPCDPC2故PC最大时，SPCD取得最大值；而PC为直径时最大，SPCD的最大值S5210分（2010年眉山）25如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由答案：25（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的， AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB （1分） CAC =BAB ACC =ABB （3分）又AEC=FEBACEFBE （4分） （2）解：当时，ACEFBE （5分） 在ACC中，AC=AC ， （6分） 在RtABC中， ACC+BCE=90，即， BCE= ABC=， ABC=BCE （8分） CE=BE 由（1）知：ACEFBE， ACEFBE（9分）1、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BDAC，点B，A，E在同一条直线上. (1) 求证：ABDCAE；(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长. 答案：(1) BDAC，点B，A，E在同一条直线上， DBA = CAE,又 , ABDCAE. (2) AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ， AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， D =90, 由（1）得 E =D = 90, AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，在RtBCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 , BC =a . （2010山西26在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由ABDE（第26题 图1）FCOMNxy圖1NyPGHxABCDEOFM26. 解 (1) 如图1，作BHx轴于点H，则四边形OHBC为矩形， OH=CB=3，AH=OA-OH=6-3=3， 在RtABH中，BH=6， 点B的坐标为(3，6)。 (2) 如图1，作EGx轴于点G，则EG/BH， OEGOBH，= ，又OE=2EB， =，=，OG=2，EG=4，点E的坐标为(2，4)。 又点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y=kx+b，则，解得k= -， b=5。直线DE的解析式为：y= -x+5。 (3) 答：存在。 j 如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形。作MPy轴于点P， 则MP/x轴，MPDFOD，=。 又当y=0时，-x+5=0，解得x=10。F点的坐标为(10，0)，OF=10。 在RtODF中，FD=5，=，yPNPxABCDEOFM圖2 MP=2，PD=。点M的坐标为(-2，5+)。 点N的坐标为(-2，)。 k 如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM 为菱形。延长NM交x轴于点P，则MPx轴。yPNxABCDEOFM圖3 点M在直线y= -x+5上，设M点坐标为 (a，-a+5)，在RtOPM中，OP 2+PM 2=OM 2， a2+(-a+5)2=52，解得a1=4，a2=0(舍去)， 点M的坐标为(4，3)，点N的坐标为(4，8)。 l 如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为 菱形。连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相 垂直平分，yM=yN=OP=，-xM+5=，xM=5， xN= -xM= -5，点N的坐标为(-5，)。 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(-2，)， N2(4，8)，N3(-5，)。 2（2010，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD中，ADC=90,ADBC,点E在BC上，点 F在AC上，(1)求证：ADFCAF （2）当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积【答案】证明： （1）在梯形ABCD中，ADBCDAF=ACED FC=AEBDFC=DAF+ADF, AEB= A C E+CAEADF=CAEADFCAF(2) AD=8,DC=6，ADC=90，AC=10又F是AC的中点，AF=5ADFCAF CE=E是BC的中点 BC=直角梯形ABCD的面积=(+8)6=3（2010，安徽芜湖）如图，BD是O的直径，OAOB,M是劣弧上一点，过点M作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BCMP交O于C点，求BC的长【答案】（1）证明：连结OM, MP是O的切线，OMMP OMD +DMP=90OAOB，OND +ODM=90MNP=OND, ODN=OMD DMP=MNPPM=PN（2）解：设BC交OM于E, BD=4, OA=OB=2, PA=OA=3PO=5BCMP, OMMP, OMBC, BE=BCBOM +MOP=90,在RtOMP中，MPO +MOP=90BOM=MPO.又BEO=OMP=90OMPBEO ,BE= BC=4（2010，浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限PAx轴于点A，PBy轴于点B一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且SPBD4，（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. yxPBDAOC【答案】（1）在中，令得 点D的坐标为（0，2）（2） APOD RtPAC RtDOC AP6又BD由SPBD4可得BP2P(2，6) 把P(2，6)分别代入与可得一次函数解析式为：y2x+2 ，反比例函数解析式为： （3）由图可得x2 全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答课内练习与训练一、倍长中线（线段）造全等 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在