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第六章 杆件的内力 ChapterSix InternalForces 6 1内力定义和符号规定 6 2内力方程及内力图 6 3梁的平衡微分方程及其应用 本章内容小结 本章基本要求 背景材料 背景材料 准确理解杆件内力的定义和符号规定 能利用截面法建立内力方程 能迅速求出指定截面的内力 深入理解梁中弯矩 剪力和分布荷载之间的微分关系 并能利用这些关系熟练地画出梁的剪力弯矩图 本章基本要求 6 1内力 internalforces 定义和符号规定 内力是分布力系 但是可以将复杂的分布力系简化为形心上的主矢和主矩 这种主矢和主矩对于该横截面引起何种变形效应 1 内力的定义 主矢 主矩 Fx轴力FN axialforce Fy剪力FSy shearingforce Fz剪力FSz Mx扭矩T torque My弯矩My bendingmoment Mz弯矩Mz 6 1内力 internalforces 定义和符号规定 1 内力的定义 2 杆件内力与变形的关系 轴力FN 扭矩T 剪力FS 弯矩M 拉压 扭转 剪切 弯曲 3 内力的符号规定 内力符号规定的原则 在一个横截面上 同一种内力只能有唯一的符号 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的 在一个横截面的两侧 轴力的 方向 是相反的 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号 轴力的正号 使微元区段有伸长趋势的轴力为正 轴力的负号 扭矩的正号 扭矩的负号 使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正 剪力的正号 剪力的负号 使微元区段有左上右下错动趋势的剪力为正 弯矩的正号 弯矩的负号 使微元区段有变凹趋势的弯矩为正 6 2内力方程及内力图 依据杆件整体平衡时 它的任何一个局部也平衡 在杆件的任意局部区段中 所有外力与内力构成平衡力系 用截面法求内力方程 方法和步骤 1 在必要和可能的条件下 先求出约束反力 3 留下部分的所有内力 外力 包括约束反力 按照理论力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式 4 求解方程即可得内力 若所得内力为负值 表明实际内力方向与设想方向相反 2 在指定的位置 想象用一个截面将杆件切开 留下一部分作为研究对象 舍去另一部分 舍去部分对留下部分的作用就是内力 一般可将这种内力作用的方向假设为正内力方向 即设正法 例如图的塔的材料密度为 塔中了望台总重P 塔外径为D 内径为d 求横截面上的轴力 建立如图的坐标系 在用截面法分析轴力时 可考虑取上部为分析对象 这样可以避免求下端的支反力 分析塔体的自重可简化为沿轴向的均布荷载 了望台重量简化为集中力 由于截面取在了望台上方时无须考虑力P 而取在下方则应考虑力P 故应分段分析 例如图的塔的材料密度为 塔中了望台总重P 塔外径为D 内径为d 求横截面上的轴力 轴力图 例如图的塔的材料密度为 塔中了望台总重P 塔外径为D 内径为d 求横截面上的轴力 H h 例使用丝锥时每手用力10N 假定各锥齿上受力相等 试画出丝锥的扭矩图 作用在丝锥顶部的力偶矩 作用在齿部的平均力偶矩 计算模型如图 分析锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶矩 人加荷载简化为集中力偶矩 在AB区段取截面 易得扭矩为常数m C截面处扭矩为零 在BC区段内 扭矩线性地减小 3000 40 60 扭矩图 例求承受均布荷载的简支梁的内力方程 并画出相应的剪力图和弯矩图 结论直梁某个横截面上的剪力 其数值等于该截面左端 或右端 全部横向力 包括支反力 的代数和 先求支反力 建立坐标系并取截面 结论直梁某个横截面上的弯矩 其数值等于该截面左端 或右端 全部力偶矩以及全部作用力 包括支反力 对该截面矩的代数和 例求承受均布荷载的简支梁的内力方程 并画出相应的剪力图和弯矩图 结论直梁某个横截面上的弯矩 其数值等于该截面左端 或右端 全部力偶矩以及全部作用力 包括支反力 对该截面矩的代数和 动脑又动笔 将弯矩和剪力分别对x求导 由此能得到什么启示 例求承受均布荷载的简支梁的内力方程 并画出相应的剪力图和弯矩图 下列各截面上的剪力为多少 动脑又动笔 动脑又动笔 下列各截面上的弯矩为多少 分析和讨论 如何分析下列结构中主梁的剪力和弯矩 6 3梁的平衡微分方程及其应用 如何画出如图结构的剪力图和弯矩图 需要分段写出剪力方程和弯矩方程 控制面 分布荷载的起始点和结束点构成控制面 集中力或集中力偶矩作用处的左侧面和右侧面构成控制面 两个控制面之间的荷载 直线 曲线 跃变 两个控制面之间的图形 分布荷载 包括荷载为零 集中力 集中力偶矩 两个控制面之间的典型荷载 分布荷载 包括荷载为零 集中力 集中力偶矩 建立如图的坐标系 6 3 1梁承受分布荷载的情况 注意此处的 面积 位于横轴下方则为负数 控制面AB之间只有分布荷载作用 剪力弯矩图的规律 均布荷载 剪力图线穿过横轴 6 3 2梁承受集中荷载的情况 集中力F的作用使剪力在其作用处产生一个增量 