江苏省姜堰市高三数学下学期期初考试试题（含解析）苏教版.doc

江苏省姜堰市2013届高三下学期期初考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5分）已知集合m=1，x2，n=1，x，且集合m=n，则实数x的值为0考点：集合的相等.专题：阅读型分析：根据集合相等的定义与集合中元素的互异性，判定x满足的条件，求出即可解答：解：集合m=n，x2=x1x=0，答案是0点评：本题考查集合的相等与集合中元素的互异性2（5分）计算i2013=i（i为虚数单位）考点：虚数单位i及其性质.专题：计算题分析：由i2=1，结合指数幂的运算可得i2013=（i4）503i，代入计算即可解答：解：i2013=i2012i=i5034i=（i4）503i，而i4=（i2）2=（1）2=1，故上式=i故答案为：i点评：本题考查虚数单位的性质，属基础题3（5分）已知向量=（cos36，sin36），=（cos24，sin（24），则=考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系.专题：计算题；平面向量及应用分析：直接利用向量的数量积的坐标表示，然后结合两角和的余弦公式进行化简即可求解解答：解：由题意可得，=cos36cos24+sin36sin（24）=cos36cos24sin36sin24=cos（36+24）=cos60故答案为：点评：本题主要考查了向量 的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题4（5分）圆x2+y26x+8y=0的半径为5考点：圆的一般方程.专题：直线与圆分析：把圆的方程化为标准形式，即可求得半径解答：解：圆x2+y26x+8y=0 即 （x3）2+（y+4）2=25，故此圆的半径为5，故答案为5点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题5（5分）双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值解答：解：双曲线，a=1，b=，c=，双曲线的离心率为e=，故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口6（5分）已知数列an满足a1=1，an+1=2an，则该数列前8项之和s8=255考点：等比数列的前n项和；等比数列.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得，数列an是以1为首项以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，数列an是以1为首项以2为公比的等比数列=255故答案为：255点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题7（5分）点m（1，m）在函数f（x）=x3的图象上，则该函数在点m处的切线方程为y=3x2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用分析：先求切线斜率，即y|x=1，然后由点斜式即可求出切线方程解答：解：f（x）=3x2，f（x）|x=1=3，即函数y=x3在点（1，m）处的切线斜率是3，又m=f（1）=1，所以切线方程为：y1=3（x1），即y=3x2故答案为：y=3x2点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程问题，函数在某点处的导数为该点处的切线斜率8（5分）将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整个数组的平均数是45考点：众数、中位数、平均数.专题：概率与统计分析：利用加权平均数的计算公式进行计算用20个数的总和除以20即可解答：解：这两组数据的总和为1050+1040=900，那么这20个数的平均数是=45故答案为：45点评：本题考查加权平均数的计算方法一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数9（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+x+1（x，a，br），若对任意实数x，f（x）0恒成立，则实数b的取值范围是，+）考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性.专题：计算题；函数的性质及应用分析：要使得f（x）0恒成立，结合已知函数解析式可知，只有让a=0且二次函数开口向上且与x轴没有交点，结合二次函的性质可求解答：解：f（x）=ax3+bx2+x+1的定义域为r当a0时，函数的值域为r与题意矛盾故a=0若使得f（x）0恒成立，即bx2+x+10恒成立则根据二次函数的性质可知b故答案为：，+）点评：本题主要考查了函数的恒成立为题的求解，解题的关键是灵活利用函数知识10（5分）（2013黄埔区一模）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，则l1l2的充要条件是a=1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系.专题：计算题分析：由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案解答：解：直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，k1=，k2=若l1l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=1又a=3时，两条直线重合故答案为1点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为1或311（5分）（2011江苏模拟）已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是1，5考点：函数最值的应用.