中外数学史第12章.ppt

中外数学史 聊城大学数学科学学院房元霞2013 9 读史使人明智 读诗使人灵秀 数学使人周密 科学使人深刻 伦理学使人庄重 逻辑修辞之学使人善辩 凡有所学 皆成性格 培根 弗朗西斯 培根 FrancisBacon 1561年1月22日 1626年4月9日 英国唯物主义哲学家 思想家和科学家 被马克思称为 英国唯物主义和整个现代实验科学的真正始祖 学习历史 可以以史为鉴 避免我们犯类似的错误 避免走弯路 专升本考试课程 学习数学史的意义 1 数学史的科学意义每一门科学都有其发展的历史 作为历史上的科学 既有其历史性又有其现实性 其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面 今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展 或者是对历史上科学难题的解决 因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系 科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴 以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路 为当今科技发展决策的制定提供依据 也是我们预见科学未来的依据 多了解一些数学史知识 也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图 证明四色定理等荒唐事 也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力 同时 总结我国数学发展史上的经验教训 对我国当今数学发展不无益处 学习数学史的意义 2 数学史的文化意义美国数学史家m 克莱因曾经说过 一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关 这种关系在我们这个时代尤为明显 数学不仅是一种方法 一门艺术或一种语言 数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系 其内容对自然科学家 社会科学家 哲学家 逻辑学家和艺术家十分有用 同时影响着政治家和神学家的学说 数学已经广泛地影响着人类的生活和思想 是形成现代文化的主要力量 因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史 又是人类文明史的最重要的组成部分 许多历史学家通过数学这面镜子 了解古代其他主要文化的特征与价值取向 学习数学史的意义 3 数学史的教育意义当我们学习过数学史后 自然会有这样的感觉 数学的发展并不合逻辑 或者说 数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致 我们的教科书业已经过千锤百炼 是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的 是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系 这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景 知识背景 演化历程以及导致其演化的各种因素 因此仅凭数学教材的学习 难以获得数学的原貌和全景 同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法 而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习 数学史的研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学 简单地说就是研究数学的历史 它不仅追溯数学内容 思想和方法的演变 发展过程 而且还探索影响这种过程的各种因素 以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响 因此 数学史研究对象不仅包括具体的数学内容 而且涉及历史学 哲学 文化学 宗教等社会科学与人文科学内容 是一门交叉性学科 从研究材料上说 考古资料 历史档案材料 历史上的数学原始文献 各种历史文献 民族学资料 文化史资料 以及对数学家的访问记录 等等 都是重要的研究对象 其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料 从研究目标来说 可以研究数学思想 方法 理论 概念的演变史 可以研究数学科学与人类社会的互动关系 可以研究数学思想的传播与交流史 