第4章群环域习题(最新).doc

应用离散数学 群环域第4章：群、环、域4.1 代数运算习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）集合关于普通的加法和普通乘法运算，其中是一个正整数。（2）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（3）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（4）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。（5）所有阶实可逆矩阵集合关于矩阵加法和矩阵乘法运算。对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）任意，所以对普通的加法运算封闭。，所以对普通的乘法运算封闭。 （2）2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）正实数集合和*运算，其中*运算定义为：（2）。*运算定义为：对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）不封闭。例如， 。 （2）封闭。，所以*运算在上是封闭的。， 有：，而，因为不恒成立，即，所以不满足交换律。因为，所以，所以满足结合律。又因为，所以满足等幂律。设为单位元，则因有，即，由的任意性可知，单位元不存在。3. 设，这里是有理数集合，*为上的二元运算，（1）*运算在上是否可交换、可结合？是否为等幂的？（2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元。（3）*运算在上是否满足消去律？解：（1）， 所以，故*运算在上不可交换。又，有所以，故*运算在上可结合。又，所以*运算在上不等幂。（2）*运算在上的单位元是，存在逆元的元素的逆元是，且的可逆条件是，不存在零元。（3）若 即 ，也即，所以，也就是，故，所以满足左消去律，同理可证满足右消去律，故满足消去律。4. 为实数集合，定义以下六个函数。有，（1）指出哪些函数是上的二元运算。（2）若是上的二元运算，说明是否可交换的、可结合的、等幂的？（3）若是上的二元运算，求单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。（4）若是上的二元运算，说明是否满足消去律。解：（1）这6个都是上的二元运算。 （2）它们的可交换性、可结合性、等幂性、单位元、零元判断如下： 函数交换结合 等幂单位元 零元 为0 为1 为0 （3）的逆元为，的逆元为。（4）略5. 设，问下面定义的运算在上是否封闭？对于封闭的二元运算，请说明运算*是否满足交换律、结合律，并在存在的情况下求出运算*的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1），是与的最大公因数。（2），是与的最小公倍数。（3）大于等于和的最小整数。（4）质数的个数，其中。解：（1）封闭。因为，为与的因数，故。交换律和结合律都满足。单位元没有，1是零元。 （2）不封闭。例如， ，。 （3）封闭。交换律和结合律满足。单位元是1，零元是10。 （4）不封闭。例如，。4.2 半群与群习题4.21. 设是所有形如的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。试问是半群吗？是有么半群吗？这里是实数。解：任取的2个元素，是一个代数系统。又因为矩阵的乘法满足结合律，所以是一个半群。 又因为，只要，则 ，对任何成立，即是左单位元（不论取何值）。因此单位元不存在（若单位元则左右单位元都存在且相等还唯一），即不是有么半群。事实上，右单位元确实不存在，因为不论取何值不可能对任何成立，所以右单位元不存在。 因此单位元不存在不是有么半群。2. 在正实数集合上定义运算*如下试问是半群吗？是有么半群吗？解： 任取中的3个元素 ，所以是一个代数系统。，即是一个半群。如果存在单位元，则，可得，所以没有单位元，所以不是有幺半群。3. 对自然数集合定义运算和如下：，试问和是半群吗？是有么半群吗？ 解：显然都满足运算的封闭性，所以和都是代数系统。显然都满足运算的结合律，所以和都是半群。有单位元“1”，所以是有么半群。没有单位元，所以不是有么半群。4. 设是一个半群，它有一个左零元，令证明也构成一个半群。5. 在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。