专题：计算题；综合题分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值范围解答：解：a+b+c=9，a+c=9b，ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24（a+c）b； 又ac，24（a+c）b，即24（9b）b，整理得b26b+50，1b5；故答案为1，5点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题12（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，且当x0时，f（x）=，若对任意的xa，a+2不等式f（x+a）f（x）恒成立，则a的最大值为4考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用分析：由当x0时，f（x）=，由函数是奇函数，可得当x0时，f（x）=，从而可知f（x）在r上是单调递增函数，且满足f（x）=f（3x），再根据单调性把不等式f（x+a）f（x）转化为具体不等式在a，a+2恒成立，分离参数转化为函数最值，即可得出答案解答：解：当x0时，f（x）=，函数是奇函数，当x0时，f（x）=，f（x）=，f（x）在r上是单调递增函数，且满足f（x）=f（3x），不等式f（x+a）f（x）=f（3x）在a，a+2恒成立，x+a3x在a，a+2恒成立，即：x在a，a+2恒成立，a+2，解得a4故答案为：4点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性、单调性的应用，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性13（5分）已知数列an的通项公式为an=n，若对任意的nn*，都有ana3，则实数k 的取值范围为6k12考点：数列的函数特性.专题：等差数列与等比数列分析：根据对所有nn*不等式ana3恒成立，可得，可解得6k12，验证即可解答：解：由题意可得k0，对所有nn*不等式ana3恒成立，6k12经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+）上递增，或在（1，3）上递减，（4，+）上递增，符合题意，故答案为：6k12点评：本题考查数列中的恒成立问题，考查学生的计算能力，属基础题14（5分）已知，r，则的最大值为2+考点：三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域.专题：压轴题；三角函数的图像与性质分析：设a=sin，b=sin，c=sin，则a，b，c1，1，不妨设 abc，则原式=+分析可得要使原式取得最大值，必须有a=1，c=1，b=0，由此原式的最大值解答：解：由于sin、sin、sin1，1，设a=sin，b=sin，c=sin，则a，b，c1，1不妨设 abc，令f=+再采用固定变量法：对于固定的b，c，f随a的增大而增大，所以当原式取最大值时，a一定取1，对于固定的a，b，f随c的减小而增大，所以当原式取最大值时，c一定取1此时，原式=+令g（b）=+ （1b1），g2（b）=2+2，当b=0时，g2（b）最大，故g（b）的最大值为综上可得，要使原式取得最大值，必须有a=1，c=1，b=0，故原式的最大值为 2+，故答案为 2+点评：本题主要考查正弦函数的值域，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c（1）求证：acosb+bcosa=c；（2）若acosbbcosa=c，试求的值考点：余弦定理.专题：计算题；解三角形分析：（1）直接利用余弦定理对acosb+bcosa进行化简即可证明（2）由结合（1）acosb+bcosa=c及已知acosbbcosa=c可求bcosa=，然后利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可求解答：证明：（1）acosb+bcosa=c（2）由（1）acosb+bcosa=cacosbbcosa=cacosb=，bcosa=5cosasinb=sinc=sin（a+b）=sinacosb+sinbcosa4sinbcosa=sinacosb=4点评：本题主要考查了余弦定理、和差角公式及同角基本关系的简单应用，解题的关键是熟练应用公式16（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，已知平面aa1c1c平面abcd，且ab=bc=ca=，ad=cd=1（1）求证：bdaa1；（2）若e为棱bc上的一点，且ae平面dcc1d1，求线段be的长度考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质.专题：空间位置关系与距离分析：（1）取ac的中点o，易证得b、o、d三点共线，进而bdac，由平面aa1c1c平面abcd，结合面面垂直的性质定理可得bd平面aa1c1c，再由线面垂直的性质得到bdaa1；（2）由ae平面dcc1d1，结合线面平行的性质定理可得aecd，结合已知及等边三角形三线合一，可得e为bc的中点，进而得到线段be的长度解答：证明：（1）取ac的中点o，连接do，bo由ad=cd，ab=bc可得doac，boac，故b、o、d三点共线即bdac，又平面aa1c1c平面abcd，平面aa1c1c平面abcd=ac，bd平面abcdbd平面aa1c1c又aa1平面aa1c1cbdaa1；解：（2）ab=bc=ca=，ad=cd=1故dca=dac=30，abc为等边三角形ae平面dcc1d1，ae平面abcd，平面abcd平面dcc1d1=cd故aecd，故cae=30根据等边三角形三线合一，可得ae为abc中bc边上的中线故be=bc=点评：本题考查的知识点是面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，（1）的关键是证明bod三点共线，（2）的关键是分析出ae是正三角形abc的中线17（14分）已知函数f（x）=，xr（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）已知xr，求函数f（sinx）的最大值和最小值（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值.