河南省郑州市一中高一数学上学期期末试卷（含解析）.docVIP

2015-2016学年河南省郑州市一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=1，0，1，n=x|x2x，则mn=（）a0b0，1c1，1d1，0，12下列函数中，在（，1）内是增函数的是（）ay=1x3by=x2+xcy=dy=3已知a=log5，b=log23，c=1，d=30.6，那么（）aacbdbadcbcabcddacdb4若函数f（x）=2ax2x1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是（）a（1，+）b（，1）c（1，1）d0，1）5下列命题中正确的是（）a有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱b有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥c由五个面围成的多面体一定是四棱锥d棱台各侧棱的延长线交于一点6四面体abcd中，e、f分别为ac、bd中点，若cd=2ab，efab，则ef与cd所成的角等于（）a30b45c60d907如图，在正方体abcda1b1c1d1中，a1b与平面bb1d1d所成的角的大小是（）a90b30c45d608在矩形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac将矩形abcd折成一个直二面角bacd，则四面体abcd的外接球的体积为（）abcd9函数f（x）=loga（ax2）在1，3上单调递增，则a的取值范围是（）a（1，+）b（0，2）c（0，）d（2，+）10数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知abc的顶点a（2，0），b（0，4），且ac=bc，则abc的欧拉线的方程为（）ax+2y+3=0b2x+y+3=0cx2y+3=0d2xy+3=011方程=k（x1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）a（，+）b（，1c（0，）d（，112设集合a=（x，y）|x2+y2|x|+|y|，x，yr，则集合a所表示图形的面积为（）a1+b2c2+d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为14（log3）23+log0.25+（）4=15当x（1，3）时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围是16圆c的方程为x2+y26x+8=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知集合a=x|x2x120，集合b=x|x2+2x80，集合c=x|x24ax+3a20，a0，（）求a（crb）；（）若c（ab），试确定实数a的取值范围18分别求出适合下列条件的直线方程：（）经过点a2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（）经过直线2x+7y4=0与7x21y1=0的交点，且和a（3，1），b（5，7）等距离19一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？20如图，已知矩形abcd中，ab=10，bc=6，将矩形沿对角线bd把abd折起，使a移到a1点，且a1在平面bcd上的射影o恰在cd上，即a1o平面dbc（）求证：bca1d；（）求证：平面a1bc平面a1bd；（）求点c到平面a1bd的距离21如图，已知圆心坐标为（，1）的圆m与x轴及直线y=x分别相切于a，b两点，另一圆n与圆m外切、且与x轴及直线y=x分别相切于c、d两点（1）求圆m和圆n的方程；（2）过点b作直线mn的平行线l，求直线l被圆n截得的弦的长度22已知函数，其反函数为y=g（x）（） 若g（mx2+2x+1）的定义域为r，求实数m的取值范围；（） 当x1，1时，求函数y=f（x）22af（x）+3的最小值h（a）；（） 是否存在实数mn2，使得函数y=h（x）的定义域为n，m，值域为n2，m2，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由2015-2016学年河南省郑州市一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=1，0，1，n=x|x2x，则mn=（）a0b0，1c1，1d1，0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】求出集合n，然后直接求解mn即可【解答】解：因为n=x|x2x=x|0x1，m=1，0，1，所以mn=0，1故选b【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题2下列函数中，在（，1）内是增函数的是（）ay=1x3by=x2+xcy=dy=【考点】函数单调性的判断与证明【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】逐一判断函数的单调性，推出正确结果即可【解答】解：y=1x3函数在（，1）内是减函数y=x2+x对称轴为x=，在（，1）内不是增函数y=1，在（，1）内是增函数，满足题意y=，函数在（，1）内是减函数故选：c【点评】本题考查函数的单调性的判断，是基础题3已知a=log5，b=log23，c=1，d=30.6，那么（）aacbdbadcbcabcddacdb【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用对数函数、指数数的性质求解【解答】解：a=log5=2，b=log23log22=1，c=1，0d=30.630=1，adcb故选：b【点评】本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数数的性质的合理运用4若函数f（x）=2ax2x1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是（）a（1，+）b（，1）c（1，1）d0，1）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题【分析】根据函数零点存在性定理，若函数f（x）=2ax2x1在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）0，可得关于a的不等式，解不等式，即可求出a的范围【解答】解：当=0时，a=，此时有一个零点x=2，不在（0，1）上，故不成立函数f（x）=2ax2x1在（0，1）内恰有一个零点，f（0）f（1）0，即1（2a1）0，解得，a1，故选a【点评】本题考查了函数零点存在性定理，属基础题，必须掌握5下列命题中正确的是（）a有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱b有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥c由五个面围成的多面体一定是四棱锥d棱台各侧棱的延长线交于一点【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