第7章%20恒定磁场[1].doc

第7章 恒定磁场学习指导一、基本要求1. 理解恒定电流产生的条件，理解电流密度和电电动势的概念。2. 掌握描述磁场性质的物理量磁感强度的概念。3. 理解毕奥-萨伐尔定律，掌握磁场叠加原理并能计算一些典型问题的磁感强度。4. 理解反映磁场性质的两个定理高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 5. 掌握洛伦兹力公式及其物理意义，会计算运动电荷在磁场中所受的力，并能分析在匀强磁场中电荷的运动规律。 6. 理解安培定律和磁矩的概念，并能计算简单几何形状的载流导体和载流平面线圈在磁场中所受到的安培力和磁力矩。 7. 了解磁介质的磁化现象及其微观解释。了解磁场强度的概念以及在各向同性介质中磁场强度和磁感强度的关系。理解磁介质中的安培环路定理及其应用。了解铁磁质的特性。8. 理解磁力和磁力矩作功的概念，会计算磁力及磁力矩的功。二、知识框架恒定磁场磁场中的介质真空中稳恒磁场磁场的描述基本规律1、磁感应强度是描述磁场本身性质的物理量大小：方向：的指向2、几何描述-磁感应线3、磁通量毕奥萨伐尔定律1、电流激发的磁场2、由毕奥萨伐尔定律可得运动电荷激发的磁场磁场的性质安培定律1、载流导线上的电流元在磁场中所受安培力有限长电流在磁场中所受安培力2、载流线圈在磁场中所受力矩式中3、运动电荷在磁场中所受磁力1、磁场中的高斯定理2、安培环路定理1、三种介质抗磁质顺磁质铁磁质2、有关物理量（1）磁化强度各向同性磁介质（2）磁场强度各向同性磁介质3、基本规律（1）磁介质中的高斯定理（2）有磁介质时安培环路定理几种载流导线产生的磁感应强度:(1)一段载流直导线 无限长时 (2)载流线圈轴线上一点 圆心处 （3）有限长载流直螺线管内一点 无限长时 由安培环路定理得到几种载流体周围磁场分布（1）无限长载流柱体（半径为），（2）载流螺线环内一点 （3）无限大载流平面外一点（电流密度为）三、重点和难点1重点（1）确切理解磁感应强度的概念，并能熟练、正确地运用毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理计算一些典型问题的磁感应强度。 （2）正确理解和运用安培定律计算载流导体和载流平面线圈在磁场中所受到的安培力和磁力矩。 2难点 （1）根据毕奥-萨伐尔定律利用叠加原理计算有关问题中的磁感强度。 （2）计算载流导体和载流平面线圈在磁场中所受到的安培力和磁力矩。四、基本概念和规律1电流和电流密度电流是单位时间内通过导体任一截面的电荷量，电流的方向是正电荷流动的方向。电流密度是垂直通过导体单位截面的电流，电流密度的方向与该点电流的方向一致，即 式中为面元的法向单位矢，电流密度是矢量。电流与电流密度矢量的关系为 形成稳恒电流的条件 上式表明，流入闭合曲面S内的电流等于从闭合曲面S内流出的电流，闭合曲面内没有电荷的积累，即闭合曲面内的电荷不随时间而改变。2 电动势在电源内部，非静电力把单位正电荷从电源的负极B移到正极A所作的功称作电源的电动势。式中表示电源非静电电场强度（表示单位正电荷受到的非静电力）。 若非静电力作功不局限于电源内部，而分布在整个闭合回路中，则闭合回路中的电动势可写作 3磁感强度 磁感强度是描述磁场性质的物理量。实验发现，运动正电荷在磁场中某点P所受磁力的大小随其速度方向的变化而不同，我们定义：运动正电荷在场点P所受磁力为零时，其速度方向为P点处磁场的方向，即磁感强度的方向。实验又发现，当运动正电荷速度v的方向与磁场中某点P的磁感强度B的方向垂直时，它所受到的磁力具有最大值Fm，我们定磁场中P点的磁感强度的大小为 4毕奥-萨伐尔定律 毕奥-萨伐尔定律给出了一段稳恒电流元Idl在空间某点处激发磁感强度所遵循的规律。 式中er为矢量r的单位矢，即er = r / r。