2014年高考数学试卷分析卷一.doc

2014年全国高考数学（理科）分析 （全国卷一）-高二数学备课组一 全国考纲与山东考试说明对照 通过认真比对2014高考考试大纲理科数学(新课标)与2014年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明，发现：（一）全国考纲与山东考试说明在对学生的考查要求上完全一致。两者都强调：(1)对数学基础知识的考查 (2)对数学思想方法的考查 (3)对数学能力的考查，(4)对应用意识的考查 (5)对创新意识的考查。其中，在对知识要求的考查上均分为了解，理解，掌握三个层次。在对能力要求的考查上均考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识七种能力（二）在考查范围上略有不同山东卷没有选考内容，在考试范围上为课程标准的必修内容和选修系列2的内容;以及选修4-5中的部分内容：不等式的选讲部分中的不等式的基本性质和证明的基本方法。仅要求(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ax+b|a|+|b|.|a-b|a-c|+|c-b|.（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.(3)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。全国卷包括必考内容和选考内容两部分，必考内容均为课程标准的必修内容和选修系列2的内容;选考内容为课程标准的选修系列4的几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲等3个专题。其中选考内容与要求1.几何证明选讲(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理。会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定地理及性质定理。会证明并应用相交弦定理,圆内接四边形的性质定理与判定定理,切割线定理。了解平行投影的含义，通过援助与平面的位置关系了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是 圆)。(5)了解下面定理。定理：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相较于O，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l交角为(与l平行，记=0)，则： ，平面与圆锥的交线为圆锥， =，平面与圆锥的交线为抛物线时，平面与圆锥的相交线为椭圆。(图中上,下两球与圆锥切面相切的切点分别为B和C，线段BC与平面相交于A)(7)会证明以下结果：在(6)中，一个丹迪林球与圆锥的交线为一个圆，并与圆锥的 底面平行，记这个圆所在平面为.如果平面与平面的交线为m，在(5)中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常熟e(称点F为这个椭圆的焦点直线m为椭圆的准线，常数e为离心率)。(8)了解定理(5)中的证明，了解当无线接近时，平面的极限结果。2.坐标系与参数方程(1)坐标系理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。能在极坐标系中用极坐标白哦是点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的 互化。 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。了解柱坐标,球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。参数方程 了解参数方程，了解参数的意义。能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。了解平摆线,渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。3.不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ax+b|a|+|b|.|a-b|a-c|+|c-b|.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。柯西不等式的向量形式：(此不等式通常称为平面三角不等式。)(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式(x-1，x0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。(8)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。除此以外，其余必考内容中的必修部分与选修2系列内容与要求上完全一样，一个字都不差。二、 全国卷（卷一）理科与山东卷理科试题结构形式及考点对照从整体结构看，全国卷（卷一）（理科）一卷12个选择题；二卷非选择题为4道填空题和5道必做题和三道三选一解答题。其中选做题要求：三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。山东卷理科一卷10个选择题；二卷非选择题为5道填空题和6道必做题。从分值上看，全国卷（卷一）理科选择题每题5分；填空题每题5分和5道必做题每题12分和三选一解答题10分。山东卷选择题每题5分；填空题每题5分和前四个解答题每题12分，最后两个解答题分别是13分和14分。从解答题上来看，山东解答题标准的六大块：三角函数、立体几何、数列、概率统计、解析几何、函数与导数。