高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课件 文 苏教版.ppt

9 5椭圆 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内到两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于f1f2 的点的轨迹叫做 两个定点f1 f2叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合p为椭圆 2 若 则集合p为线段 3 若 则集合p为空集 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 a c a c a c 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 点p x0 y0 和椭圆的关系 1 点p x0 y0 在椭圆内 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到两个定点f1 f2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 5 1 a b 表示焦点在y轴上的椭圆 6 1 a b 0 与 1 a b 0 的焦距相等 考点自测 1 教材改编 椭圆 1的焦距为4 则m 答案 解析 4或8 由题意知 解得m 4或m 8 2 2016 苏州检测 在平面直角坐标系xoy内 动点p到定点f 1 0 的距离与p到定直线x 4的距离的比值为 则动点p的轨迹c的方程为 答案 解析 设点p x y 由题意知 化简得3x2 4y2 12 所以动点p的轨迹c的方程为 1 3 2016 全国乙卷改编 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 答案 解析 如图 由题意得 bf a of c ob b od 2b b 在rt fob中 of ob bf od 即cb a b 解得a 2c 故椭圆离心率e 4 已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f 1 0 离心率等于 则c的方程是 由题意知c 1 e 所以a 2 b2 a2 c2 3 故所求椭圆方程为 1 答案 解析 5 教材改编 已知点p是椭圆 1上y轴右侧的一点 且以点p及焦点f1 f2为顶点的三角形的面积等于1 则点p的坐标为 答案 解析 设p x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则f1 1 0 f2 1 0 由题意可得点p到x轴的距离为1 所以y 1 把y 1代入 1 得x 又x 0 所以x 所以p点坐标为或 题型分类深度剖析 题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1 2016 徐州模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为o f是圆内一定点 m是圆周上一动点 把纸片折叠使m与f重合 然后抹平纸片 折痕为cd 设cd与om交于点p 则点p的轨迹是 答案 解析 椭圆 由条件知pm pf po pf po pm om r of p点的轨迹是以o f为焦点的椭圆 几何画板展示 命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的3倍 并且过点p 3 0 则椭圆的方程为 答案 解析 y2 1或 1 若焦点在x轴上 设方程为 1 a b 0 椭圆过p 3 0 1 即a 3 又2a 3 2b b 1 椭圆方程为 y2 1 若焦点在y轴上 设方程为 1 a b 0 椭圆过点p 3 0 1 即b 3 又2a 3 2b a 9 椭圆方程为 1 所求椭圆的方程为 y2 1或 1 2 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点p1 1 p2 则椭圆的方程为 答案 解析 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点p1 p2 点p1 p2的坐标适合椭圆方程 两式联立 解得 所求椭圆方程为 1 命题点3利用定义解决 焦点三角形 问题例3已知f1 f2是椭圆c 1 a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且 若 pf1f2的面积为9 则b 答案 解析 3 设pf1 r1 pf2 r2 因为2r1r2 r1 r2 2 4a2 4c2 4b2 又因为 所以b 3 几何画板展示 引申探究1 在例3中 若增加条件 pf1f2的周长为18 其他条件不变 求该椭圆的方程 解答 由原题得b2 a2 c2 9 又2a 2c 18 所以a c 1 解得a 5 故椭圆方程为 1 2 在例3中 若将条件 pf1f2的面积为9 分别改为 f1pf2 60 结果如何 解答 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 所以 2pf1 pf2cos60 即 pf1 pf2 2 3pf1 pf2 4c2 所以pf1 pf2 b2 所以3pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 所以pf1 pf2 又因为 所以b 3 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 3 当p在椭圆上时 与椭圆的两焦点f1 f2组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 思维升华 跟踪训练1 1 2016 盐城模拟 已知两圆c1 x 4 2 y2 169 c2 x 4 2 y2 9 动圆在圆c1内部且和圆c1相内切 和圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 答案 解析 设圆m的半径为r 则mc1 mc2 13 r 3 r 16 8 c1c2 所以m的轨迹是以c1 c2为焦点的椭圆 且2a 16 2c 