第23讲 矩形、菱形和正方形(1).ppt

典型例题 例 如图 已知平行四边形ABCD 1 请找出一对全等三角形 并加以证明 2 在 1 中的全等三角形中的一个可以由另一个由怎样的变换得到 3 求证 OM OE ON OF 4 若直线EF绕点O旋转 则EF将平行四边形分成的两个图形的面积相等吗 请说明理由 特殊平行四边形 一 知识概要 矩形 一 知识概要 菱形 二 知识概要 正方形 平行四边形 四边形 矩形 菱形 正方形 有一个内角是直角 对角线相等 有一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边都相等 有三个角是直角 有一组邻边相等 对角线互相垂直 有一个内角是直角 对角线相等 特殊的平行四边形的关系图 平行四边形 矩形 菱形 正方形 四边形 特殊的平行四边形的关系图 例1工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行 1 先截出两对符合规格的铝合金窗料 如图 使AB CD EF GH 2 摆成如图所示的四边形 则这时窗框的形状是 理由是 3 将直角尺靠紧窗框的一个角 调整窗框的边框 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时 说明窗框合格 这时窗框是形 根据的数学道理是 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形 还有什么方法可以说明这个铝合金窗框是合格的 想一想 A B C D 例2将一张矩形的纸对折再对折 然后沿着图中的虚线剪下 打开 你会发现这是一个什么四边形 你能解释其中的道理吗 若展开后的菱形纸片ABCD中 两条对角线AC BD 4 1 求菱形ABCD的面积 3 求 ADC的度数 2 求菱形ABCD的周长 在矩形ABCD中 有一个菱形BFDE 点E F分别在线段AB CD上 记它们的面积分别为 则下列命题中真命题有 若 则 若则 如果想得到一个正方形 该怎么剪 并解释你这样做的道理 想一想 例3 铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角 AOB 60 AOB的周长为3m 求 1 窗框对角线AC长 2 求窗框ABCD的面积 例4如图 两张等宽的纸条交叉重叠在一起 猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状 说说你的理由 例5 已知四边形ABCD是正方形 1 若一条对角线BD长为2cm 求这个正方形的周长 面积 E M N 2 若E为对角线上一点 作EM BC于M EN DC于N 连接EA MN 求证 EA MN 3 若AB BE 求 AED的大小 如图 边长为6的大正方形中有两个小正方形 若两个小正方形的面积分别为S1 S2 则S1 S2的值为 例6 如图1 正方形ABCD的对角线AC BD相交于点O E是AC上的一点 连接EB 过点A作AM BE 垂足M AM交BD于点F 1 求证OE OF 2 如图2所示 若点E在AC的延长线上 AM EB的延长线于点M 交DB的延长线于点F 其他条件都不变 则结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 A B C D O F E M A B C D F E M O 例7 如图 四边形ABCD中 AB AD BAD C 90 AE BC于E 且四边形ABCD的面积是16 求AE的长 已知 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 CD AD AD2 CD2 2AB2 1 求证 AB BC 2 当BE AD于E时 试证明 BE AE CD 8 已知 正方形ABCD中 MAN 45 MAN绕点A顺时针旋转 它的两边分别交CB DC 或它们的延长线 于点M N AH MN于点H 1 如图 当 MAN绕点A旋转到BM DN时 请你直接写出AH与AB的数量关系 2 如图 当 MAN绕点A旋转到BM DN时 1 中发现的AH与AB的数量关系还成立吗 如果不成立请写出理由 如果成立请证明 3 如图 已知 MAN 45 AH MN于点H 且MH 2 NH 3 求AH的长 可利用 2 得到的结论 例9 如图 在 ABC中 ACB 90 BC的中垂线DE交BC于点D 交AB于点E F在DE的延长线上 并且AF CE 1 证明 四边形ACEF是平行四边形 2 当 B的大小满足什么条件时 四边形ACEF是菱形 请回答并证明你的结论 3 四边ACEF有可能是正方形吗 请证明你的结论 10 探究下列问题 1 如图 在 ABC中 CP AB于点P 求证 AC2 BC2 AP2 BP2 2 如图 在四边形ABCD中 AC BD 垂足为P 猜一猜AB BC CD DA之间有何数量关系 用式子表示出来 不必说明理由 3 如图 在矩形ABCD中 P为内部任意一点 请猜想出AP BP CP