而全国高考题解答题2014年是数列（理科前两年都是三角）、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数，三选一包括几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲。发现：概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数，三选一包括几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲，每年必考。而三角与数列的解答题交替出现。2014年数列只考了一个解答题，而2013及2012年只考了小题，解答题是三角。三、全国卷（卷一）试卷结构与难度为方便查阅，我们备课组齐心协力把这近三年的全国高考题做了一个大致统计，尤其是对2014年的全国卷做了一个仔细的分析，结果如下：（一）、三年来理科高考都考了什么？题号2012年新课标卷2013年新课标卷2014年新课标卷1集合集合集合2计数原理复数复数3复数抽样方法函数奇偶性4椭圆的离心率双曲线双曲线5等比数列程序框图排列组合、概率6程序框图球的切接问题函数图像7三视图等差数列程序框图8双曲线、抛物线三视图三角恒等变换9三角函数的单调性二项式定理线性规划、命题10函数的图像椭圆的中点弦问题抛物线定义11球的切接问题分段函数函数导数、零点12反函数、函数图象数列与解三角形结合三视图13平面向量平面向量二项式定理14线性规划数列推理与证明15古典概率三角函数平面向量16数列函数最值解三角形17解三角形解三角形数列（含参）18分段函数立体几何线线垂直，求线面角频率分布直方图、正态分布、二项分布求期望19立体几何二面角求概率，分布列及数学期望立体几何二面角20圆，抛物线轨迹方程，直线与椭圆关系直线与椭圆21函数的单调性与最值函数、导数与不等式函数、导数与不等式22三角形相似的判定几何证明直线与圆相切几何证明圆内接四边形23极坐标、参数方程极坐标与参数方程参数方程24绝对值不等式绝对值不等式基本不等式（二）、试卷题目特点1、平稳过渡、先易后难试题总的来说过渡比较平稳，由易到难，逐步递进，符合学生做题习惯。2、立足基础、覆盖面广 在全面考查的前提下，高中数学的六大主干知识仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点内容。另外，考试内容体现了新课标要求，算法与框图、三视图、统计、概率和分布列、推理与证明等均在试卷中都有所体现。 3、淡化计算、强调应用如：14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .在该题中“没有公式，没有原理，没有运算，只考查推理能力。数学是培养理性思维的重要途径，通过平时学习的各种方法，进行大量的练习，最终是要让学生掌握逻辑推理的能力、理性思维的方法，因此今年的数学高考试题中，加大了逻辑推理能力所占的比例，题目占到50%以上。逐渐转变以往靠老师给总结的结论来解题的命题方式。 计算并不是不重要，而是要把计算同逻辑推理结合起来，即使要计算也首先要通过逻辑推理之后再计算。这种通过所学知识、获得解决问题的方法并能就解决生活实际中可能遇到的问题，体现了高考改革的方向。（三）试题分析通过对比三年全国卷卷一（理科）发现：客观题：考试内容基本没有什么变化，集合、复数、程序框图、圆锥曲线、函数图像与性质、三视图、排列组合、不等式线性规划、常用逻辑用语等板块均有所涉及。 15题：集合、复数、函数性质、圆锥曲线标准方程、排列组合非常注重基础，完全是常规的方法和不变的题型，属于送分题目。 7、10、11、12题：涉及程序框图、圆锥曲线、函数性质、三视图等内容，难度也不大。10题，圆锥曲线题更注重了几何层次的考查。12题，考查三视图，完全没有2013年那种没有思路、无从下手的感觉，比较容易拿分。 主观题 填空题主要考查了二项式定理、推理与证明、向量和三角函数。让人感觉一新的是14题，而其他三道题都是常规性题目，没什么难度。向量问题的考查也是侧重了几何方法，没有出现数量积的有关问题。解答题考点较往年有了比较大的变化，主要是17题：由考查三角函数转向考查数列，18题：由考查常规分布列转向考查正态分布。17题，考查数列对学生来说并不可怕，但让学生紧张的是数列问题还带参数，尤其出现在解答题的第一道大题的位置，应该很好地检测了一下学生的心脏承受能力，跟前面的选择填空完全不一个风格，我估计这道题的平均分应该没有往年高。 四、逐题分析2014高考全国卷（理科）（卷）1.已知集合，则 A B C D解析：，故选A考查内容：本题考查了一元二次不等式的解法、集合中交的运算。属于基础题。2 A B C D解析：，故选D考查内容：本题考查了复数的乘法与除法运算，i2 的运算。属于基础题。 3设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A是偶函数 B是奇函数 C是奇函数 D是奇函数解析：是奇函数，是偶函数，则是奇函数，排除A是奇函数，是偶函数，是偶函数，则是偶函数，排除B是奇函数，是偶函数，则是奇函数，C正确是奇函数，是偶函数，是奇函数，则是偶函数，排除D，故选C考查内容：本题考查函数奇偶性的判定，及奇偶函数的性质。属于基础题。4已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为A B C D解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离，选A考查内容：本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，包括焦点坐标、渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式。