8 故所求的轨迹方程为 1 几何画板展示 2 2016 镇江模拟 设f1 f2分别是椭圆 y2 1的左 右焦点 若椭圆上存在一点p 使 0 o为坐标原点 则 f1pf2的面积是 1 pf1 pf2 f1pf2 90 设pf1 m pf2 n 则m n 4 m2 n2 12 2mn 4 答案 解析 题型二椭圆的几何性质例4 1 已知点f1 f2是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点p是该椭圆上的一个动点 那么的最小值是 2 答案 解析 设p x0 y0 则 1 x0 y0 1 x0 y0 2x0 2y0 点p在椭圆上 0 1 当 1时 取最小值2 2 2016 全国丙卷改编 已知o为坐标原点 f是椭圆c 1 a b 0 的左焦点 a b分别为椭圆c的左 右顶点 p为c上一点 且pf x轴 过点a的直线l与线段pf交于点m 与y轴交于点e 若直线bm经过oe的中点 则c的离心率为 答案 解析 设m c m 则 oe的中点为d 则 又b d m三点共线 所以 a 3c e 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 思维升华 跟踪训练2 2016 江苏 如图 在平面直角坐标系xoy中 f是椭圆 1 a b 0 的右焦点 直线y 与椭圆交于b c两点 且 bfc 90 则该椭圆的离心率是 答案 解析 联立方程组 解得b c两点坐标为 又f c 0 则 又由 bfc 90 可得 0 代入坐标可得 c2 0 又因为b2 a2 c2 代入 式可化简为 则椭圆离心率为e 题型三直线与椭圆例5 2016 天津 设椭圆的右焦点为f 右顶点为a 已知 其中o为原点 e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 解答 可得a2 c2 3c2 又a2 c2 b2 3 所以c2 1 因此a2 4 所以椭圆的方程为 1 2 设过点a的直线l与椭圆交于点b b不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点m 与y轴交于点h 若bf hf 且 moa mao 求直线l的斜率 解答 设直线l的斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 2 设b xb yb 由方程组消去y 整理得 4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 解得x 2或x 由题意 得xb 从而yb 由 1 知 f 1 0 设h 0 yh 设m xm ym 由方程组消去y 因此直线mh的方程为y 解得xm 在 mao中 moa mao ma mo 所以直线l的斜率为 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 2 设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 k为直线斜率 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 思维升华 跟踪训练3如图 已知椭圆o y2 1的右焦点为f b c分别为椭圆o的上 下顶点 p是直线l y 2上的一个动点 与y轴交点除外 直线pc交椭圆o于另一点m 1 当直线pm过椭圆的右焦点f时 求 fbm的面积 解答 由题意知b 0 1 c 0 1 焦点f 0 当直线pm过椭圆o的右焦点f时 直线pm的方程为 1 即y 1 联立 解得或 舍去 即点m的坐标为 连结bf 则直线bf的方程为 1 即x 0 又bf a 2 点m到直线bf的距离为 故 fbm的面积为s mbf 2 记直线bm bp的斜率分别为k1 k2 求证 k1 k2为定值 解答 方法一设p m 2 且m 0 则直线pm的斜率为k 则直线pm的方程为y x 1 联立消去y 得 0 解得点m的坐标为 所以k1 k2 为定值 方法二设点m的坐标为 x0 y0 x0 0 则直线pm的方程为y x 1 令y 2 得点p的坐标为 2 求的取值范围 解答 方法一由 知 m 3 令m2 4 t 4 因为y t 7在t 4 上单调递增 故的取值范围为 9 因为y t 7在t 0 2 上单调递减 令t y0 1 0 2 故的取值范围为 9 考点分析离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表示 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点8 典例1 2015 福建改编 已知椭圆e 1 a b 0 的右焦点为f 短轴的一个端点为m 直线l 3x 4y 0交椭圆e于a b两点 若af bf 4 点m到直线l的距离不小于 则椭圆e的离心率的取值范围是 答案 解析 左焦点f0 连结f0a f0b 则四边形afbf0为平行四边形 af bf 4 af af0 4 a 2 设m 0 b 则 1 b 2 典例2 14分 2016 浙江 如图 设椭圆 y2 1 a 1 1 求直线y kx 1被椭圆截得的线段长 用a k表示 2 若任意以点a 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点 求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 1 设直线y kx 1被椭圆截得的线段为am 由得 1 a2k2 x2 2a2kx 0 故x1 0 x2 6分 2 假设圆与椭圆的公共点有4个 由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点p q 满足ap aq 记直线ap aq的斜率分别为k1 k2 且k1 k2 0 k1 k2 8分 由k1 k2 k1 k2 0 得1 a2 2 a2 0 因此 1 a2 a2 2 因为 式关于k1 k2的方程有解的充要条件是1 a2 a2 2 1 所以a 12分 因此 任意以点a 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 a 所以离心率的取值范围是 0 14分 课时作业 1 2016 