征，即可得出结论【解答】解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，故a错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故b错误；由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故c不正确；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故棱台各侧棱的延长线交于一点，即d正确【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解答的关键6四面体abcd中，e、f分别为ac、bd中点，若cd=2ab，efab，则ef与cd所成的角等于（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】取ad的中点g，连接eg、fg，由三角形中位线定理得egcd，从而得到gef是ef与cd所成的角，由此能求出ef与cd所成的角的大小【解答】解：设cd=2ab=2，取ad的中点g，连接eg、fg，e、f分别为ac、bd中点，egcd，且eg=，fgab，且fg=efab，fgab，effgegcd，gef是ef与cd所成的角，在rtefg中，eg=1，gf=，effg，gef=30，即ef与cd所成的角为30故选：a【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养7如图，在正方体abcda1b1c1d1中，a1b与平面bb1d1d所成的角的大小是（）a90b30c45d60【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题【分析】连接a1c1交b1d1于o，连接ob，说明a1bo为a1b与平面bb1d1d所成的角，然后求解即可【解答】解：连接a1c1交b1d1于o，连接ob，因为b1d1a1c1，a1c1bb1，所以a1c1平面bb1d1d，所以a1bo为a1b与平面bb1d1d所成的角，设正方体棱长为1，所以a1o=，a1b=，sina1bo=，a1bo=30故选b【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力8在矩形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac将矩形abcd折成一个直二面角bacd，则四面体abcd的外接球的体积为（）abcd【考点】球的体积和表面积【专题】计算题【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线ac上，且其半径为ac长度的一半，则v球=（）3=故选c【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题9函数f（x）=loga（ax2）在1，3上单调递增，则a的取值范围是（）a（1，+）b（0，2）c（0，）d（2，+）【考点】复合函数的单调性【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意可得可得，由此解得a的范围【解答】解：函数f（x）=loga（ax2）在1，3上单调递增，可得，解得a2，故选：d【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，属于基础题10数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知abc的顶点a（2，0），b（0，4），且ac=bc，则abc的欧拉线的方程为（）ax+2y+3=0b2x+y+3=0cx2y+3=0d2xy+3=0【考点】待定系数法求直线方程【专题】直线与圆【分析】由于ac=bc，可得：abc的外心、重心、垂心都位于线段ab的垂直平分线上，求出线段ab的垂直平分线，即可得出abc的欧拉线的方程【解答】解：线段ab的中点为m（1，2），kab=2，线段ab的垂直平分线为：y2=（x1），即x2y+3=0ac=bc，abc的外心、重心、垂心都位于线段ab的垂直平分线上，因此abc的欧拉线的方程为：x2y+3=0故选：c【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11方程=k（x1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）a（，+）b（，1c（0，）d（，1【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围【解答】解：方程=k（x1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x1）+2有2个交点而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x1）+2，即kxy+2k=0 的斜率为k，且经过点m（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=当直线经过点a（1，0）时，由0=k（12）+3求得k=1数形结合可得k的范围为（，1，故选：d【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题12设集合a=（x，y）|x2+y2|x|+|y|，x，yr，则集合a所表示图形的面积为（）a1+b2c2+d【考点】圆方程的综合应用；venn图表达集合的关系及运算【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可【解答】解：若x0，y0，则不等式等价为x2+y2x+y，即（x）x2+（y）2，若x0，y0，则不等式等价为x2+y2xy，即（x）x2+（y+）2，若x0，y0，则不等式等价为x2+y2xy，即（x+）x2+（y+）2，若x0，y0，则不等式等价为x2+y2x+y，即（x+）x2+（y）2，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为c（，），半径=，则三角形oac的面积s=，圆的面积为=，则一个弓弧的面积s=，则在第一象限的面积s=（）22（）=+=+，则整个区域的面积s=4（+）=2+，故选：c【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键综合性较强，比较复杂二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【专题】图表型【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2为正方形，他们的高均为则v=（+4）=故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键14（log3）23+log0.25+（）4=【考点】对数的运算性质【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：（log3）23+log0.25+（）4=4+1+4=故答案为：【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力15当x（1，3）时