dB的大小为 式中q 为Idl与r的夹角。dB的方向为Idl r的方向，即dB的方向垂直于Idl与r所决定的平面，遵循右手定则，如图7-1。图7-1对于任意形状的稳恒电流，可根据叠加原理求得其在空间任意点激发的磁感强度用毕奥-萨伐尔定律和叠加原理计算磁感强度的一般步骤：（1）选取合适的电流元Idl；（2）应用毕奥-萨伐尔定律（或用载流直导线、载流圆环等典型磁场的结果）写出电流元Idl在场点P的磁感强度dB，并作图表示出dB的方向；（3）选取合适的坐标系，写出dB在各坐标轴上的分量；（4）如果积分号内有多个变量，因利用变量之间的关系，统一变量。然后利用已知条件确定积分上下线；（5）积分求出B的各分量，将各分量合成求得B的大小和方向。5运动电荷的磁场 电量为q、速度为v的运动电荷，在空间距它为r处激发的磁感强度 如图7-2所示，当q 0，B的方向与相同；当q 0，洛伦兹力的方向与相同，当q B0；抗磁质 磁化后的磁介质产生的附加磁场B与原磁场B0反方向，合磁场B B0。（2）磁化强度 磁化强度是定量描述磁介质磁化程度的物理量，磁化强度定义为介质中各点的磁化强度M为一恒矢量时，称为磁介质被均匀磁化。12磁场强度 磁介质中的安培环路定理 （1）磁场强度 磁介质中的磁场，磁介质产生的附加磁场B往往很难求解，所以引入一个新的物理量 磁场强度，磁场强度定义为 （2）磁介质中的安培环路定理 磁场强度H沿任一闭合路径的线积分，等于该闭合路径所包围的传导电流的代数和，即 上式称作磁介质中的安培环路定理。 （3）磁场强度与磁感强度的关系 在各向同性的均匀磁介质中，磁场强度与磁感强度的关系为 式中m 称作磁介质的磁导率，mr称作磁介质的相对磁导率。对顺磁质mr 1，对抗磁质mr 1。13铁磁质铁磁质的主要特性：（1）相对磁导率非常大，即 mr 1，且有B B0；（2）相对磁导率mr不是常量，由B = mH可知，铁磁质中的B与H之间存在非线性关系，如图7-4；（3）当铁磁材料中的磁场发生变化时，磁感强度B的变化落后于磁场强度H的变化，这种现象称作磁滞现象。当对铁磁材料进行多次反复磁化后，其B H关系构成一闭合曲线，如图7-5所示，该曲线称作磁滞回线。由图7-5可以看出，当H = 0时，B = Br 0，Br 称作剩磁。当H = -Hc时，B = 0，Hc称作矫顽力。（4）铁磁质存在一特定的临界温度，这个温度称为居里温度或居里点。当温度超过居里点时，铁磁质失去铁磁性，退化为顺磁质。不同的铁磁质，居里点不同，铁的居里点是770C。图7-4 图7-514磁介质与电介质的对比(见表7-1)表7-1 项目 电介质 磁介质描述极化或磁化状态量极化强度 磁化强度 极化或磁化的宏观效果介质表面出现束缚电荷介质表面出现束缚电流基本矢量介质对场的影响极化电荷产生附加场磁化电流产生附加场辅助矢量高斯定理环流定理各向同性介质中 常量 F/m相对介电常量 极化率 介电常量 H/m相对磁导率 磁化率 磁导率 五、解题指导及解题示例本章习题的基本类型有：1.已知电流，求其磁场分布；2.已知磁场分布，求通过某一曲面的磁通量；3.求安培力；4.求洛伦兹力，讨论带电粒子在电磁场中的运动规律；例7-1 真空中一无限长载流直导线在A处折成直角，如图7-6所示，图中P、R、S、T到导线的垂直距离均为，电流，在平面内，求P、R、S、T四点处磁感强度的大小。解 所求各点的磁感强度是两半无限长载流直导线和激发的的磁感强度的矢量叠加。（1）点：点在导线的延长线上，则在点激发的磁感强度BLA = 0；导线的两端相对点所对应的，所以在点激发的磁感强度的大小为aaaLII图7-6AaaPTSRLBAL 方向为垂直纸面向内。所以P点处的磁感强度 Bp方向垂直纸面向内。 （2） R点：导线两端相对R点所对应的 ，所以在R点激发的磁感强度的大小为 BLA的方向都是垂直纸面向外。