排列组合问题整理归纳与习题.doc

排列组合1.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列要注意合并元素内部也必须排列.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 288 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置2. 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 复合元素，再与其它元素进行排列同时对相邻元素内部进行自排由分步计数原理可得共有4883. 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 5！ 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 A64 不同的方法 相乘可得4. 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7！/3!（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有A74 种坐法，则共有1 种 方法 5. 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有 76 种不同的排法6. 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.甲乙个特殊元素有A42种,再排后4个位置上的特殊元素有_A41_种,其余的5人在5个位置上任意排列有_5！_种,则共有_种.7. 八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有_种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_种方法. 根据分步计数原理装球的方法共有C52*4!解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?8. 九.小集团问题先整体局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把,当作一个小集团与排队共有_种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有_2!2!2!_种排法.小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。9将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为.十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_C96_种分法。10. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 种分法。11. 十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有_种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员_种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有_种，由分类计数原理共有_种12. 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有_ 种13. 十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_C52_种还剩下3球3盒序号不能对应，操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法14. 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果15. 十七.化归策略例18. 25人排成55方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？将这个问题退化成9人排成33方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从33方队中选3人的方法有_种。再从55方队选出33方队便可解决问题从55方队中选取3行3列有_选法所以从55方队选不在同一行也不在同一列的3人有 选法。练习题1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则 不同的着色方法有_72_种3.有A、B、C、D四人经常通电话交流信息，已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条信息，那么第一个电话是A打出的情况共有(36)解析：第一次电话从A打出，打给B、C、D之一有C31种可能，打第二次电可能从已知信息的两人之一打出有C21种可能，此时接收电话者是剩余二人中的一个有C21种可能，显然通知最后一个人时有C31种方法，故共有C31C21C21C3136(种)4. 例1.已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止. (1)若恰在第2次测试时,才测试到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试方法? (2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法?解:(1)若恰在第2次测试时,才测到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,若是不放回的逐个抽取测试.第2次测到第一件次品有4种抽法;第8次测到最后一件次品有3种抽法;第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A种抽法;剩余4次抽到的是正品，共有AAA86 400(种)抽法.(2)检测4次可测出4件次品,不同的测试方法有A种,检测5次可测出4件次品,不同的测试方法有4AA种;检测6次测出4件次品或6件正品,则不同的测试方法共有4AAA种.由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为A4AA4AAA8 520.5. 例2.用0，1，2，3, , 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？6. 【1】5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成_种不同的币值？(1张不取，即0元0分0角不计在内)元：0，1，2，3，4，5角：0，1，2，3，4分：0，2，4，5，7，9 65611797. (2011大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(10)8.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）9.(2011北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)10. 4.（2008安徽）12名同学合影，站成前排4人后