证：有么半群中的么元显然不可能等于任一个右零元。设有一个右零元，它的右逆元为，则，因为，所以，即，导致矛盾，因此一个右零元不可能有右逆元。6. 设是一个多于一个元素的集合，是上所有函数组成的集合，证明有么半群有多于一个的右零元，但没有左零元。这里表示复合运算。 证： 因至少含有2个元，不妨设，且，定义如下两个映射： ， 则因为 ， 所以，即和是的右零元，所以说有多于一个的右零元。下面证明无左零元，用反证法，设有左零元，则 有： 这与矛盾，所以无左零元。7. 设为整数集合，在上定义二元运算如下：问关于运算能否构成群？为什么？解：易证Z关于运算是封闭的，且对任意有 ，结合律成立。2是运算的么元。，是关于运算的逆元。纵上所述，够成群。8. ，证明是一个群，这里是复合运算。证：，且，对于任意的，有又，得，故运算在上是封闭的。恒等变换，从而有单位元。，取，有 故可逆，且。所以是一个群。9. 设，证明是一个群，这里，运算表示将代换到中所在位置。证： 从运算表上可以看出，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为，每个元都有逆元，所以构成一个群。10. 设。在上定义六个函数如下：，令为这六个函数构成的集合，是复合运算。（1）给出的运算表。（2）验证是一个群。证：（1）建造如下的运算表 （2）从表上可以看出，函数的复合运算在G上具有封闭性，有可结合性，有么元，的逆元为，的逆元为，的逆元为，与互为逆元。故是一个群。11. 在群中计算下列元素的幂：，解： ， ， ， ， ， 12 设是一个群，证明，13. 设，对于上的二元运算“模7乘法”：构成一个群。请（1）给出的运算表。（2）给出每个元的逆元。（3）给出每个元的次数。解：（1） 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 3 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1（2）逆元： ，。（3）元素1，2，3，4，5，6的次数分别为1，11，5，2，3，6。14. 设，对于上的二元运算“模15乘法”：构成一个群。请（1）给出的运算表。（2）给出每个元的逆元。（3）给出每个元的次数。解：（1） 1 2 4 7 8 11 13 14 1 1 2 4 7 8 11 13 14 2 2 4 8 14 1 7 11 13 4 4 8 1 13 2 14 7 11 7 7 14 13 4 11 2 1 8 8 8 1 2 11 4 13 14 7 11 11 7 14 2 13 1 8 4 13 13 11 7 1 14 8 2 2 14 14 13 11 9 7 4 2 1 （2）逆元：， （3）元素1，2，4，7，8，11，13，14的次数分别为1，4，2，4，4，2，4，2。4.3 群的性质、循环群习题4.31. 设为群，若有，证明为交换群。证：，因为有，所以有， 因为，即，又因为为群，所以为交换群。2. 设是群，证明是交换群的充要条件是有。证：充分性： 条件已知，由于是群，运算满足结合律和消去律，有 ，故，所以是交换群。必要性： 条件已知是交换群，运算满足结合律和交换律，有，即 证毕。3. 设为群，并且对任意的都有，证明是交换群。证：因为为群，所以运算满足消去律和结合律，又有，所以 从左边消去和右边消去后可得 即对上式使用消去律，有 （1） (2)由（1）和（2）可推出：对使用消去律，则有。所以是交换群。4. 设为有限半群，且满足消去律，证明是群。证：对于，考虑集合由封闭性可知，又由的有限性，所以也是有限集。故必有，使得 即 由消去律可得，即有 可见，的逆元。 因此，是群。5. 设为群，证明6. 设是群，且。如果且与互质，证明。证：令，由可知从而有。又由。可知 即。再根据 得。同理有，又。从而知道是和的公因子。因为与互质，所以。这就证明了和同理可证，即是和的公倍数。由于与互质，必有。 综合前边的结果得。即。7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。证：若为循环群，则，使得，所以，使得，所以，即满足交换律，也即是交换群。不是所有的交换群都是循环群，例如：Klein四元群是交换群，但不是循环群。8. 证明由1的次复根的全体所组成的集合与复数的乘法构成一个阶循环群。证：由代数的知识可知，1的次复根的全体所组成的集合为，若，则；若，则存在，使得，而 。因此关于数的乘法是封闭的。数的乘法运算满足结合律，是的么元，因为， 。 ，都存在，使得，所以的逆元存在。