导线的两端相对于R点所对应的，则，所以在R点激发的磁感强度的大小为 BAL 的方向都是垂直纸面向外。所以 BR方向垂直纸面向外。 （3）对S点同理可求出 BS方向垂直纸面向内。 （4）对T点同理可求出 BT方向垂直纸面向内。简注 本题是载流直导线磁场公式的直接应用题目，求解本题的关键是正确确定各点所对应的角度。例7-2 电流I均匀地流过宽为b的无限长平面导体薄板，电流沿板长方向流动，求（1）在薄板平面内，距板的一边为b的P点处的磁感强度，如图7-7a。（2）通过板的中线并与板面垂直的直线上一点Q处的磁感强度，Q点到板面的距离为x，如图7-7b。 (a) (b)图7-7解（1）无限长载流薄板可看成由许多平行 的无限长载流直导线组成。选坐标如图7-8a 所示。距原点O为x处任取一宽度为的无限长 直导线，其上通过的电流为，在P 点激发的磁感强度为 方向垂直纸面向里。因各载流直导线在P点处激发的磁感强度的方向都相同，所以P点的磁感强度为 xbbOdxPOdyyzrxdBxdBydBxQa） b）图7-8方向垂直纸面向里。（2）取无限长载流薄板中心为坐标原点O，如图7-8b所示。距O点为y处取宽为dy的无限长直导线，其上通过的电流为，在Q点激发的磁感强度为 方向垂直。沿x、y轴的分量为由对称性可得 方向沿y轴负方向。所以Q处的磁感强度 简注 无限长载流薄板可看成由许多平行的无限长载流直导线组成，利用无限长载流直导线所激发磁场，通过矢量叠加可求得本题结果。求解时应注意两种情况下的方向，不可盲目对直接积分，求时要用矢量叠加。yabcd图7-9例7-3 载流导线形状如图7-9所示，图中直线部分导线延伸到无穷远处，求O点的磁感强度B。解 O点的磁感强度应是两无限长直电流与半圆弧电流在O点激发的磁感强度的叠加。长直导线ab两端相对O点所对应的，所以ab在O点激发的磁感强度为长直导线cd两端相对O点所对应的，所以cd在O点激发的磁感强度的大小为在半圆弧上任取电流元，由毕奥-萨伐尔定律得在点激发的磁感强度大小 方向沿x轴负方向。因圆弧上各电流元在点的方向相同，故有式中q 是弧长对应的圆心角，对于半圆弧。考虑的方向，上式写成矢量式为 所以O点的磁感强度为简注 此题是求解长直电流与圆弧电流在空间激发的磁感强度，O点磁感强度的叠加是在三维空间进行，计算中应注意磁感强度的方向。另外，由本题导出的半圆弧电流在其圆心处激发的磁感强度，可作为任意长圆弧电流在其圆心处激发磁感强度大小的计算公式，式中q 是弧长对应的圆心角。例7-4 一长为 ，带电量为 的均匀带电细棒，以速率沿轴正方向运动。当细棒运动到与轴重合的位置时，细棒的下端点与坐标原点O的距离为，如图7-10所示。求此时O点的磁感强度。解 均匀带电细棒可看作由许多电荷元所组成，当均匀带电细棒运动时，相当于许多电荷元运动，空间各场点的磁感强度是所有电荷元激发的磁感强度的叠加。在均匀带电细棒上，距原点为处取一线元，其上所带电量为，lyvxOdyy图7-10根据运动电荷的磁场公式可知，在O点激发的磁感强度的大小为 方向垂直于纸面向里。整个带电细棒在O点激发的的磁感强度的大小为方向垂直于纸面向里。简注 本题解题的关键是明确运动带电细棒可看作是由许多运动电荷元所组成，空间各场点的总磁感强度是所有运动电荷元激发的磁感强度的矢量和。通过运动电荷的磁感强度公式就可求解运动带电体激发的磁场。例7-5 如图7-11a所示，一无限长半径为R的1/ 4圆筒形金属薄片中， 自上而下地均匀通有电流I， 求圆柱轴线处的磁感强度B。xyIdla）解 载流1/ 4圆筒形金属薄片可看作由许多无限长载流直导线组成。