增量的幅度就是F 集中力作用处弯矩值是连续的 集中力 6 3 2梁承受集中荷载的情况 剪力弯矩图规律 剪力图产生跃变 弯矩图产生尖角 集中力作用处弯矩图是光滑的吗 集中力 6 3 2梁承受集中荷载的情况 集中力偶矩 集中力偶矩作用处剪力值是连续的 集中力偶矩m的作用使弯矩在其作用处产生一个增量 增量的幅度就是m 剪力弯矩图规律 剪力图不受影响 弯矩图产生跃变 集中力偶矩作用处剪力图是光滑的吗 6 3 2梁承受集中荷载的情况 集中力偶矩 如何利用荷载 剪力和弯矩之间的关系不经建立剪力弯矩方程而直接画出剪力弯矩图 6 3 3根据外荷载画剪力弯矩图 荷载形式 剪力图和弯矩图之间的关系 均布力q q 0 剪力图 弯矩图 集中力P 集中力偶矩m 不受影响 弯矩图 剪力图 不受影响 P PL 2 PL 2 例画出梁的剪力弯矩图 先求支反力 3qa 8 qa 8 9qa2 128 例画出梁的剪力弯矩图 先求支反力 3qa 2 qa 2 qa2 9qa2 8 例画出梁的剪力弯矩图 先求支反力 根据外荷载直接画剪力图弯矩图的要点 1 首先求出支反力及支反力偶矩 求出之后 支反力及力偶矩便与外荷载同等看待 2 一般应从左到右地依次画出连续的图线 应根据荷载 剪力 弯矩之间的微分关系明确图线的走向 3 图形最右端的结束点应该在横轴上 4 注意标出图形峰点 局部极值点的数值 动脑又动笔 P P Pa P Pa Pa qa qa qa2 2 例画出梁的剪力弯矩图 结构对称 荷载对称 剪力图反对称 弯矩图对称 qa2 8 qa 2 qa 2 qa 2 qa2 8 例画出梁的剪力弯矩图 结构对称 荷载反对称 剪力图对称 弯矩图反对称 在铰连接处 如果没有集中力偶矩作用 其弯矩应为零 在自由端处 如果没有集中力作用 其剪力应为零 如果没有集中力偶矩作用 其弯矩应为零 加快画图速度的若干技巧 对称结构承受对称荷载 其剪力图反对称 弯矩图对称 对称结构承受反对称荷载 其剪力图对称 弯矩图反对称 例画出带中间铰的梁的剪力弯矩图 先考虑右半部的平衡 再考虑左半部的平衡 qa 2 qa 2 qa2 2 qa2 8 Pa 2 Pa 2 P 2 P 2 例画出带中间铰的梁的剪力弯矩图 P Pa 分析和讨论 荷载作用在中间铰处 在左端铰处引起支反力吗 在左半部引起内力吗 在左半部引起变形吗 在左半部引起位移吗 例画出带中间铰的梁的剪力弯矩图 m 2a 3m 2 m 例画出带中间铰的梁的剪力弯矩图 例改正剪力弯矩图的错误 分析和讨论 如果已知剪力图 可以完全确定弯矩图吗 在把约束视为外荷载的前提下 已知剪力图 可以完全确定荷载图吗 如果已知弯矩图 可以完全确定剪力图吗 在把约束视为外荷载的前提下 已知弯矩图 可以完全确定荷载图吗 例根据剪力图画荷载图和弯矩图 无集中力偶矩作用 6kN m 4kN m 4 5kN m 分析根据剪力图在截面上的跃变情况可确定该截面的集中力 根据剪力图在两截面之间的变化情况可确定分布力 由于无集中力偶矩作用 根据剪力图和荷载图即可确定弯矩 例根据弯矩图画剪力图荷载图 1kN 1kN 6 3 4梁中弯矩的峰值 梁的强度将取决于弯矩的峰值 弯矩的峰值出现在 剪力为零处 分布荷载作用的区段内 剪力跃变处 集中力作用处 包括梁支座处 弯矩跃变处 集中力偶矩作用处 2kN 4kN 3kN m 0 33kN m 1kN m 先求支反力 例画出图示梁的剪力弯矩图 求绝对值最大的弯矩 绝对值最大的弯矩在左端处 值为3kN m 注意在考虑弯矩的极值时 应注意梁的端点或支承处的弯矩的绝对值也可能构成全梁中的最大值 例承受均布荷载的梁中 两支座可以在水平方向上移动 两支座移动到什么位置上才能使梁中绝对值最大的弯矩为最小 分析两支座必须对称移动 才能使梁中的弯矩绝对值为最小 考虑当a增大时梁中的弯矩变化情况 判定弯矩的峰值出现在何处 弯矩的峰值出现在C D截面 分别列出C D截面的弯矩与a的函数关系 考虑其变化规律 从而确定a的大小 C D截面弯矩 只有C D截面弯矩的绝对值相等时 才能使最大绝对值弯矩为最小 例起重机自重W 50kN 起吊最大重物F 10kN 求横梁中的最大弯矩 起重机对横梁的作用应该如何简化 起重机对横梁的作用是否可以简化为一个力和一个集中力偶矩 例起重机自重W 50kN 起吊最大重物F 10kN 求横梁中的最大弯矩 先考虑起重机对横梁的作用 以小车为研究对象 求C处支反力 设小车左轮到左端铰的距离为 弯矩极大值出现在A截面或B截面 梁中弯矩图呈如图形状 A截面的弯矩 A截面弯矩的极值 B截面的弯矩 B截面弯矩的极值 故当左轮移动到距左端3 17m时B截面的弯矩为梁中最大弯矩 弯曲内力 内力的基本概念 本章内容小结 杆件某截面上的轴力 扭矩 剪力 弯矩是截面截开并移走部分对留下部分的作用 是截面形心处的主矢和主矩 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的 弯曲内力 一般总是先假设所求内力为正 再用理论力学的符号规定建立所有内 外力 或矩 的平衡方程 如果所选择的脱离体包含支座 必须先求支反力 直梁某个横截面上的剪力 其数值等于该截面左端 或右端 全部横向力 包括支反力 的代数和 直梁某个横截面上的弯矩 其数值等于该截面左端 或右端 全部力偶矩以及全部作用力