故是一个群。，都有，故是群的一个生成元，因此是循环群。 9. 阶数为5、6、14、15的循环群的生成元分别有多少个？ 解： 设是阶数为5的循环群的生成元，则因在比5小的正整数中有且仅有，3，4与5互质，所以也是生成元，因此生成元个数为4。 设是阶数为6的循环群的生成元，则因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以也是生成元，因此生成元个数为2。设是阶数为14的循环群的生成元，则因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，13与14互质，所以也是生成元，因此生成元个数为6。设是阶数为15的循环群的生成元，则因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，13，14与15互质，所以也是生成元，因此生成元个数为7。10. 设，对于上的二元运算“模12乘法”：（1）证明构成一个群。（2）求中每个元素的次数。（3）是循环群吗？（1）证：， 所以 即满足结合律。 又由下表 1 5 7 11 1 1 5 7 11 5 5 1 11 7 7 7 11 1 5 11 11 7 5 1得单位元1，而且每个元素都存在逆元，综上可知构成一个群。(2) 1,5,7,11的次数分别为1，5，7，11。(3)4.4 子群、置换群习题4.41. 给出群的全部子群。 解：群的平凡子群两个：和 非平凡子群两个： 子群的左陪集有8个：这8个左陪集构成了的一个划分。子群的左陪集有1个：这1个左陪集构成了的一个划分。子群的左陪集有2个： ，这2个左陪集构成了的一个划分。子群的左陪集有4个： ，这4个左陪集也构成了的一个划分。2. 设，对上的二元运算“模12乘法”：构成一个群，请求出的所有子群。3. 设是群，是其子群，任给，令证明是的子群（称为的共轭子群）证：由于非空，可知非空。，即存在使得，有 因为为子群，有，从而。所以是的子群。4. 设是群，和是其子群，证明和是的子群当且仅当，其中，证：（1）充分性。假设，需要证明是子群。因，故，从而非空。，这里，有 ，记由可知，使得，从而 由子群的判定定理，是的子群。 （2）必要性。已知是的子群，需要证明。对于，因是子群，故。于是，使得，从而。因，故。证得。同理可证。从而有。故是的子群当且仅当。同理可证是的子群当且仅当。5. 设是群，是的子集，证明是的子群当且仅当，这里， 证：（1）根据的定义： ，因为是的子集，所以显然有：。又因为中任意元素可以写成，所以，还因为中任意元素可以写成，所以，因此 （2），因为，所以 由子群的判定定理知，是的子集。6. 某一通讯编码的码字，其中和为数据位，和为校验位（都是0或1），并且满足，这里是模2加法。设是所有这样的码字构成的集合。在上定义二元运算如下：证明构成一个群，且是的子群，其中是长度为7的位串构成的集合。7. 设和分别是群的阶子群，若互质，证明。 证：假设不然，则存在，且。于是也是的生成元，从而，所以与互质矛盾。8. 设是循环群，和是它的两个子群。证明，这里是和的最小公倍数。9. 设5阶置换为，计算，。解： 10. 设，写出上的所有4元置换。11. 列出4元对称群的运算表，求出单位元，每个元的逆元，每个元的次数以及它的所有子群。4.5 陪集与商群习题4.51. 集合在“模20加法”下构成一个群。设是由5生成的的一个子群。（1）求出的每个元素及其次数。（2）求在中的所有左陪集。2. 求12阶循环群的子群在中的所有左陪集。证：是一个左陪集；取且,则又是一个左陪集；取不属于的中的元素，如，则又是左陪集；取不属于 在中元素，如，则又是左陪集。于是，即在中的所有左陪集有。3. 设是群的子群，证明的所有不同左陪集（右陪集）中有且仅又一个在下构成的子群。证：设中的么元为。因为，所以是一个陪集。若另一个陪集也是的子群，那么，故必有，使得，即有。对于，有，所以；反之，对于，有因此，。这就表明左陪集只有一个是子群，即本身。 同理可证右陪集只有一个是子群，即本身。4. 证明6阶群必含有3次元。证：设是6阶群。根据推论1，中只可能存在1阶，2阶，3阶和6阶元。若含有6阶元，比如说是，则就是中的3阶元。若中不含有6阶元，则中的非单位元只可能为2阶或3阶元。下面用反证法证明中必含有3阶元。若不然，则中的所有元素都满足，即。任取，则有。所以是交换群。取中非单位元和，令，易证是的子群。但，与拉格朗日定理矛盾。5. 证明偶数阶群必含2次元。证：由下一题（第6题）可知有限群中，周期大于2的元素的个数是偶数。群的么元周期为1，群的阶又是偶数，因此，至少存在一个周期为2的元素。