可以研究数学家的生平等等 背景 世界数学中心的几次转移公元前19世纪 公元前6世纪的古巴比伦最先进入文明社会 他们的数学知识自然超前其他民族 巴比伦数学以计算为主 公元前6世纪 数学中心转移到了古希腊 以研究空间形式为主 形成了严密的公理化体系 公元前2世纪前后 古希腊数学走向衰弱 以探讨数量关系为主的中国传统数学后来居上 文艺复兴之后 世界数学中心转移到欧美 第一章中国传统数学概述 中国传统数学的特点 密切联系社会实际 长于计算 其算法具有程序化 机械化的特点 第一章中国传统数学概述 一 算术 算法 算经 算学和数学 我国古代数学称为算术 后来又叫算学 数学 近几年来才确定统一叫数学 我国古代 算术指的是当时数学的全体 包含现今初等数学中的算术 代数 几何 三角等方面的知识 算术 一词最早见于 周髀算经 表示用以处理实际问题的计算方法 汉唐的数学著作称为 xx算术 后来为了提高这些著作的地位改称 xx算经 隋唐时代 国家成立了 算学 这一专门机构以培养天文和数学人才 算学 与 算术 等同了 算学 就是计算之学问 宋元时期的数学著作 算法 之名 同时 数学 一词开始使用 1935年 中国数学学会成立数学名词审查委员会 确立了 算术 的意义是 研究自然数和自然数在加 减 乘 除 正整数在乘方及开方运算下产生的数的性质 运算法则 以及在实际中的应用 1939年6月始统一称数学 而算术则作为数学的一个分科沿用了下来 二 中国传统数学的突出成就 1 算筹 筹算与十进制计数法 2 分数理论 3 率的理论 4 正负数及其运算法则 5 线性方程组及其解法 6 设未知数列方程及一般高次方程数值解法 7 多元高次方程及其解法 8 一般高阶等差级数求和 9 一次同余式解法 10 割圆术及其对圆周率的科学推算 11 勾股 重差理论及其应用 12 无穷小分割和极限思想 13 多边形面积和多面体体积公式的推导与证明 14 珠算技术等 三 中国数学史的分期 第一时期 中国数学的萌芽 远古至春秋 第二时期 中国传统数学框架的形成 战国至两汉 第三时期 中国传统数学理论的奠基 魏晋至南北朝 第四时期 中国数学专科教育的诞生 隋唐 第五时期 中国传统数学的高潮 唐中叶至宋元时期 第六时期 中国数学的衰落 明初至清中 1840年 第七时期 中西数学的合流 清中至清末 1911年 第八时期 中国近代数学的奠基与发展 清末至今 第二章中国早期的数学知识和数学思想第一节中国早期的数学工具 算筹与规 矩 一 计算工具 算筹算筹即用于计算的小竹棍 他是中国人创造的计算工具 珠算产生前 我们的祖先用算筹来计算 西汉的象牙算筹 西汉的金属算筹 算筹计算的缺点 1 算筹较长 计算时占用的地方大 2 截面呈圆形 容易滚动造成错乱 3 中间计算步骤不能保留 因此不便于检验 中国古代用算筹进行计算 称作算筹 二 算筹计数依据十进位置值制 中国古代结绳记事 记数 事大 大结其绳 事小 小结其绳 结之多少 随物重寡 因为结绳不甚方便 以后便在物体 石 木 骨等 上刻痕以代之 再进一步发展成文字 有人认为 契 字的结构是符木的象形 符木是一根木棒上刻有数字或符号剖成两半 双方各执一半 合起来以验真伪 中国古代朝廷就用这种东西传达命令或调兵遣将 如兵符 虎符 二 算筹计数依据十进位置值制 甲骨文 二 算筹计数依据十进位置值制 中国最晚春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值 普遍使用了算筹这种先进的计算工具 人们已经谙熟九九乘法表 整数四则运算 并使用了分数 算筹计数的方法见于公元前400年左右的 孙子算经 凡算之法 先识其位 一纵十横 百立千僵 千 十相望 万 百相当 3703 空一格表示零 如 3763 二 算筹计数依据十进位置值制 中国古代的 算 字 中国古代用算筹进行计算 称作算筹 三 中国古代的测绘工具 规矩gu j 三 中国古代的测绘工具 规矩gu j 方圆是古代几何学中最基本的图形 规矩就是当时最基本的的绘图与测量工具 规是圆规 用以画圆或正圆 矩就是直角曲尺 用以画方或正方 在成书于公元前二世纪的 周髀算经 中记载了周初周公与数学家商高的一次谈话中论述了矩的使用方法 平矩以正绳 偃矩以望高 履矩以测深 卧矩以知远 环矩以为圆 合矩以为方 这是古代长期使用矩进行测绘的经验总结 平矩以正绳 是平 直的方法 环矩以为圆 合矩以为方 是以矩代规可以画圆和用矩画方的方法 偃矩以望高 履矩以测深 卧矩以知远 都是利用相似勾股性质或比例线段性质测量高 深 广 远的方法 也就是推求第四比例项的方法 春秋战国时代城墙的建筑已开始绘制平面图 第二节春秋战国时期的数学知识和数学思想 一 墨经 中的数学知识与数学思想1 墨经 中的几何与逻辑知识 墨经 是以墨翟 约公元前490 公元前405 为首的墨家学派的著作 