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斜面上只滚不滑物体的分析 摘要滚动物体在斜面上只滚不滑的条件作了推导和分析，从而得出了影响物体在斜面上只滚不滑的条件的一些因素。 关键词：转动惯量 静摩擦系数 斜面倾角 只滚不滑Abstract: The object for only in rolling rolling not slippery conditions derived and the analysis, thus draws the influenceThe object for rolling not only in some of the factors of the slippery conditions.Key words: the static friction coefficient of inertia cant not only roll Angle and smooth目 录1问题的提出22均质圆柱、均值小球、均质球壳在斜面上只滚不滑时满足的条件。23均质圆柱、薄壁圆筒、球壳在斜面上只滚不滑的条件3 3.1 均质圆柱3 3.2 均质薄壁圆筒43.3 均质球壳44影响物体在斜面上只滚不滑条件的因素4参考文献61问题的提出 假设物体与斜面间无滑动只有滚动，那么物体在斜面上只滚不滑须满足什么条件?这些条件与那些因素有关？在现实中有哪些作用?2均质圆柱、均值小球、均质球壳在斜面上只滚不滑时满足的条件。 例题1质量为M半径为R的均质小球沿倾角为的粗糙斜面无滑下滚（见图1），求静摩擦力、质心加速度以及保证小球作无滑滚动所需最小的静摩擦力Rf解：用f代表摩擦力，根据质心运动定理有：mgsin-f=ma (1)对于质心，重心的力矩等于零，只有摩擦力矩Rf,从而 (2)球体上的P点同时参与两种运动：小球以质心速度平动，和以线速度绕质心转动。无滑动意味着小球于斜面的接触点P的瞬时速度为0，由此得 对时间求导，得 （3）由（1）、（2）、(3)解得 要保证无滑动滚动，所需静摩擦力f不能大于最大静摩擦力，即 或 即均质小球在斜面上只滚不滑条件为： 或 由上可见，3 均质圆柱、薄壁圆筒、球壳在斜面上只滚不滑的条件3.1 均质圆柱均质圆柱对滚动轴的转动惯量代入（2）式 （4）由（1）、（3）、（4）作例题中同样的运算可得均质圆柱在斜面上只滚不滑条件为： 或 3.2 均质薄壁圆筒均质薄壁圆筒对滚动轴的转动惯量代入（2）式 (5)由（1）、（3）、（5）作例题中同样的运算可得均质薄壁圆筒在斜面上只滚不滑条件为： 或 3.3 均质球壳均质球壳对滚动轴的转动惯量代入（2）式 （6）由（1）、（3）、（6）作例题中同样的运算可得均质球壳在斜面上只滚不滑条件为： 或 4 影响物体在斜面上只滚不滑条件的因素（1）物体质量的不同分别对只滚不滑条件的影响。由上面的推导可知滚动物体在斜面上只滚不滑的条件是只含斜面倾角和静摩擦系数的反三角函数不等式。也就是说只滚不滑的条件与滚动物体的质量m、滚动圆形物体的半径R的大小无关。当静摩擦系数给定时，由上面的分析可知，物体绕转动轴的转动惯量的变化将影响物体在斜面上只滚不滑条件。为更清楚反映这种变化，制表如下： 物体绕转动轴的转动惯量只滚不滑条件均质薄壁圆筒或均质球壳或均质圆柱或均质小球或在表中若设各物体的质量m和半径R均相等，则均质薄壁圆筒、均质球壳、均质圆柱、均质小球绕转动轴的转动惯量逐渐减小，而只滚不滑条件斜面的倾角则逐渐增大。对形体相同质量分布形式相同的滚动物体，无论其质量m和半径R如何变化，只滚不滑条件总是不变的。如均质圆柱，就恒为：。 （2）当静摩擦系数f给定，由只滚不滑条件可确定斜面的倾角。对于一指定滚动物体，滚动物体与斜面的材料的表面光洁度一但确定，则静摩擦系数f就确定。这时由只滚不滑条件决定斜面倾角的大小。这个结果可在公路设计中得到应用。假设汽车有足够的动力，车轮与地面的精摩擦系数f可看成一定值。那么，公路的最大坡度应该满足只滚不滑条件，只是这时的只滚不滑条件要由车轮绕转动轴的转动惯量来确定。（3）斜面的倾角一定，改变静摩擦系数f可满足只滚不滑条件。当滚动物体的转动惯量一定，斜面的倾角一定，改变静摩擦系数f可满足只滚不滑条件。这个结果可在公路设计中得到应用。在公路中的一些路段，由于地形的原因大坡度角很大，汽车在上面行驶很容易打滑，特别是下雨天。为了解决这个问题，有意把混凝土路面拉毛，以增加静摩擦系数f，满足只滚不滑条件。在北方冬季由于气温低而使路面结冰，为了避免汽车在上面行驶时打滑，在车轮上装上防滑链条以增加静摩