专题：导数的综合应用分析：（1）由函数的解析式，求出导函数的值，进而分析函数的单调性和极值点，代入函数的解析式可得函数f（x）的极大值和极小值；（2）由正弦函数值域可得sinx1，1，结合（1）中函数的单调性分析函数f（x）在区间1，1上的极值和端点的函数值，对照后可得答案（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，故函数g（x）只有一个零点，即函数g（x）的极大值与极小值同号解答：解；（1）f（x）=，f（x）=2x2x1，令f（x）=0，则x=或x=1由x或x1时，f（x）0，此时函数为增函数；x1时，f（x）0，此时函数为减函数；故当x=时，函数f（x）的极大值当x=1时，函数f（x）的极小值（2）令t=sinx，t1，1则f（sinx）=f（t）=由（1）可得f（t）在1，上单调递增，在，1上单调递减又f（1）=，f（）=，f（1）=故函数f（sinx）的最大值为，最小值为（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，则函数g（x）的极大值+a与极小值+a同号即（+a）（+a）0解得a或a点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的最值，利用导数求极值，函数的零点，是导函数问题的综合应用，难度中档18（16分）如图，海岸线man，现用长为6的拦网围成一养殖场，其中bma，cna（1）若bc=6，求养殖场面积最大值；（2）若ab=2，ac=4，在折线mbcn内选点d，使bd+dc=6，求四边形养殖场dbac的最大面积（保留根号）考点：解三角形的实际应用.专题：解三角形分析：（1）设ab为x，ac为y，根据bc=6，结合余弦定理及基本不等式可得xy的范围，代入三角形面积公式，可得养殖场面积最大值；（2）由ab=2，ac=4，结合余弦定理，可求出bc长，若四边形养殖场dbac的最大面积，则dbc面积最大即可，根据椭圆的定义及几何特征，d为以bc为焦点的椭圆的短轴顶点时满足条件解答：解：（1）设ab=x，ac=y，x0，y0bc2=x2+y22xycos2xy2xy（），xy12，s=xysin3所以，abc面积的最大值为 3，当且仅当x=y时取到（2）ab=2，ac=4，bc=2，由db+dc=6，知点d在以b、c为焦点的椭圆上，sabc=2为定值只需故四边形养殖场dbac的面积最大时，仅需dbc面积最大，需此时点d到bc的距离最大，即d必为椭圆短轴顶点，sbcd面积的最大值为 ，因此，四边形acdb面积的最大值为 2+点评：本题考查的知识点是解三角形的实际应用，余弦定理，椭圆的定义及几何性质，难度较大，属于难题19（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知f1，f2分别是椭圆e：的左、右焦点，a，b分别是椭圆e的左、右顶点，且（1）求椭圆e的离心率；（2）已知点d（1，0）为线段of2的中点，m 为椭圆e上的动点（异于点a、b），连接mf1并延长交椭圆e于点n，连接md、nd并分别延长交椭圆e于点p、q，连接pq，设直线mn、pq的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数，使得k1+k2=0恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质.专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由，得，从而有a+c=5（ac），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点d（1，0）为线段of2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设m（x1，y1），n（x2，y2），p（x3，y3），q（x4，y4），则直线md的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把p、q坐标用m、n坐标表示出来，再根据三点m、f1、n共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案解答：解：（1），a+c=5（ac），化简得2a=3c，故椭圆e的离心率为（2）存在满足条件的常数，点d（1，0）为线段of2的中点，c=2，从而a=3，左焦点f1（2，0），椭圆e的方程为设m（x1，y1），n（x2，y2），p（x3，y3），q（x4，y4），则直线md的方程为，代入椭圆方程，整理得，从而，故点同理，点三点m、f1、n共线，从而x1y2x2y1=2（y1y2）从而故，从而存在满足条件的常数，点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题20（16分）定义数列an：a1=1，当n2 时，an=（1）当r=0时，sn=a1+a2+a3+an求：sn； 求证：数列s2n中任意三项均不能够成等差数列（2）若r0，求证：不等式（nn*）恒成立考点：数列与不等式的综合；等差关系的确定.