54位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A B C D解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，故选D考查内容：本题考查了乘法原理，排列组合、古典概型。或其对立事件的概率。6如图，圆的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数 ，则在的图像大致为 解析：由已知，又，所以，故选C考查内容：任意角三角函数的定义、正弦的二倍角公式、正弦函数的性质与图像，以及学生的识图能力.7执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的A B C D解析：当时，；当时，；当时，；此时运算终止，故选D考查内容：本题考查循环结构的程序框图，其中里面的参数较多，多次赋值语句的运用，看是简单，学生稍不留心就容易做错。8设 且,则A B C D解析: 由得即,所以,由已知 所以 ,在上单调递增,所以,故选C考查内容：本题主要考察三角函数恒等变换，其中考到了切化弦，两角差的正弦公式，以及诱导公式，给值求角。考查.难度中等. 9.不等式组的解集记为D,有下面四个命题其中的真命题是A B C D解析:令,所以,解得,所以,因而可以判断为真,故选B考查内容：本题与简易逻辑相结合，考查线性规划。情景比较新颖，考到了可行域、全称命题与特称命题，但不算难。10.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则 A B C D解析:由已知又,则,过Q作QD垂直于l，垂足为D，所以，故选B考查内容：主要考查抛物线的定义，抛物线的性质，以及平面几何图形分析处理能力， 11已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A B C D解析：当时， 有两个零点，不满足条件当时，令，解得，当时，在，为极小值，为极大值，若存在唯一的零点，且，只需，当时，在，为极大值，为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C考查内容：本题考查函数零点的定义、导数在函数中的应用，借助求导求极值得出函数的图像特征，进而求出符合条件的参数范围。本题考查了数形结合。分类讨论的数学思想。12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为. .6 . .4解析：几何体为如图所示的一个三棱锥，底面ABC为等腰三角形， 顶点B到AC的距离为4，面，且三角形为以A为直角的等腰直角三角形，所以棱最长，长度为6，故选B考查内容：考查三视图的识图能力，以及正方体的作用。在中明确强调了长方体的作用. 以长方体为依托是解决问题的有效手段. 本题考查了学生的识图能力及空间想象能力。启示：对于同一个几何体，由于放置的位置不同（尤其是常规几何体的非常规放法），其三视图也不相同；平时应加强学生对同一几何体通过摆放位置的不同对同一几何体的三视图进行练习，便于明确几何体的结构特征. 第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)解析：，故展开式中的系数为 考查内容：本题考查二项式定理。通项及组合数公式14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .解析：乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填A 考查内容：在该题中“没有公式，没有原理，没有运算，只考查学生的逻辑推理能力。15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .解析：，如图所示，O为中点，即为圆O的直径，所以与的夹角为 考查内容：考查向量的加法运算，与圆内接三角形问题，难度较小16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .解析：，因为=2，所以面积，而考查内容：考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，以及基本不等式在求最值当中的应用.。难度中等。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.解析: ()证明：当时，-得（）存在，证明如下：假设存在，使得为等差数列，则有，而=1，所以，此时为首项是1，公差为4的等差数列 考查内容： 1.考查数列递推公式的应用；2.等差数列的定义以及相关的公式和性质。较难。18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：12.2.若，则=0.6826，=0.9544.解析:()（）(i)由()知, =150,所以,（ii）100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数服从二项分布 ,所以考查内容：考查如何由频率分布直方图求样本平均数和方差；正态分布中的 3原则；以及二项分布求期望.难度稍大. 19. (本小题满分12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值.解析: () 证明： 侧面为菱形,令又, ,又O为中点,所以三角形为等腰三角形,所以（），AB=BC，令,又由已知可求 如图所示建立空间直角坐标系 ,设为平面的一个法向量,则 设为平面的一个法向量,则则 ,所以二面角的余弦值为考查内容：以斜三棱柱为载体证明线段相等，求二面角的余弦值。属于常规题目。 