任意角的三角函数.ppt

摩天轮相信同学们都不陌生吧 好多同学都坐过 当你坐上摩天轮后 你就开始绕中心不停地旋转 这样就形成了各种各样的角 问题1 如图 摩天轮的半径为10m 中心O离地面为20m 现在小明坐上了摩天轮 并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动 当转动30秒后小明离地面的高度是多少 60秒后呢 10m 20m 300 问题2 设转动 度后小明离地面的高度为h 为00 900 试着写出h和 的关系式 P1 1 2 1任意角的三角函数 掌握任意角的三角函数的定义 已知角 终边上一点 会求角 的各三角函数值 记住三角函数的定义域 值域 诱导公式 一 知识与能力 1 理解并掌握任意角的三角函数的定义 2 树立映射观点 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 3 通过对定义域 三角函数值的符号 诱导公式一的推导 提高学生分析 探究 解决问题的能力 过程与方法 1 使学生认识到事物之间是有联系的 三角函数就是角度 自变量 与比值 函数值 的一种联系方式 2 学习转化的思想 培养学生严谨治学 一丝不苟的科学精神 情感态度与价值观 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号 以及这三种函数的第一组诱导公式 重点 用单位圆上点的坐标刻画三角函数 学生熟悉的函数y f x 的实数到实数的对应 而这里给出的函数首先是实数 弧度制 到点的坐标的对应 然后才是实数 弧度制 到实数 横坐标或纵坐标 的对应 这就会给学生理解造成一定的困难 难点 锐角三角函数定义 在终边上移动点P的位置 这三个比值会改变吗 锐角三角函数定义 r 1 锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 在直角坐标系中 以原点O为圆心 以单位长度为半径的圆叫单位圆 任意角的三角函数 推广 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数 正弦 余弦 正切 x 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 则 y叫 的正弦 x叫 的余弦 叫 的正切 任意角的三角函数定义 思考 求 角的三角函数值 即可求 终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值 如何求 角的三角函数值 y x O 例1 求的正弦 余弦 正切的值 根据上述方法否能求得特殊角三角函数值 分析 由 OMP OM0P0 可求出相应的三角函数值 例2 已知 的终边经过点P0 4 3 求 角的正弦 余弦 正切的值 解 例3 如图所示 已知角 终边上一点P的坐标为 4 3 求角 的三角函数值 解 4 3 5 事实上 三角函数也可定义为 设 是一个任意角 它的终边经过点P x y 则 根据三角函数的定义能否确定正弦 余弦 正切的值在四个象限内的符号 任意角的三角函数符号 规律 一全正 二正弦正 三正切正 四余弦正 例4 确定下列三角函数值的符号 分别位于第三象限 第四象限 第一象限 第四象限 例5 求证 当且仅当不等式组下列不等式组成立时 角 为第三象限角 因为sin 0 所以 在第三象限或第四象限 或 的终边落在y轴的负半轴上 因为tan 0 所以 在第一象限或第三象限 由于sin 0与tan 0同时成立 所以 在第三象限 解 直角三角中的锐角三角函数象限角中的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数任意角终边上任一点坐标定义三角函数 反思三角函数的定义 根据三角函数的定义 终边相同的角的同一三角函数值是否相等 诱导公式 终边相同 终边相同的角的集合为 点的坐标相同 同一三角函数值 终边相同的角的同一三角函数值相等 由此得到一组公式 公式一 利用公式一 作用在于可将求任意角的三角函数值 转化为求0 或0 360 范围内的三角函数值 例6 求下列三角函数的值 解 前面我们学习了任意角的三角函数 它主要从数上研究了它们 能否从图形上来研究呢 单位圆中的三角函数线 思考1 如图 设角 为第一象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则 都是正数 你能分别用一条线段表示角 的正弦值和余弦值吗 思考2 若角 为第三象限角 其终边与单位圆的交点为P x y 则 都是负数 此时角 的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示 思考3 为了简化上述表示 我们设想将线段的两个端点规定一个为始点 另一个为终点 使得线段具有方向性 带有正负值符号 根据实际需要 应如何规定线段的正方向和负方向 规定 线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向 反向时为负方向 一 有向线段 我们规定OM与x轴同向时 OM的方向是正向 x为正值 OM与x轴反向时 OM的方向是负向 x为负值 无论是那种情况都有 OM x cos 我们规定MP与y轴同向时 MP的方向是正向 y为正值 MP与y轴反向时 MP的方向是负向 y为负值 无论是那种情况都有 MP y sin 二 正弦线 余弦线 设任意角 与单位圆交于点p x y 则r op 1 sin y 因此 p x y 坐标也表示为p cos sin cos x 三 正切线 称AT为角 的正切线 过A 1 0 作圆的切线 例7 不查表 比较大小 解 由图形得到 和 解 由图形得到 和 解 由图形得到 和 1 正弦线 2 余弦线 3 正切线 注意 正弦线 余弦线 正切线都是有向线段 有正负之分 结论 三角函数线是三角函数的几何表示 它可以直观刻画三角函数的概念与三角函数的定义结合起来 可以从数与形两方面认识三角函数的定义 定义域为R 定义域为R 定义域为 三角函数 正弦 余弦 正切 都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系 三角函数可以看成是自变量为实数的函数 所以三角函数可以记为 1 任意角的三角函数定义 2 三角函数在象限内的符号 应用 1 判断符号 2 求值 公式一 诱导公式 1 2009全国 的值为 A A B C D 解析 本题主要考察诱导公式 A 0 C 1 D B 2 2009陕西 则的值为 B 解析 本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力 以及转化与化归的思想 因故选B 3 2007江西 若 则等于 A 3 B C 3 D D 解析 故选D 1 以下四个命题中 正确的是 D 第四象限的角可表示为 A 在定义域内 只有终边相同的角的三角函数值才相等 B C 若a是第二象限的角 则 C 2 若角a的终边过点 3 2 则 A sinatana 0B cosatana 0C sinacosa 0D sinacota 0 C C C 3 D B 4 当 为钝角时 cos 和tan 取负值 5 1 正 2 负 3 零 4 负 5 正 6 正 6 1 或 或 2 或 或 3 或 或 4 或 或 7 1 0 8746 2 3 0 5 4 1 1 终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况 包括三角函数值的符号情况 终边相同的角的同一三角函数的值相等 2 1 如图所示 2 3 4 略 3 225 角的