高考数学一轮复习 第十章 算法初步 第4讲 第1课时 不等式的证明配套课件 理.ppt

第4讲第1课时 不等式选讲不等式的证明 1 常用的证明不等式的方法 1 比较法 比较法包括作差比较法和作商比较法 2 综合法 利用某些已经证明过的不等式 例如算术平均数与几何平均数的定理 和不等式的性质 推导出所要证明的不等式 3 分析法 证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已具备 那么就可以断定原不等式成立 4 反证法 可以从正难则反的角度考虑 即要证明不等式a b 先假设a b 由题设及其他性质 推出矛盾 从而肯定a b 凡涉及的证明不等式为否定命题 唯一性命题或含有 至多 至少 不存在 不可能 等词语时 都可以考虑用反证法 5 放缩法 要证明不等式a b成立 借助一个或多个中间 变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法 2 绝对值不等式 1 含绝对值不等式的解法 设a 0 f x a f x a 2 理解绝对值的几何意义 a b a b a b a 2 已知x y r 满足x2 2xy 4y2 6 则z x2 4y2的最 小值为 4 的最大值为 考点1 比较法证明不等式 例1 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明 2a3 b3 2ab2 a2b 2a3 2ab2 a2b b3 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 又 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 a b a b 2a b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 规律方法 比较法证不等式的步骤可归纳为 作差并化简 其化简目标应是n个因式之积或完全平方 式或常数的形式 判断差值与零的大小关系 必要时需进行讨论 得出结论 例2 已知正数a b 求证 aabb abba 思路点拨 根据同底数幂的运算法则 可考虑作商比较法 规律方法 1 由于所证不等式对于a b具有轮换对称性 故不妨设a b 0 这样处理既不影响结果 又可避免后面的讨论 尤其是有三个或三个以上的字母 分类讨论不太可能 这种方法显得更加便利 2 比较法的关键是第二步的变形 一般说来 变形越彻底 对下一步的判断就越有利 考点2 综合法证明不等式 例3 2017年新课标 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 证明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 当且仅当a b 1时 等号成立 2 因为 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 2 3 a b 24 a b 2 3 a b 34 所以 a b 3 8 因此a b 2 当且仅当a b 1时 等号成立 规律方法 综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件 综合法证明不等式的逻辑关系是 a b1 b2 bn b 及从已知条件a出发 逐步推演不等式成立的必要条件 推导出所要证明的结论b 互动探究 1 2017年江苏 已知a b c d为实数 且a2 b2 4 c2 d2 16 证明 ac bd 8 证明 由柯西不等式可得 2 2017年广东调研 已知函数f x 2x 1 考点3 分析法证明不等式 例4 2017年广东广州二模 1 已知a b c 1 2 若对任意实数x 不等式 x a 2x 1 2恒成立 求实数a的取值范围 1 证明 因为a b c 1 所以 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a2 b2 c2 2 a b c 3 a2 b2 c2 5 于 f x min 2 2 解 设f x x a 2x 1 则 对任意实数x 不等式 x a 2x 1 2恒成立 等价 规律方法 分析法证明不等式 就是 执果索因 从所证的不等式出发 不断用充分条件代替前面的不等式 直至使不等式成立的条件已具备 就断定原不等式成立 当证题不知从何入手时 有时可以运用分析法而获得解决 特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法 用分析法论证 若a 则b 这个命题的模式是 欲证命题b为真 只需证明命题b1为真 从而又只需证明命题b2为真 从而又 只需证明命题a为真 今已知a真 故b必真 简写为 b b1 b2 bn a 互动探究 证明 要证的不等式 即为 即证1 cos cos sin sin 2cos cos 只需证1 cos 结论显然成立 故原不等式成立 考点4 反证法证明不等式 易错 易混 易漏 放缩法证明不等式中正确把握放缩的度 失误与防范 1 在利用放缩法解题时 一定要注意经过放缩后的结果要尽量接近结论并且有利于运算 2 在利用放缩法解题