专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）通过求出前8项猜出数列a2k1，a2k（nn*）均为等比数列，再证明即可，利用等比数列的前n项和公式即可得出sn，可用反证法证明；（2）利用（1）的结论和裂项求和即可证明解答：（1）解：当r=0时，计算数列的前8项，得1，1，2，2，4，4，8，8，从而才出数列a2k1，a2k（nn*）均为等比数列a2k=a2k1=2a2k2，a2k+1=2a2k=2a2k1，数列a2k1，a2k（nn*）均为等比数列，s2k=2（a1+a3+a2k1）=2k+12；s2k1=s2k2+a2k1=2k2+2k1=32k12，证明：（反证法）假设数列s2n中存在三项sm，sn，sp（m，n，pn*，mnp）能够成等差数列即2sn=sm+sp成立，由于m，n，p均为偶数，设m=2m1，n=2n1，p=2p1，（m1，n1，p1n*），即，而等式的左边是偶数，右边是奇数，因此矛盾故假设不成立因此原结论成立（2）证明：a2k=a2k1+r=2a2k2+r，a2k+r=2（a2k2+r），数列a2k+r是以1+2r为首项，2为公比的等比数列，由a2k+1=2a2k=2（a2k1+r），a2k+1+2r=2（a2k1+2r），a2k1+2r是以1+2r为首项，2为公比的等比数列2r=不等式=r0，不等式（nn*）恒成立点评：本题分奇偶项给出数列的通项公式，先猜想、后证明是经常采用的方法对于含有“任意”两个字的问题证明时可以考虑反证法熟练掌握裂项求和的方法、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的基本性质是解题的关键三、【选做题】请考生在21、22、23、24四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分21（10分）（2008海南）如图，过圆o外一点m作它的一条切线，切点为a，过a作直线ap垂直直线om，垂足为p（1）证明：omop=oa2；（2）n为线段ap上一点，直线nb垂直直线on，且交圆o于b点过b点的切线交直线on于k证明：okm=90考点：与圆有关的比例线段.专题：压轴题分析：（1）在三角形oam中考虑，因为ma是圆o的切线，所以oaam，从而由射影定理即得；（2）结合（1）问的结论，利用比例线段证明两个三角形onp、omk相似，通过对应角相等即可得解答：证明：（1）因为ma是圆o的切线，所以oaam，又因为apom，在rtoam中，由射影定理知oa2=omop，故omop=oa2得证（2）因为bk是圆o的切线，bnok，同（1）有：ob2=onok，又ob=oa，所以omop=onok，即，又nop=mok，所以onpomk，故okm=opn=90即有：okm=90点评：本题考查的高考考点是圆的有关知识及应用、切割线定理的运用，易错点：对有关知识掌握不到位而出错，高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，它是我们的得分点之一22（10分）已知矩阵m=有特征值1=4及对应的一个特征向量（1）求矩阵m；（2）求曲线5x2+8xy+4y2=1在m的作用下的新曲线方程考点：特征值与特征向量的计算.专题：计算题分析：（1）由矩阵m=有特征值1=4及对应的一个特征向量，可得=，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩阵m；（2）设曲线上任一点p（x，y），p在m作用下对应点为p（x，y），则=，即，代入曲线5x2+8xy+4y2=1后化简可得曲线5x2+8xy+4y2=1在m的作用下的新曲线方程解答：解：（1）m=，则=即2+3b=8，2c+6=12解得b=2，c=3m=（2）设曲线上任一点p（x，y），p在m作用下对应点为p（x，y），则=即即代入曲线5x2+8xy+4y2=1得x2+y2=2即曲线5x2+8xy+4y2=1在m的作用下的新曲线方程为x2+y2=2点评：本题考查的知识点是特征值与特征向量的计算，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线的极坐标方程为sin（）=3（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知p为椭圆c：上一点，求p到直线的距离的最大值考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；点的极坐标和直角坐标的互化.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；（2）利用椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出解答：解：（1）把直线的极坐标方程为sin（）=3展开得，化为sincos=6，得到直角坐标方程xy+6=0（2）p为椭圆c：上一点，可设p（4cos，3sin），利用点到直线的距离公式得d=当且仅当sin（）=1时取等号p到直线的距离的最大值是点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性是解题的关键24不等式选讲设x，y，z为正数，证明：2（x3+y3+z3）x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）考点：不等式的证明.专题：证明题；压轴题分析：先将2（x3+y3+z3）分解成（x3+y3）+（z3+x3）+（y3+z3），再对每一组利用基本不等式进行放缩即得解答：证明：因为x2+y22xy0（2分）所以x3+y3=（x+y）（x2xy+y2）xy（x+y）（4分）同理y3+z3yz（y+z），z3+x3zx（z+x）（8分）三式相加即可得2（x3+y3+z3）xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）又因为xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）所以2（x3+y3+z3）x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）点评：本题主要考查不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