墨经 分 经上 经下 经说上 经说下 四篇及 大取 小取 二篇 是诸子百家中阐述自然科学理论最丰富的著作 几何知识 1 平行线的定义 2 两条线段等长的定义 3 线段中点的定义 4 圆的定义 5 三点共线定义为 直 6 点的描述 7 正方形或长方形的定义 逻辑知识 充分条件 有之则必然 必要条件 有之不必然 无之必不然 2 墨经 中的无限分割思想 点是无限分割之极限 的思想 实无限取线段左端点 如果把一条线段分成前 左 后 右 两半 保留前半而弃去后半 再弃去后半的后半 如此不断的分割和取舍 剩余部分小到不能再分半 就是左端点 取线段中的一点 采用前后取的办法 第一次取线段的前半 第二次取线段前半的后半 第三次取后半的前半 如此下去 也会出现一个不可分割的 端 区间套定理 有穷 及 无穷 的定义用一个长度单位去度量一个区域 若能到边缘不足这个单位 则这个区域是有穷的 如果继续量下去 前面总是长于这个单位 则这个区域是无穷的 带余除法 3 惠施对数学中 无限 的认识 名家宋国人惠施 公元前370 公元前310 大到没有外部称为无穷大 小到没有内部 成为无穷小 庄子 天下篇 一尺之棰 日取其半 万世不竭 名家认为无限分割的过程永远不会停止 类似于希腊潜无的思想 二 周易 中的数学知识和数学思想 周易 又称 易经 成书于春秋时期 被认为是中国文化的源头 包括 经 传 易 为变 变换之意 穷则变 变则通 通则久 周易 的宇宙变换模式 易生太极 是生两仪 两仪生四象 四象生八卦 1 组合数学的萌芽 四象 八卦等的排列 相当于组合数学中的重排列 2 二进制思想 3 坐标系思想 若把阳爻看作 阴爻看作 八卦中每一卦的三个爻分别作为 则八卦就是 3 坐标系思想 河出图 洛出书 圣人则之 第三节 周髀算经 与勾股定理 一 周髀算经 的成书 周髀算经 是中国古代最早的一部天文 数学著作 约成书于公元前1世纪 髀 原义是股或股骨 这里借指测量用的 表 标杆 因书中记载了不少周代的天文知识 故名 周髀 唐初规定它为国子监明算科的教材之一 取名 周髀算经 周髀算经 在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用 原书没有对勾股定理进行证明 其证明是三国时东吴人赵爽在 周髀注 一书的 勾股圆方图注 中给出的 在天文学方面主要阐明当时的盖天说和四分历法 中国古代 按所提出的宇宙模式的不同 天文学共有3家学说 盖天说 是其中之一 而 周髀算经 是 盖天说 的代表 这派学说主张 天像盖笠 地法覆盆 天空如斗笠 大地像翻扣的盆 二 周髀算经 的主要数学成就 1 勾股定理该书的第一章叙述了商高答周公问时提到的勾股定理测量的方法 还举出了一个 勾三股四弦五 的特例 该书的另一处叙述了陈子答荣方问时 给出了勾股定理的一般形式 2 周髀算经 的重差术 如果不知目的物的远近 要量它的高 必须两次测望 要量它的深 必须两次测望 要量二物之间的距离 必须两次观望 后来数学家称这种测量方法为重差术 如图 其中 两次用到了差 从而成为重差术 陈子为誉为世界 测量学之祖 3 周髀算经中的其他数学成就 1 分数运算 2 等差数列和圆周长求法 3 一次内插法 3 赵爽勾股定理的证明 赵爽 字君卿 中国数学家 三国时代吴国人 生平不详 约生活于公元3世纪初 据载 他研究过张衡的天文学著作 灵宪 和刘洪的 乾象历 也提到过 算术 他的主要贡献是约在222年深入研究了 周牌算经 为该书写了序言 并作了详细注释 其中一段600余字的 勾股圆方图 注文是数学史上极有价值的文文献 它记述了勾股定理的理论证明 这是我国对勾股定理的最早证明 赵爽将勾股定理表述为 勾股各自乘 并之 为弦实 开方除之 即弦 证明方法叙述为 按弦图 又可以勾股相乘为朱实二 倍之为朱实四 以勾股之差自相乘为中黄实 加差实 亦成弦实 3 赵爽勾股定理的证明 弦图 赵爽证勾股定理所体现的中国证明的特点 1 利用构造方法 而不是演绎方法 通过对几何图形的截 割 拼 补 利用面积或体积关系来证明 简洁 形象 直观 易于理解和掌握 且极富创意 这种方法开创了中国出入相补原理的先河 成为中国 析理以辞 解题用图 的先导 2 该证明是以形证数 数形结合思想的集中体现 出入相补原理 所谓出入相补原理 用现代语言来说 就是指这样的明显事实 一个平面图形从一处移置他处 面积不变 又若把图形分割成若干块 那么各部分面积的和等于原来图形的面积 因而图形移置前后诸面积间的和 差有简单的相等关系 立体的情形也是这样 应用这一原理 容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式 由此以定任意多角形的面积 4 西方对勾股定理的证明 欧几里得 公元前330 公元前275年 在 几何原本 中