储油罐的测量与标定2010数学建模a题.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 燕山大学里仁学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 杨 七 2. 刘金杰 3. 姚 宁 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导教师组 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：关于储油罐变位识别与罐容表标定的研究摘 要本文主要是研究储油罐的变位识别和罐容表标定的问题，针对不同情形建立了相应的数学模型。对问题一，运用微积分求解出小椭圆型储油罐在无变位情况下的罐容表，而对于变位后的罐容表，采用等效高度的方法把所测油位高度()转化为水平油位高度()，其关系为：，带入变位前的罐容表，结果如下表： 油位高度储油量将代入求的计算值与真实值进行误差分析与比较，且用MATLAB求出油位高度间隔为的罐容表标定值，如表2所示，它的最小值是,最大值是。对问题二，同样采用等效高度的方法转化油位高度，确定出横向偏角、纵向倾斜、所测油位高度与等效高度的关系为：从而建立。然后结合附件2中的数据，利用运用非线性方程组求解函数fsolve解得。表（4）给出罐体变位后油位高度间隔10的罐容表标定值，它的最小值为156L,最大值为65358.98L。为验证该模型的正确性，将表（4）和附录2中所给的高度与体积数值作图，得出部分图形见表（5），并对图形处理的此模型误差在4%以内 关键词 等效高度、积分学、误差分析、非线性求解法关于储油罐的变位识别与罐容表的研究一 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），导致罐容表发生改变，从而需要定期对罐容表进行重新标定。问题一：结合如图1所示小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）及附件1中分别对其进行无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况的实验数据，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。问题二：对于图2所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。利用附件2中的数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二 问题的分析 对于本文的问题一，根据题中的图形,可以确定本问只是要求我们研究储油罐纵向变位后对罐容表的影响。而罐容表是罐内油位高度与储油量的对应关系，所以我们从变位后油位高度和储油量两方面来考虑。变位后的油位高度我们用关于的函数来表示，根据图形，运用积分学求出与之对应的储油量，从而确定出变位后的罐容表,即变位后与油位高度和储油量的关系。然后再将及附表1中变位后的油位高度带入上述所求关系中得出储油量的计算值，与附表1中的真实数据进行对比验证，若存在误差，对它们进行误差分析。判断正确后后,求出罐容表时油位高度间隔为的罐容表标定值。对于本文的问题二，要求出储油量与纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的一般关系，我们根据题中的图来进行求解，方法与问题一的解题方法类似。我们根据储油罐发生变位后，它的油位高度和储油量与纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系。然后我们再将这两方面的因素通过几何关系联系起来，从而确定出罐体发生横纵变位后的罐容表。运用非线性方程组求解函数fsolve解出变位参数和，并给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。最后,利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。，三 模型假设1.假设附表中的数据真实可靠，符合客观实际。2.假设石油的物理、化学性质不受外界环境的影响，如温度。3.假设储油罐发生变位后，其在研究期间不再随油量、外力,等外界条件的变化而变化。4.计算储油量时储油罐中各管伸入油中的部分对储油量的影响忽略不计。四 符号说明：纵向倾斜的角度：横向偏转的角度：椭圆油罐的长半轴长， ：椭圆有关的短半轴长， ：小椭圆油罐纵向变位前的油位高度：小椭圆油罐横向变位后的油位高度：油罐中液体的截面积：小椭圆油罐的罐长， ：储油量五 模型建立与求解问题一模型的建立与求解1、经过对问题一的分析，我们先运用积分学来求纵向变位前的储油量，在运用几何关系，用来表示变位后的油位高度,进而求出变位后的储油量。对题目中给出的小椭圆型储油罐我们可以建立如图1所示的坐标系：AB为油面，可得：图 2xyOAB(x1,y1)CDbadx图 1设椭圆方程为，得 （1）设液高,即,将其带入椭圆方程，得 （2）微元面积，而，可得出： （3）又因为该小椭圆油罐的罐长为,所以得体积为： （4）由图形的对称性我们可以得出： （5）当小椭圆型储油罐发生图1所示的变位后，根据图2我们用几何关系将倾斜液高等效转化为水平液高,得到如下关系式： （6）其中，联立（4）、（5）、（6）式，得出： （7） （8）并且由图2可以得出：当时，油位高度；当时，所测油位高度达到最大值（当确定时）从而可以看出变化后的油位高度与储油量的关系，如表1所示：表 1 发生纵向变化后油位高度与储油量的关系油位高度储油量运用Excel对附表1中变位后的数据进行相应的处理，再运用MATLAB进行求解从而得出变位后的储油量。