20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.解析: ()由已知得 （）当直线垂直于x轴时，不存在令直线的方程为与联立消去y有： 令 整理得，令点O到直线l的距离为d,则 所以的面积 ，令此时直线l的方程为或命题立意：本题考查了椭圆的标准方程和几何性质以及直线与曲线相交的问题，考查了运算推理能力和转化求解的应用意识，难度较大. 21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，）处的切线为. ()求； （）证明：.21解析：() 因为曲线在点（1，）处的切线为，所以 （）证明：由()知，欲证，只需证，即证，即证令当 所以成立，所以命题立意：知识：函数性质，导数的几何意义，函数的导数、不等式等；能力：运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，也考查了函数与方程，化归与转化等数学思想，难度较大. 22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.()证明：D=E； （）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形.解析：.()证明：四边形ABCD是O的内接四边形， （）证明：取中点，连接，由MB=MC得，由AD的中点为M得ADE为等边三角形.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.解析：()曲线的参数方程为 ，直线的普通方程为；（）令点坐标为,点P到直线l的距离为d ,所以24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲若，且.() 求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.解析：() 法一:法二:令，,所以（）不存在，使得因为,所以不存在22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.()证明：； （）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值。24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.三选一试题没有太大变化，只是不等式选讲一改往年风格，没有考绝对值不等式，只考查了基本不等式的应用.难度比往年稍大. 五、2015年高考命题展望（1）集合的考查重点是抽象思维能力，考查集合与集合之间的关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合来发展，考查“充分与必要条件”、命题的真伪，主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解.（2）向量作为一项工具将广泛应用于高中各个学科当中.特别是与解析几何、函数、立体几何的有机结合将成为一种趋势，向量将不再停留在问题的表述语言水平上，其综合性程度将会逐渐增强.向量和平面几何结合的选择填空题将是高考命题的一个亮点.（3）函数的奇偶性和单调性向抽象函数拓展，函数与导数结合是高考的热门话题.函数的图象要注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数图象的对称性、函数值的变化趋势.对指数函数与对数函数的考查，大多是以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决，能运用函数性质比较熟练地进行有关函数式的大小比较，方程解的讨论等.因为三次函数的导数是二次函数，所以，对于三次函数的命题是有可能的.其他新颖函数将是高考命题的设计点，这是因为导数成为高考的热门话题.连续函数在闭区间上的最值定理极有可能在考题中出现. 另外，导数试题的三个层次第一层次：导数的概念、求导的公式和求导的法则；第二层次：导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间，证明函数的增减性等；第三层次：综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等结合在一起。（4）近年对三角函数的变换的考查有逐步强化的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题，与三角函数图象有关的问题，应用同角变换和诱导公式，求三角函数的值及化简，等式的证明问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形中的问题等.（5）数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合求解题对基础和能力实现了双重检验，三者的综合求证题所显示的代数推理是近年来数学高考命题的新的热点.等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和的公式，对基本的运算技能要求比较高.Sn与an之间的关系经常是考查的重点，需要灵活应用.递推数列是近年高考命题的一个热点内容之一，常考常新.（6）不等式的重点考查有四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式的应用和不等式的综合性问题.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式的证明过程中的放缩法是历年高考命题的一个热点，放缩中的“度”的把握更能显出解题的真功夫.（7）空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面