在金属薄片上取一与轴线平行、宽为的无限长载流窄条，如图7-11a所示，其上载有电流 dI在轴线上激发的磁感强度为 的方向如图7-11b所示，dB沿x、y轴的分量为 dBy)q dldBxdByb）图7-11xO将以上两式分别积分=所以圆柱轴线处的磁感强度B 简注 借助无限长载流直导线激发磁场的公式，通过矢量叠加，可求出无限长载流1/4圆柱面在轴线处激发的磁感强度B。求解此题时应注意的方向，各长直电流在圆柱轴线处激发的磁感强度的方向都不相同，不可盲目对直接积分。例7-6 在半径为r的无限长圆柱导体内挖去一个直径为r / 2的圆柱空腔，圆柱空腔的轴线与圆柱导体的轴线平行，且圆柱空腔的侧面与相切，如图7-12所示。在圆柱导体的截面上通有均匀分布沿向下的电流I，在距圆柱导体轴线3r处有一电子，在轴线和空腔轴线所确定的平面内，沿平行于轴线方向，以速度v向下飞经P点，求电子经P点时所受的磁场力。 解 带有空腔的载流圆柱导体，可看作是实心载流圆柱导体与载有相反方向电流的空腔所构成，空间磁场由上述两部分电流产生。由题意知，圆柱导体中的电流密度为 设实心载流圆柱导体在P处激发的磁感强度为B1，以为轴线，过P点取半径为3r的磁感线作积分回路，由安培环路定理得 P点处B1的方向垂直与纸面向里。设载流圆柱空腔在P处激发的磁感强度为B2，以圆柱空腔轴为轴线，过P点取半径为（3r- r /4）的磁感线作积分回路，由安培环路定理得O图7-12OvP-e3rI P点处B2的方向垂直与纸面向外。所以带有空腔的载流圆柱导体在P点激发的磁感强度为B的方向垂直与纸面向里。电子以速度v向下飞经P点时，因，所以受到的洛伦兹力的大小为 fm的方向向左。简注 本题应用补偿法和安培环路定理来求解磁感强度。通过补偿法使系统恢复轴对称性，则可用安培环路定理求解磁感强度，再通过磁场叠加原理即可求得空腔载流圆柱导体在P处激发的磁感强度。例7-7 如图7-13a所示，在载有电流的无限长直导线的右侧，与其共面地放置一个直角三角形线圈abc，线圈中的电流为。已知，试分别求三角形线圈各边所受到的作用力。 a） b）图7-13解 无限长载流直导线在ab段导线所在处激发的磁感强度的大小为，B的方向垂直纸面向里。所以ab段所受力的大小为的方向向左，指向无限长直导线。因bc段导线上由I1激发的各点的磁感强度的大小不同，所以在bc段导线上距I1为r处任取一电流元，所在处的磁感强度的大小为 B的方向垂直纸面向里。所受力的大小为 根据几何关系有。因bc段上各电流元受力方向相同，如图7-13所示，所以bc段所受力的大小为 类似的分析可得cd段所受力的大小为的方向垂直于ca，竖直向下。简注 由于无限长直导线产生的磁场是非均匀的，所以载流线圈在非匀强磁场中的受力问题，有时需要用积分来求解。 例7-8 如图7-14所示，一半径为的薄圆筒，表面上的电荷面密度为，放入均匀磁场中，的方向与盘面平行。若圆盘以角速度绕通过盘心、垂直盘面的轴转动，求圆盘受到的磁力矩。解 圆盘可看成由许多同心细圆环组成。取半径为，宽为的圆环，其上带电量为。当圆盘以角速度绕点旋转时，带电圆环相当于一圆电流，此电流为 该圆电流的磁矩大小为 B图7-14wORrdr dm方向垂直盘面向外。该圆电流受到的磁力矩的大小为整个圆盘所受到的磁力矩大小为 本题中若盘面与B成角，则圆盘所受到的磁力矩大小为 简注 磁场对载流线圈有力矩的作用，带电圆盘在转动过程中，形成一系列圆电流，磁场作用在圆盘上的磁力矩就是对这些圆电流的磁力矩的矢量和。在本题中由电荷旋转确定元电流是十分重要的。例7-9 如图7-15a所示，一根细长的永磁棒沿轴向均匀磁化，磁化强度为。求图M13674a）52中标出的各点的磁感强度和磁场强度。解 根据磁化理论，沿轴向均匀磁化的永磁棒，其内部的分子电流均相互抵消，而在磁棒表面未被抵消的分子电流，成为磁化电流。磁化电流激发图7-15b）M的磁场与一细长螺线管激发的磁场等效，即 式中n为螺线管单位长度上的匝数。因磁化电流面密度（磁棒轴向