盐城模拟 已知椭圆c 1 m 0 的左 右焦点分别为f1 f2 过f2的直线l交c于a b两点 若 af1b的周长为 则椭圆c的方程为 af1b的周长 af1 bf1 af2 bf2 4a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 2016 苏北四市一模 已知椭圆 1 a b 0 点a b1 b2 f依次为其左顶点 下顶点 上顶点和右焦点 若直线ab2与直线b1f的交点恰在直线x 上 则椭圆的离心率为 答案 解析 由题意知直线ab2 1 直线b1f 1 联立解得x 若交点在椭圆的右准线上 则 即2c2 ac a2 0 所以2e2 e 1 0 解得e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若对任意k r 直线y kx 1 0与椭圆 1恒有公共点 则实数m的取值范围是 联立直线与椭圆的方程 消去y得 2k2 m x2 4kx 2 2m 0 因为直线与椭圆恒有公共点 所以 16k2 4 2k2 m 2 2m 0 即2k2 m 1 0恒成立 因为k r 所以k2 0 则m 1 0 所以m 1 又m 2 所以实数m的取值范围是 1 2 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 2 4 2016 南昌模拟 已知椭圆 x2 1 过点p 的直线与椭圆相交于a b两点 且弦ab被点p平分 则直线ab的方程为 答案 解析 9x y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设a x1 y1 b x2 y2 因为a b在椭圆 x2 1上 即 x1 x2 x1 x2 0 又弦ab被点p 平分 所以x1 x2 1 y1 y2 1 将其代入上式 得 x1 x2 0 得 9 即直线ab的斜率为 9 所以直线ab的方程为y 9 x 即9x y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 宿迁模拟 已知f1 f2是椭圆 y2 1的两个焦点 p为椭圆上一动点 则使pf1 pf2取得最大值的点p为 答案 解析 0 1 或 0 1 由椭圆定义得pf1 pf2 2a 4 pf1 pf2 2 4 当且仅当pf1 pf2 2 即p 0 1 或 0 1 时 pf1 pf2取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知两定点a 2 0 和b 2 0 动点p x y 在直线l y x 3上移动 椭圆c以a b为焦点且经过点p 则椭圆c的离心率的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知 椭圆c的离心率e 求e的最大值 即求a的最小值 由于a b两点是椭圆的焦点 所以pa pb 2a 即在直线l上找一点p 使pa pb的值最小 设点a 2 0 关于直线l y x 3的对称点为q x0 y0 即q 3 1 则pa pb qb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若椭圆 1 a 0 b 0 的焦点在x轴上 过点 2 1 作圆x2 y2 4的切线 切点分别为a b 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程为 答案 解析 设切点坐标为 m n 则 1 即m2 n2 n 2m 0 m2 n2 4 2m n 4 0 即直线ab的方程为2x y 4 0 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c 4 0 b 4 0 解得c 2 b 4 a2 b2 c2 20 椭圆方程为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知p为椭圆 1上的一点 m n分别为圆 x 3 2 y2 1和圆 x 3 2 y2 4上的点 则pm pn的最小值为 答案 解析 7 由题意知椭圆的两个焦点f1 f2分别是两圆的圆心 且pf1 pf2 10 从而pm pn的最小值为pf1 pf2 1 2 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2017 连云港质检 椭圆 y2 1的左 右焦点分别为f1 f2 点p为椭圆上一动点 若 f1pf2为钝角 则点p的横坐标的取值范围是 设椭圆上一点p的坐标为 x y f1pf2为钝角 0 即x2 3 y2 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知椭圆 1 a b 0 的离心率等于 其焦点分别为a b c为椭圆上异于长轴端点的任意一点 则在 abc中 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在 abc中 由正弦定理得 因为点c在椭圆上 所以由椭圆定义知ca cb 2a 而ab 2c 所以 11 2016 南京模拟 如图 椭圆c 1 a b 0 的右焦点为f 右顶点 上顶点分别为a b 且ab bf 1 求椭圆c的离心率 解答 由已知ab bf 即 4a2 4b2 5a2 4a2 4 a2 c2 5a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若斜率为2的直线l过点 0 2 且l交椭圆c于p q两点 op oq 求直线l的方程及椭圆c的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设p x1 y1 q x2 y2 直线l的方程为y 2 2 x 0 即2x y 2 0 由 1 知a2 4b2 椭圆c 1 由消去y 322 16 17 b2 4 0 解得b 得x2 4 2x 2 2 4b2 0 即17x2 32x 16 4b2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即x1x2 y1y2 0 x1x2 2x1 2 2x2 2 0 5x1x2 4 x1 x2 4 0 解得b 1 满足b 椭圆c的方程为 y2 1 1 2 3 4 5 6