6. 证明在有限群中次数大于2的元素的个数必定是偶数。证：有限群为，为其么元， ，对，则，由此可知的是无限的当且仅当的周期是无限的。又可知，若的周期为，的周期为，由定理得，所以，。如果的周期大于2的元素，则，因为如果，从而，这与的周期大于2矛盾。由于群的元素的逆元是唯一的，故不同的元素有不同的逆元。因此，周期大于2的元素与它的逆元成对出现，所以有限群中，次数大于2的元素的个数是偶数。7. 设是一个阶数为的有限群，其中是质数，证明是循环群并求它的所有子群。 证：由，中必存在。令，则是的子群，根据拉格朗日定理或。若，则，与矛盾，所以。又由于，必有，是循环群。 下略。8. 证明循环群的子群仍是循环群。证：设循环群，是生成元。是的子群。当时，是循环群。设。注意到，又知非空，故可令下面证明。首先，则有。其次，对于任一，设。于是 又因 根据的定义，必有。证得。从而，故有。故为循环群。所以循环群的子群仍是循环群。9. 设为虚数单位，即，令则与矩阵乘法构成群，请（1）给出的运算表。（2）试找出的所有子群。（3）证明的所有子群都是正规子群。 解： （1）略（2）它的子群除了两个平凡群外还有：；（3）尽管不是交换群，因为 ， 单它的所有子群都是正规子10. 设是群，和是其子群，若或是正规子群，则，其中，证：不妨假设为正规子群。对于，因为是正规子群，所以必存在使得 ，于是就有故有。同理可证。因此，。11. 设是群，是其子群，证明是正规子群当且仅当对任意的，都有。证：若是正规子群，则。有，则若对于，则有。另一方面，对于，有其中，从而，根据条件有，从而有。证得。是正规子群。12. 令是整数加群。求商群，和，其中，集合，。解：是的正规子群，左陪集有4个：，所以是的正规子群，左陪集有：，所以4.6 同态与同构习题4.61. 对以下各小题给定的群和以及，说明是否为群到的同态。如果是，说明是否为单同态，满同态和同构，并求同态像和同态核。（1），其中为非零实数的集合，和分别表示数的加法和乘法。（2），其中，为复数集合，和分别表示数的加法和乘法。（3），其中，和的定义同（2）。2. ，都是有么半群，其中，表示数的乘法。证明是从到的同态映射。证：显然是从到的映射，下面分两种情况讨论：（1）当时，有，于是 。（2）当至少有一个不能表示为时，就不能表示为的形式，至少有一个为0，于是。因此，即是从到的同态映射。3. ，都是有么半群，和分别表示数的加法和乘法。证明是从到的单同态，但不是同构。证： 对，有，所以是到的同态映射。对，若，显然有，即，从而是上的单射；然而对，不存在满足的，从而不是上的满射；因此不是的双射。故，是从到的单同态，但不是同构。4. 是整数加法群，是任意一个群，对于中的任一固定元素，令，证明是从到的同态映射，并求同态核。5. 是实数加法群，是模为1的复数对于乘法运算的群，这两个群同态吗？同构吗？请说明理由。6. 和分别是正整数对于加法和乘法构成的半群，问从到，和从到都存在同态映射吗？说明理由。7. 设是从群到群的同态映射，是从群到群的同态映射，证明复合函数是从群到群的同态映射。8. 设、是代数系统，都是二元运算，是从到的同态映射，则（1）是上的运算，即是代数系统。（2）如果在上满足交换律，则在上也满足交换律。（3）如果在上满足结合律，则在上也满足结合律。（4）如果在上满足等幂律，则在上也满足等幂律。（5）如果是的零元，则是的零元。9. 设、是代数系统，都是二元运算， 是从到的同态映射，证明如果在上，和满足吸收律，则在上，和也满足吸收律。10. 设是一个群，定义映射为，证明是的自同构当且仅当是交换群。11. 设是从群到群的同态映射，证明若是循环群，则也是循环群。证：因为是循环群，于是对于，都有 对于时，有。对于时，有。若时，有，那么，对时有这表明，中的每一个元素都可以表示为，所以是以生成元为的循环群。12. 设和分别是阶群和阶群，若从到存在单同态，证明，即是的因子。 证：设是群到的单一同态，则的同态象是的子群，显然是到的双射，于是是一个阶群，由拉格朗日定理可知，。13. 设是从群到群的同态映射，对任意的，记，试问和的次数是否一定相同？如果不同，它们之间有何关系？14. 给出群的全部自同态。解：若是一个自同态映射，则，有： （1） （2）（1） 令，则由（1）式可得：，因为是群，所以消去律成立，所以有。（2） 令，记则由2式得：，即为整数。 ：即，再加上（1）式，推出：；：即，再加上（1）式，推出：； ：推出与是整数矛盾；：即，再加上（1）式，推出：， ，；：即，再加上（1）式，推出： ， ，； ：推出与是整数矛盾； 由上面的（1）和（2），我们得到如下4个自同