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围是（，5【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可【解答】解：解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，x（1，3）时，不等式x2+mx+40恒成立，即，解得m5m的取值范围是（，5故答案为：（，5【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法16圆c的方程为x2+y26x+8=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】由于圆c的方程为（x3）2+y2=1，由题意可知，只需（x43）2+y2=4与直线y=kx2有公共点即可【解答】解：圆c的方程为x2+y26x+8=0，整理得：（x3）2+y2=1，即圆c是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，只需圆c：（x3）2+y2=4与直线y=kx2有公共点即可设圆心c（3，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即5k212k0，0kk的最大值故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x3）2+y2=4与直线y=kx2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知集合a=x|x2x120，集合b=x|x2+2x80，集合c=x|x24ax+3a20，a0，（）求a（crb）；（）若c（ab），试确定实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算【专题】计算题【分析】（）先通过解一元二次不等式化简集合a和b，再求集合b的补集，最后求出a（crb）即可；（）由于一元二次方程x24ax+3a2=0的两个根是：a，3a欲表示出集合c，须对a进行分类讨论：若a=0，若a0，若a0，再结合c（ab），列出不等关系求得a的取值范围，最后综合得出实数a的取值范围即可【解答】解：（）依题意得：a=x|3x4，b=x|x4或x2，（crb）=x|4x2a（crb）=（3，2（）ab=x|2x4若a=0，则c=x|x20=不满足c（ab）a0若a0，则c=x|ax3a，由c（ab）得若a0，则c=x|3axa，由c（ab）得综上，实数a的取值范围为【点评】本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算=补集及其运算不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想属于基础题18分别求出适合下列条件的直线方程：（）经过点a2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（）经过直线2x+7y4=0与7x21y1=0的交点，且和a（3，1），b（5，7）等距离【考点】直线的一般式方程【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】（）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可【解答】解：（）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，将（3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y1=0当直线过原点时，斜率k=，直线方程为y=x，即2x+3y=0，综上可知，所求直线方程为x+2y1=0或2x+3y=0（）有解得交点坐标为（1，），当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x1），即7kx7y+（27k）=0，由a、b两点到直线l的距离相等得，解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件所以直线l的方程是21x28y13=0或x=1【点评】本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题19一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）设经过m年剩余面积为原来的根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的可列出关于m的等式，解之即可；（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年【解答】解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x （ 0x1）则，即，解得（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，即，解得m=5故到今年为止，已砍伐了5年（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为令，即（1x）n，解得n15故今后最多还能砍伐15年【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型20如图，已知矩形abcd中，ab=10，bc=6，将矩形沿对角线bd把abd折起，使a移到a1点，且a1在平面bcd上的射影o恰在cd上，即a1o平面dbc（）求证：bca1d；（）求证：平面a1bc平面a1bd；（）求点c到平面a1bd的距离【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）由线面垂直得a1obc，再由bcdc，能证明bca1d（）由bca1d，a1da1b，得a1d平面a1bc，由此能证明平面a1bc平面a1bd（iii）由=，能求出点c到平面a1bd的距离【解答】证明：（）a1o平面dbc，a1obc，又bcdc，a1odc=o，bc平面a1dc，bca1d（）bca1d，a1da1b，bca1b=b，a1d平面a1bc，又a1d平面a1bd，平面a1bc平面a1bd解：（iii）设c到平面a1bd的距离为h，=，=，又=sdbc，点c到平面a1bd的距离为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21如图，已知圆心坐标为（，1）的圆m与x轴及直线y=x分别相切于a，b两点，另一圆n与圆m外切、且与x轴及直线y=x分别相切于c、d两点（1）求圆m和圆n的方程；（2）过点b作直线mn的平行线l，求直线l被圆n截得的弦的长度【考点】直线和圆的方程的应用【专题】计算题；证明题【分析】（1）圆m的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于a，b两点，故半径易知，另一圆n与圆m外切、且与x轴及直线y=x分别相切于c、d两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于b点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过a点且与线mn平行的线被圆截得弦的长度，下