在这里，由于数据的庞大，我们只分析进油时的数据，如表1所示：表 2 纵向变位的进油时储油量计算值与真实值 单位（L）流水号计算值真实值误差流水号计算值真实值误差2111005.7962.860.0444922382401.92312.730.0385562121054.31012.860.0409142392451.52362.730.0375712131114.31062.860.0483982402497.42412.730.03509321411641112.860.0459542412548.32462.730.0347462151218.81162.860.0481062422599.42512.730.0344922161276.21212.860.0522242432644.72562.730.0319852171324.71262.860.0489682442696.52612.730.03206221813801312.790.0511962452749.32662.730.0325122191431.21362.790.0501982462799.62712.730.0320232201482.81412.730.0495992472848.12762.730.0309012211534.11462.730.04879224828972812.730.029962221590.11512.730.0511462492943.42862.730.0281792231643.61562.730.0517492502994.12912.730.02793622416961612.730.05163325130462962.730.0281062251748.71662.730.0517042523091.73012.730.0262122261795.61712.730.0483852533143.23062.730.02627422718481762.730.0483742543192.33112.730.0255632281899.41812.730.0478122553236.93162.730.0234512291952.31862.730.0480852563287.33212.730.0232112301998.91912.730.0450512573338.13262.730.02312312052.61962.730.0457882583382.83312.730.0211522322101.32012.730.0440052593427.73362.730.0193212332146.62062.730.040662603477.73412.730.0190382342200.72112.730.0416382613522.63462.730.017292352251.32162.730.0409532623574.93512.730.0176982362302.52212.730.040572633578.73514.740.0181982372351.12262.730.039055 由表2可以看出当时，油罐中储油量的计算值与真实值之间的误差在3.4%以内，根据这些数据，做出它们的折线图直观图，如下图所示：图 3 直观图 结合表2和图3的结果，我们可以看出数据的吻合程度是相当高的，所以我们认为我们所确立的储油罐发生纵向偏斜后其油位高度与储油量的关系是正确的。2、当我们确定罐体变位后即时油位高度间隔为的罐容表标定值时，即时的储油量,再结合（7）、（8）式运用MATLAB解出罐容表标定值如表3所示：表 3 时油位高度间隔为的罐容表 油高（cm）、储油量（L）油高储油量油高储油量油高储油量油高储油量油高储油量油高储油量7626453.1451161.8641971.6832787.91023525.9815.927486461202.9652015.2842829.61033560.4928.628519.5471244.1662056.8852871.11043594.41043.429553.5481285.6672100.4862912.31053627.81160.130588.2491327.4682144872953.31063660.61278.531623.4501369.3692187.58829941073692.71398.332659.1511411.4702231.1893034.41083724.214119.633695.4521453.8712274.5903074.51093754.91514234732531496.3722318913114.21103784.816165.735769.2541538.9732361.3923153.7111381417190.436806.8551581.8742404.6933192.81123842.418216.237844.8561624.7752447.7943231.51133869.919242.938883.2571667.8762490.8953269.81143896.420270.539922581711772533.7963307.811539222129940961.2591754.2782576.5973345.31163946.622328.3411000.7601797.6792619.1983382.4117397023358.4421040.5611841802661.69934191183992.324389.3431080.7621884.5812703.91003455.11194013.325420.8441121.1631928.18227461013490.81204032.9问题二模型的建立与求解图 4 油罐的纵截面1.经过对问题二的分析,我们采用与问题一相似的模型,即先求出变位前油位高度与储油量的关系。我们先考虑当单独发生纵向倾斜或横向偏转后，确定出它们的油位高度分别与之间的和之间的函数关系，再连系在一起，共同确定储油量与纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系。如图3，图4所示，加以分析：图 3 油罐的正截面由图可知，该油罐可以被看成图3中的两条黑虚线分成的三部分：,.为圆柱形，与成对称的椭圆图形。当平放时，里面的液体高度即油位高度为时，对,分别建立如下坐标系： 可以得出部分的体积为：，,从而得出： （9） （10）根据图5右边的坐标系，我们可以得出在面上的投影为：，其标准方程为。