DP之间的数量关系 并证明 例11 已知正方形ABCD ME BD MF AC 垂足分别为E F 1 M是AD的中点 若对角线AC 12cm 求ME MF的长 2 若M是AD上的一个动点 ME MF的长度是否会改变 3 当M点运动到AD延长线上时 是否存在类似 2 中不变的值 求出其值 4 当M点运动到何处时 四边形MFOE的面积最大 12 如图 ABCD CEFG是正方形 E在CD上 直线BE DG交于H 且HE HB 4 2 2 BD AF交于M 当E在线段CD 不与C D重合 上运动时 下列四个结论 BE GD AF GD所夹的锐角为45 GD 2AM 若BE平分 DBC 则正方形ABCD的面积为4 其中正确的结论是 例13 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 请添加一个条件 使四边形EFGH为菱形 并说明理由 解 添加的条件 AC BD 我想到 三角形中位线定理 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 请添加一个条件 使四边形EFGH为矩形 并说明理由 解 添加的条件 AC BD 我想到 三角形中位线定理 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 请添加一个条件 使四边形EFGH为正方形 并说明理由 解 添加的条件 AC BD 我想到 三角形中位线定理 且AC BD 1 顺次连接任意四边形各边中点得 2 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得 3 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得 4 顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得 我发现 平行四边形 菱形 矩形 正方形 新四边形的周长 面积与原四边形有何联系 1 矩形的 中点四边形 是形 2 菱形的 中点四边形 是形 3 正方形的 中点四边形 是形 矩 菱 正方 那么 特殊平行四边形的 中点四边形 会是怎样的图形呢 解 四边形CODP是菱形 DP OC DP OC 四边形CODP是平行四边形 四边形ABCD是矩形 CO DO 四边形CODP是菱形 如果题目中的矩形变为正方形 图二 结论又应变为什么 如果题目中的矩形变为菱形 图一 结论应变为什么 如图 矩形ABCD的对角线AC BD交于点O 过点D作DP OC 且DP OC 连结CP 试判断四边形CODP的形状 如图 点E F G H分别是任意四边形ABCD中AD BD BC CA的中点 当四边形ABCD的边至少满足条件时 四边形EFGH是菱形 例9 在平行四边形ABCD中 AC BD交于点O 过点O作直线EF GH 分别交平行四边形的四条边于E G F H四点 连结EG GF FH HE 1 如图 试判断四边形EGFH的形状 并说明理由 2 如图 当EF GH时 四边形EGFH的形状是 3 如图 在 2 的条件下 若AC BD 四边形EGFH的形状是 4 如图 在 3 的条件下 AC BD 试判断四边形EGFH的形状 并说明理由 例 如图 OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形片 O为原点 点A在x轴上 点C在y轴上 OA 10 OC 6 1 如图 在OA上选取一点G 将 COG沿CG翻折 使点O落在BC边上 设为E 求折痕CG所在直线的解析式 2 如图 在OC上任取一点D 将 AOD沿AD翻折 使点O落在BC边上 记为E 求折痕AD所在直线的解析式 再作E F AB 交AD于点F 若抛物线 过点F 求此抛物线的解析式 并判断它与直线AD的交点的个数 3 如图 在OC OA上选取适当的点D G 使纸片沿D G 翻折后 点O落在BC边上 记为E 请你猜想 折痕D G 所在直线与 中的抛物线会用什么关系 用 1 中的情形验证你的猜想 三 基本练习 填空题 1 如图 根据四边形的不稳定性制作边长为16cm的可活动的菱形衣架 若墙上钉子间的距离AB BC 16cm 则 1 度 2 已知 矩形ABCD的长AB 4 宽AD 3 按如图放置在直线AP上 然后不滑动转动 当它转动一周时 A A 顶点A所经过的路线长等于 120 6 三 基本练习 填空题 3 如图 已知正方形纸片ABCD M N分别是AD BC的中点 把BC向上翻折 使点C恰好落在MN上的P点处 BQ为折痕 则 PBQ 度 30 4 如图 已知正方形ABCD的边长为2 如果将线段BD绕着点B旋转后 点D落在CB的延长线上的D 处 那么tan BAD 等于 A 1 B C D 25 矩形ABCD的顶点A B C D按照顺时针方向排列 若在平面直角坐标系中 B D两点对应的坐标分别是 2 0 0 0 且A C两点关于x轴对称 则C点对应的坐标是 A 1 1 B 1 1 C 1 2 D B B 7已知