3.4（1）平方差公式）.doc

3.4（1）平方差公式教学设计 温州市第二十五中学 娄慧聪一、教材的地位和作用乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一。二、教学目标分析知识目标:经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征；能力目标:能运用公式进行简单的运算，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；情感目标:让学生经历“特殊一般特殊”（即:特例归纳猜想验证用数学符号表示解决问题）这一数学活动过程，积累数学活动的经验，同时体会数学的简洁美和数形结合的思想方法。培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识。三、教学重点、难点重点：经历探索并归纳平方差公式的过程，并能熟练运用公式进行简单的运算。难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力。四、教学过程设计（一）创设情境，导入课题同学们，你们喜欢听故事吗？老师在这里给大家讲一个有趣的数学小故事， 从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形的土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了 ，回到家中，他把这件事对儿子讲了，儿子一听，说：“你吃亏了！”，张老汉非常吃惊。同学们，你能告诉张老汉这是为什么吗？设计意图：为这节课的知识埋下伏笔，做好铺垫，同时引发孩子学习的兴趣。（2） 回顾旧知，引出新知 我们在前面学习了多项式乘多项式的乘法法则，现在请大家回忆一下，多项式乘法法则是怎么叙述的？多项式的乘法法则多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.这个公式是乘法公式的万能公式，不管是怎样的多项式乘多项式，都可以用这个公式进行整式乘法。（三）探索新知，尝试发现计算，下面我们请同学们来计算这五道题，计算(1)(a+2b)(3m-n)=(2) (x+2y)(x-y)=(3) (3+x)(3-x)= (4) (2m+n)(2m-n)=(5) (2p-3q)(2p+3q)=请同学们计算以上各式，观察这五个算式有什么共同的特征？思考，为什么有些算式的结果是四项，有些是三项，有些是两项？观察( 3)(4)(5)算式及其运算结果，你发现了什么规律？你能给我们的发现取一个名字吗？你如何来验证？请同学上来板演。（小组合作探讨）再举两例验证你的发现.若用一般形式怎样来表示？等式左边：等式右边：可以依据学过的知识验证吗？(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2 提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述到公式表示的过渡，教师巡回引导，并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力。设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式-平方差公式。根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法平方差公式，这样更加自然、合理。先让学生观察后独立思考，再进行小组内交流讨论，由学生代表发言，全班统一认识。（四）数形结合，几何说理如果用图形面积进行验证，将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗? （a+b)(a-b)=a2-b2 设计意图：通过学生小组合作，,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系引导学生学会从多角度、多方面来思考问题公式中的a b可以是数也可以是单向式，或者是多项式，运用平方差公式的条件，两个因式中有一项相同，另一项互为相反数。板书3.4(1) 平方差公式两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差-平方差公式（五）剖析公式，发现本质在平方差公式 中，其结构特征为： 左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即 ； 让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接进行运算会很简单，但是不能乱用，只有具备了符合公式的结构特征，才能运用它进行计算。设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。（六）巩固运用，内化新知在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b-a)C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)例1 运用平方差公式计算:(1) （1+2X)(1-2X）(2) （3m-2n)(3m+2n)(4) (4a+0.1)(-4a+0.1) 学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。节前题：张老汉吃亏的谜底揭晓X 2(X+5）（X-5）=X 2-25（7） 拓展应用，强化思维例2 计算：1002998 你能快速求出它的结果吗？把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学，设计此题与平方差公式的几何意义相吻合，加深学生对平方差公式的理解。（8） 拓展提升，挑战自我（1）（X-1）（X+1)（X2+1) 小组合作探讨：你能很快计算下列式子吗?(结果可用幂的形式表示)(2）（2+1）（22+1）(24+1)（28+1）+1=（2-1）（2+1）（22+1）(24+1)（28+1）+1=（22-1）（22+1）(24+1)（28+1）+1=（24-1）(24+1)（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216-1+1=216你能用上述方法计算（3）（3+1）（32+1）(34+1)（38+1）(316+1)+1的值吗？设计意图：通过第1道练习的既巩固平方差公式又为2、3做好解题方法的铺垫，给优生吃饱吃好，提升自我，挑战自我。（九）总结概括，自我评价 这节课你有哪些收获？还有什么困惑？提示：从知识和情感态度两个方面加以小结。请试试看 五、教学反思：本节课学习了平方差公式： ，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。它是特殊的整式的乘法，运用这一公式可迅速而简捷地计算出符合平方差公式特征的多项式乘法的结果。运用公式的关键要看是否符合公式的特征，在课堂上，教师要引导学生注意观察平方差公式的结构特征，从而体会平方差公式