运用二重积分求体积的方法，根据坐标系我们可以得出： （11）解出： （12） 将代入上式，得： （13）综上得出该油罐变位前的储油量与油位高度的关系为： （14）当它们发生纵向倾斜时，由图3我们可以看出它两端椭圆部分的体积占总体体积较小的一部分，且弧度很小，所以我们近似的把它当成是平头来考虑。则倾斜时的油位高度与平放时的同样满足（6）式的辩证关系，即可得到： （15）当发生横向偏转时，如图4所示，可以看出当液体容积一定时，无论怎么变化，其水平值都是不变的。我们通过分情况来讨论的影响。当液面低于油罐的水平中心轴线时：图 6可以得出且。又因为，所以可以推出 （16）同理，可求出： （17） （18）联立（14），（15），（16），（17），（18）确定该油罐由平放发生变位后，罐内储油量与油位高度及纵向倾斜角度a和横向偏转角度b 之间的关系： 2.求解与的值得时候，结合附表2中的数据，运用非线性方程组求解函数fsolve来求解与，得出， 。将与的值带回上问所求的的数学模型中，再运用MATLAB，求的油位高度间隔为的罐容表标定值，如表4所示：表 4 油位高度间隔为的罐容表标定值油位高度/cm储油量/L油位高度/cm储油量/L油位高度/cm储油量/L015611020203.1122050269.1710738.818412022879.723052723.97201782.4813025614.2224055057.58303082.05714028390.5125057249.99404617.41315031193.0726059280.5506367.59416034006.7627061127.9608311.2717036816.6528062770.837010427.1318039607.7329064188.058012694.219042364.730065358.989015092.1320045071.7410017601.3221047712.353、将附录2中任一给定的高度带入所建数学模型中求的 , 绘出图7，再根据附录2中对应的求得相对误差图 7 六 模型的评价及改进优点：1）本文的问题一与问题二所建的模型，都是先从平放的时候开始算出此时水平状态下油位高度与储油量的关系，当倾斜时，我们找出他与平放时的函数关系式，带入变形即可获得目标函数。模型通俗易懂，循序渐进。2）得出计算值后，结合一致的真实值，对模型进行了判断,使模型更加真实准确。3）文中图形表格直观形象，更有助于人们的了解。缺点：在本文问题一所建立的模型，在求其平放时油位高度与储油量之间的关系时，虽然分情况讨论使结果相对比较精确，但却过于繁琐。我们可以根据题意，直接列出二重积分，对椭圆求体积。改进：设横截面椭圆的方程为: （19）图1中带阴影部分为储油横截面,先用定积分求储油体积：图1椭圆 （20） （21）将式（1）代入式（2）得： （22）这样便比问题一中分两种情况简便很多。我们还可以在计算问题一中变位后的罐容量时，运用以下方法：我们直接从小椭圆型储油罐纵向变位后的状态进行分析和求解。首先，建立如下图所示的坐标系：则该椭圆的方程表达变成： （23）从而可以确定： （24）然后我们对积分，得到油罐的任意正截面的阴影面积： （25）从而得到： （26）由图2我们还可以得出： （27）将（13）式带入（12）式得： （28）从而直接确定出油位与储油量的关系。参考文献1 田铁军，倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算，,2010年9月10日 。2 周 品，何正风，MATLAB数值分析，北京：机械工业出版社，2009.13 徐玉民，唐宗贤，高等数学，北京：国防工业出版社，2007.7附录syms yy=0.1590,0.1761,0.1926,0.2085,0.2239,0.2390,0.2537,0.2680,0.2822,0.2960,0.3097,0.3231,0.3364,0.3496,0.3626,0.3754,0.3882,0.4008,0.4133,0.4258,0.4381,0.4504,0.4626,0.4748,0.4869,0.4990,0.5110,0.5230,0.5349,0.5468,0.5587,0.5706,0.5825,0.5944;v=3.6342*(y-0.6).*sqrt(1.2*y-y.2)+1.3083*asin(sqrt(1.2*y-y.2)./0.6);syms yy=0.6062,0.6181,0.6300,0.6419,0.6538,0.6657,0.6776,0.6785,0.6905,0.6908,0.7028,0.7149,0.7270,0.7392,0.7514,0.7637,0.7642,0.7765,0.7890,0.8015,0.8142,0.8269,0.8398,0.8528,0.8660,0.8793,0.8928,0.8928,0.9065,0.9204,0.9346,0.9490,0.9638,0.9789,0.9944,1.0104,1.0270,1.0442,1.0624,1.0816,1.1023,1.1253,1.1524,1.1935;v=4.108062-3.6342*(0.6-y).*sqrt(1.2*y-y.2)-1.3083*asin(sqrt(1.2*y-y.2)./0.6); function c=u(h0)y=h0-2.45/2*tan(4.1*pi/180)+0.4*tan(4.1*pi/180);%d=4361/6000*(-25*(y)2+30*(y)(1/2)*(y)-4361/10000*(-25*(y)2+30*(y)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*(y)-1)+13083/20000*pi;c=d-0.216;#include#includevoid main()float i,v,h,h1,H,a,b,j=10,k=3,r=1.5,h0,arfa,bata;scanf(%f/n %f/n,&arfa,&bata);a=arfa*3.14/180;b=bata*3.14/180;float str50;for(i=0;i=50;i+)sc